關于Smarandache函數(shù)的下界估計

史 嬋

（西安郵電大學 通信與信息工程學院，陜西西安 710121）

1 引言及結論

眾所周知，著名的 Smarandache函數(shù)被定義為 S(n)=min{m:m∈N，n｜m!}。對于 Smarandache函數(shù)S(n)的研究，許多學者已經(jīng)做了很大的努力，并且取得了一些成果，為數(shù)論今后的發(fā)展做出了重要貢獻。近年來，一些學者紛紛對Smarandache函數(shù)的有界性估計問題做了大量的研究和探索，得出了一系列重要的理論成果。

在文獻[2]中，作者針對函數(shù)S(2p-1(2p-1))的下界估計問題做了研究，給出結論：

S(2p-1(2p-1))≥2p+1，p表示任意的奇素數(shù)。

而文獻[3]在上述結論的基礎上對于函數(shù)S(2p-1(2p-1))的下界估計問題進行了深入的探討，得到了更強的估計式：

S(2p-1(2p-1-1))≥6p+1，其中p≥7是任意素數(shù)。

有學者還對函數(shù)S(2p+1)的下界估計問題進行了研究，得到：

S(2p+1)≥6p+1，

p為大于等于7的任意素數(shù)。

基于以上已有的結果，溫田丁研究了S(2p-1)以及S(2p+1)兩個函數(shù)的下界估計問題，證明了下面一組結論：

S(2p-1)≥10p+1，

S(2p+1)≥10p+1，

其中P為任意素數(shù)且p≥17。

本文在以上結論的基礎上，探討是否可以通過繼續(xù)增大不等式右側p的系數(shù)而使得函數(shù)S(2p-1)以及S(2p+1)有更強的下界估計。通過證明得出了以下定理：

定理 對于任意素數(shù)p≥17，有以下一組估計式

2 定理的證明

應用初等及組合數(shù)學的方法對定理進行論證。

首先來看定理中(1)式的證明。由 Smarandache函數(shù) S(n)的性質可得，對于任意的素數(shù) p｜n，有 S(n)≥p，且p｜S(pα)對于所有的正整數(shù)α都是成立的。則對于任意素數(shù)p≥17，若r為S(2p-1)的任一素因子，立即有r≥5。所以由S(n)的性質立即得到

又由于r｜2p-1，所以2p=1(mod r)。于是p為2模r的指標。所以根據(jù)指標的性質得到p｜φ(r)=r-1，或者r=tp+1。因為r是奇素數(shù),所以t一定是偶數(shù)，可設

如果2p-1是一個完全平方數(shù)，則有2p-1=v2，即2p=v2+1，于是有 0≡2p≡v2+1=2(mod4)，出現(xiàn)矛盾。所以2p-1不可能是完全平方數(shù)。于是2p-1就有下面幾種可能：

1)當2p-1為素數(shù)時，已經(jīng)有p≥17，所以顯然 S(2p-1)≥2p-1≥14p+1。

2)當2p-1恰為一個素數(shù)r的t次冪，t≥3時。由于2p-1已經(jīng)不可能為一個完全平方數(shù)，所以t=3,5,7,…。

在t≥7時，結合(3)和(4)兩式立即有以下不等式

S(2p-1)≥S(rt)≥tr＞7(2p+1)＞14p+1。

如果t=5，那么當l≥2時有

S(2p-1)≥5r＞5(4p+1)＞14p+1；

又因為當 p≥17 時，2p-1＜(2p+1)5。所以 l=1 時，有

2p-1≠(2p+1)5。

當t=3，而l≥3時，有以下不等式成立S(2p-1)≥3r＞3(6p+1)＞14p+1；

而當 l=2，p≥17 時，有 2p-1＞(4p+1)3；l=1，p≥17 時，2p-1＞(2p+1)3。

3)當2p-1至少包含四個不相同的素因子時，因為2p+1和4p+1不可能同時為素數(shù)，于是由(3)式知至少有一個素數(shù)是滿足r=2lp+1且l≥7，所以就有 S(2p-1)≥r＞14p+1。

當l=5時，有不等式

2p-1≠(2p+1)(6p+1)(8p+1)(10p+1)，或者 2p-1≠(4p+1)(6p+1)(8p+1)(10p+1)。

當l=6時，因為明顯2p+1和4p+1，4p+1和8p+1，6p+1和10p+1，以及10p+1和12p+1是不可能同時為素數(shù)的。所以得到

2p-1≠(2p+1)(6p+1)(8p+1)(12p+1)

4)當2p-1恰恰包含三個不相同的素因子時，如果這三個素因子中至少有一個滿足r=2lp+1且l≥7，就能得到 S(2p-1)≥r＞14p+1。

如果所有素因子里的l都小于等于6，由于2p+1和 4p+1，4p+1和 8p+1，6p+1和 10p+1以及10p+1和12p+1不可能同時為素數(shù)。所以可設2p-1=(2p+1)a(6p+1)b(8p+1)c，或者是 2p-1=(2p+1)a·(6p+1)b(12p+1)c，因為當a≥7或者b≥3或者c≥2時定理結論顯然都是成立的。于是在不失一般性的情況下假設2p-1=(2p+1)a(6p+1)b(8p+1)，或者2p-1=(2p+1)a(6p+1)(8p+1)，1≤a≤6。又因為如果2p-1=(2p+1)a(6p+1)2(8p+1)，或者有2p-1=(2p+1)a(6p+1)(8p+1)，立即由二次剩余的性質知2是素數(shù)2p+1與6p+1的二次剩余。然而當p=3(mod4)時，設 p=4l+3，此時(-1)6l+5=-1，這與2是素數(shù)6p+1的二次剩余是相互矛盾的。如果有p=1(mod4)，假設p=4l+1，此時有，這和 2是素數(shù)2p+1的二次剩余又產(chǎn)生了相互矛盾。

同理可證2p-1=(2p+1)a(6p+1)b(12p+1)c也不成立。所以以上兩種假設顯然是不可能的。綜上所述，當2p-1恰好有三個不同的素因子時，一定有不等式 S(2p-1)≥r＞14p+1。

5)當2p-1包含兩個不相同的素因子時，由(3)式及4)中的證明立即得到2p-1不可能同時含有素因子2p+1和6p+1。同時，當素數(shù)p＞3時，素數(shù)2p+1以及4p+1中至少有一個可以被3整除，因此它們不可能同時為素數(shù)，于是得到2p-1也不可能同時含有2p+1和4p+1這兩個素因子。所以從(3)式可得當2p-1恰好含有兩個不一樣的素因子時，假設

2p-1=(2p+1)a(8p+1)b，或者設

2p-1=(4p+1)a(6p+1)b。

當 b≥3，a≥7 時，有

S(2p-1)≥7(2p+1)＞14p+1。

或者

S(2p-1)≥3(6p+1)＞14p+1。

討論當 b=1，2，1≤a≤6 的情況。

若 b=1，1≤a≤4，得到 2p-1=(2p+1)a(8p+1)或2p-1=(4p+1)a(6p+1)。如果 2p-1=(2p+1)a(8p+1), 則由2p-1=(2p+1)4(8p+1)立即推出同余式2p-1≡-1≡(2p+1)4(8p+1)≡1(mod8)，得到矛盾。所以有a≠4。而2p-1≠(4p+1)3(6p+1)。所以不妨設1≤a≤3。此時若p≥17，等式2p-1=(2p+1)3(8p+1)或者等式2p-1=(4p+1)2(6p+1)也不可能成立，因為有不等式2p-1＞(4p+1)2(6p+1)以及2p-1＞(2p+1)3(8p+1)。

如果 b=2，a=5，6，因為 p≥17,得到不等式2p-1＜(2p+1)5(8p+1)2、2p-1＜(2p+1)6(8p+1)2、2p-1＜(4p+1)5(6p+1)2以及 2p-1＜(4p+1)6(6p+1)2。所以等式2p-1=(2p+1)5(8p+1)2或者等式2p-1=(2p+1)6(8p+1)2以及等式2p-1=(4p+1)5(6p+1)2或者2p-1=(4p+1)6(6p+1)2也不可能成立。通過上述推理，可以得出當2p-1恰好含有兩個不同的素因子時，有不等式 S(2p-1)＞14p+1。

綜上五種情況的探討就完成了定理中 (1)式的證明。運用同樣的方法可以論證定理中(2)式的結論。

[1]徐哲峰.關于Smarandache函數(shù)的值分布[J].數(shù)學學報:中文版,2006,49(5):1009-1012.

[2]Le M H.A lower bound forS(2p-1(2p-1))[J].Smarandache Notions Journal,2001,12(1-3):217-218.

[3]蘇娟麗.關于Smarandache函數(shù)的一個下界估計[J].紡織高?；A科學學報,2009,22(1):133-134.

[4]蘇娟麗.關于Smarandache函數(shù)的一個新的下界估計[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2008,24(4):706-708.

[5]Wang Jinrui.On the Smarandache function and the Fermat numbers[J].Scientia Magna,2008,4(2):25-28.

[6]溫田丁.Smarandache函數(shù)的一個下界估計[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2010,26(3):413-416.

[7]Chen G H.New Progress On Smarandache Problems[M].High American Press,2007.

[8]任 鵬,王 陽,鄧書顯.關于Smarandache冪函數(shù)的注記[J].科技導報,2010,28(17):50-53.

[9]張文鵬.初等數(shù)論[M].西安:陜西師范大學出版社,2007.