多項式因式分解與線性空間直和分解的關(guān)系

余興民

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000）

1 引言及結(jié)論

設(shè)V是n維線性空間，σ是V的一個線性變換，因 σk，k=0，1，…，n2，一定線性相關(guān)，于是必存在非零多項式f(x)，使得f(σ)=0。把滿足f(σ)=0的次數(shù)最低的、首項系數(shù)為1的非零多項式f(x)稱為σ的最小多項式。類似可給出n階矩陣的最小多項式的定義。線性變換σ的最小多項式就是σ關(guān)于線性空間V的任意基的矩陣的最小多項式。

2 定理的證明

定理1設(shè)σ是n維線性空間V的線性變換，m(x)是σ的最小多項式，若m(x)=h(x)g(x)，且(h(x)，g(x))=1，則V能分解成σ的不變子空間W1和 W2的直和，其中 W1={α|h(σ)α=0，α∈V};W2={α|g(σ)α=0，α∈V}，并且 h(x)，g(x)分別是 σ|W1=σ1，σ|W2=σ2的最小多項式。

證明 1)分三步證明，

首先，Wi(i=1,2)為σ的不變子空間，設(shè)α,β∈W1，則 h(σ)α=0，h(σ)β=0。

由 h(σ)(α+β)=h(σ)α+h(σ)β=0，

h(σ)(kα)=kh(σ)α=k0=0，

h(σ)(σα)=σh(σ)α=σ0=0

即得W1為σ的不變子空間,同理可證W2為σ的不變子空間。

其次，V是W1與W2的直和，

因(h(x)，g(x))=1，故存在多項式 u(x)，v(x)使h(x)u(x)+g(x)v(x)=1，

因此 h(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)=ε，于是對 V 中任一向量α：

h(σ)u(σ)α+g(σ)v(σ)α=α

令 α1=g(σ)v(σ)α，α2=h(σ)u(σ)α，

則 h(σ)α1=h(σ)g(σ)v(σ)α=m(σ)v(σ)α=0

g(σ)α2=g(σ)h(σ)u(σ)α=m(σ)u(σ)α=0

所以

又若 β∈W1∩W2，則 h(σ)β=0，g(σ)β=0，于是(u(σ)h(σ)+v(σ)h(σ))β=ε β= β

所以 β=0，從而 V=W1⊕W2

最后，h(x)，g(x)分別是 σ1，σ2的最小多項式。

由 W1的定義，對任一向量 α1∈W1，h(σ)α1=0，若?(h1(x))＜?(h(x))，且 h(σ)α1=0

用 h1(σ)g(σ)作用(1)式 α=α1+α2的兩邊，得

h1(σ)g(σ)α=h1(σ)g(σ)α1＋h1(σ)g(σ)α2=0

所以 h1(σ)g(σ)=0，則 m(x)|h1(x)g(x)，即

h(x)g(x)|h1(x)g(x)，

就有 h(x)|h1(x)，這與?(h1(x))＜?(h(x))矛盾，因此h(x)為σ|W1=σ1的最小多項式。

同理可證g(x)為σ|W2=σ2的最小多項式。

定理2 若 m(x)=h1(x)h2(x)·…·hs(x)，且多項式hi(x)(i=1，2，…，s)兩兩互素，則V是σ的不變子空間 Wi的直和，其中 Wi={α|hi(σ)α=0，α∈V}，

且 hi(x)是 σ|Wi=σi的最小多項式(i=1，2，…，s)。

證明 對m(x)的因子個數(shù)s用歸納法。

當(dāng)s=2時，由(1)式知結(jié)論成立。

假設(shè)對s-1成立，來證對s個因子結(jié)論也成立。

m(x)=h1(x)·…·hs-1(x)hs(x)=h(x)hs(x)，

其中 h(x)=h1(x)…h(huán)s-1(x)，

由所有 hi(x)(i=1，2，…，s)的兩兩互素，故

(h(x)，hs(x))=1，由(1)式得 V=W⊕Ws。

這里W，Ws都是σ的不變子空間，且h(x)，hs(x)分別是σ|W與σ|Ws的最小多項式。

由歸納假設(shè)，W是s-1個σ|W的不變子空間W1，W2，…，Ws-1的直和，且 hi(x)是 σ|Wi(i=1，2，…，s-1)的最小多項式。所以

V=W1⊕W2⊕…⊕Ws-1⊕Ws，

Wi為 σ 的不變子空間，hi(x)為 σ|Wi(i=1，2，…，s-1)的最小多項式，于是對任何自然數(shù)s(s＞1)結(jié)論成立。

作為定理2的特殊情況，在復(fù)數(shù)域上，就得到文獻[1]中的線性空間V關(guān)于線性變換σ的準(zhǔn)素分解定理，如下：

定理3[1]設(shè)σ是n維向量空間V的一個線性變換，p(x)是σ的最小多項式，令

是p(x)在復(fù)數(shù)域上的不可約因式分解，這里λ1，…，λk是互不相同的復(fù)數(shù)，r1，…，rk是正整數(shù)，又設(shè) Vi=ker(σ-λ1)ri={ξ∈V|(σ-λi)riξ=0}，i=1，2，…，k，那么

1）每一個子空間Vi都在σ之下不變；

2）V=V1⊕V2⊕…⊕Vk；

3）令 σi=σ|Vi是 σ 在 Vi上的限制，那么 σi的最小多項式是(x-λi)ri，i=1，2，…，k。

再由定理3也可得出結(jié)論：

定理4[1]n維向量空間V的一個線性變換可以對角化的充分必要條件是它的最小多項式?jīng)]有重根。

以上由最小多項式的因式分解,得到了線性空間的直和分解，反過來，若n維向量空間V可分解為它的一個線性變換σ的不變子空間的直和，則能得到最小多項式的因式分解。

定理5設(shè)σ是n維線性空間V的線性變換，W1和W2都是σ的不變子空間，若V=W1⊕W2，并且 h(x)，g(x)分別是 σ|W1=σ1，σ|W2=σ2的最小多項式，則σ的最小多項式m(x)為h(x)，g(x)的最小公倍式[h(x)，g(x)]。

證明 設(shè) dimW1=n1，dimW2=n2，(n1+n2=n)，α1，…，αn1；β1，…，βn2分別為 W1與 W2的基，σ1在基 α1，…，αn1下的矩陣為 A，σ2在基 β1，…，βn2下的矩陣為 B，則 V 的一組基為 α1，…，αn1；β1，…，βn2，σ在此基下的矩陣為

定理6設(shè)σ是n維線性空間V的線性變換，Wi(i=1，2，…，s)都是 σ 的不變子空間，若V=W1⊕…⊕Ws，并且 hi(x)分別是 σ|Wi=σi的最小多項式，則 σ 的最小多項式 m(x)為 hi(x)，i=1，2，…，s 的最小公倍式[h1(x)，h2(x)，…，hs(x)]。

定理6用數(shù)學(xué)歸納法可證，證明略。同樣若hi(x)，i=1，2，…，s兩兩互素，就有 m(x)的因式分解m(x)=h1(x)h2(x)…h(huán)s(x)。

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