磁懸浮軸承系統(tǒng)的時滯動力學(xué)建模與控制研究

鄭 凱

（中航工業(yè)沈陽發(fā)動機設(shè)計研究所，沈陽110015）

0 引言

磁懸浮軸承是利用可控磁場力提供無接觸支承而使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮于空間的1種高性能軸承，具有高轉(zhuǎn)速、無需潤滑、工作溫度范圍廣及可測可控性好等諸多優(yōu)點[1]，目前在空間技術(shù)、物理學(xué)、機械加工、振動控制、機器人、離心機、膨脹機等諸多工業(yè)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[2-4]，且作為新一代多電航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子的主要支承方式，引起世界各國研究機構(gòu)和學(xué)者的高度關(guān)注[5-13]。磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速、超高速下運行時，會受到結(jié)構(gòu)材料強度、動力時滯、錐型渦動、電壓電流鉗制等諸多因素的影響和限制，其中時滯的影響最不可忽略。機電控制系統(tǒng)中的時滯在數(shù)值上很小，一般只有幾十微秒，在系統(tǒng)相對簡單、時滯環(huán)節(jié)不多且對于系統(tǒng)動力行為無嚴(yán)格限制的情況下，忽略其產(chǎn)生的效應(yīng)并沒有什么不妥。但對于工作在苛刻條件下的復(fù)雜機電系統(tǒng)，考慮到航空發(fā)動機等重要設(shè)備的高可靠性要求，其設(shè)計技術(shù)和控制理論研究必須構(gòu)筑在更加嚴(yán)密的體系框架基礎(chǔ)上，必須認(rèn)真考慮時滯的作用。特別對于在高速環(huán)境下運轉(zhuǎn)的磁懸浮軸承系統(tǒng)而言，即使是數(shù)字控制系統(tǒng)中的微小時滯，與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動周期在數(shù)量級上也已經(jīng)相當(dāng)接近，因此有可能對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能產(chǎn)生很大影響，必須加以細致研究。目前，對于磁懸浮軸承時滯問題的研究已經(jīng)引起了一些關(guān)注[14-19]，但大都僅限于簡單的單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)問題，且在高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制的問題上卻很少考慮時滯的影響。

本文建立了時滯反饋下的5自由度磁懸浮軸承機電耦合的動力學(xué)模型，對時滯影響下的磁懸浮軸承系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制律進行研究。

1 系統(tǒng)時滯動力學(xué)建模

在實際中，磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以視作1個5自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖1所示。其徑向由2個徑向磁軸承支承，軸向由1個推力軸承支承。

圖1 5自由度磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

圖2 轉(zhuǎn)子受力情況

轉(zhuǎn)子受軸承電磁力情況如圖2所示。轉(zhuǎn)子徑向2支點a、b 之間的跨度為l，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O 距左右支點的距離分別為la、lb。設(shè)轉(zhuǎn)子在2個支點處的廣義坐標(biāo)qB=[xayaxbybzc]T，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程可寫作[20]

其中

式中：m 為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Jox、Joy為轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動慣量；Joz為轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動慣量；Joxz、Joyz為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量積；ω 為轉(zhuǎn)子的角速度；f 為不平衡擾動項；Qo為磁懸浮軸承所提供的動態(tài)力和力矩。

將上式線性化可得

式中：IB為控制電流；KB和KIB的數(shù)學(xué)表達在文獻[1]中給出，在此不作贅述。

上述運動方程都是不封閉的，電流IB需要由反饋控制系統(tǒng)提供。反饋控制系統(tǒng)主要由傳感器、控制器和功率放大器等組成，由傳感器檢測獲得轉(zhuǎn)子的位移信息后送入控制器，在控制器中經(jīng)過控制運算得到控制信號后送入功率放大器，功率放大器根據(jù)控制信號產(chǎn)生相應(yīng)的控制電流電磁鐵形成電磁力，使轉(zhuǎn)子保持在平衡位置。反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖3所示。

圖3 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制傳遞函數(shù)

在圖3中，Gs（S）為傳感器傳遞函數(shù)，可視作1階環(huán)節(jié)

式中：As為傳感器的增益系數(shù)；Ts為傳感器的衰減時間常數(shù)。Gc（s）為控制器傳遞函數(shù)，以PD控制器為例，則有

式中：kp，kd分別為控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)。

功放環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)Gc（s）也可視作1階環(huán)節(jié)

式中：αa為功率放大器的增益系數(shù)；Ta為功率放大器電路的衰減時間常數(shù)。

以往對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究，大多在同一時間的參考系下展開，而實際上反饋回路中各環(huán)節(jié)的工作，如傳感器中位移信號采集、處理與轉(zhuǎn)換以及控制器中控制算法的運算等，都不可避免要消耗一定的時間；此外，執(zhí)行單元中功率放大器的飽和效應(yīng)和電磁鐵線圈中的渦流損耗和磁滯特性，也可能造成一定的遲滯效應(yīng)[14]。將控制系統(tǒng)各部分的時滯考慮在內(nèi)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖4所示。在圖4中所加入時滯的來源見表1。

圖4 計入時滯后的磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制傳遞函數(shù)

表1 各部分時滯的來源

取控制的參考輸入為U0=0，將式（3）~（5）分別寫成微分方程形式，與式（2）聯(lián)立可以得到考慮時滯反饋磁懸浮軸承系統(tǒng)的機電耦合微分方程組

式中：Kp，Kd為控制器增益矩陣。

Kp，Kd可根據(jù)需要設(shè)計。若選用式（4）中PD控制器，則Kp，Kd皆為對角陣，可表示為

矩陣中的系數(shù)為對應(yīng)自由度上的比例和微分系數(shù)。下面將給出考慮反饋時滯后控制增益陣的確定方法。

2 鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，假定其傳感器和功率放大器均工作在線性區(qū)域，取Ta=0，Ts=0，τ=τa+τc+τs+τm，則式（6）可簡化為

寫成狀態(tài)方程為

磁懸浮軸承系統(tǒng)屬于高速動態(tài)系統(tǒng)，反饋回路中的各時滯項都是隨時間變化的，因此，本文將時滯τ用有界時變函數(shù)表示為

τ0和σ 都為常數(shù)，可通過對反饋回路中時滯進行測算來確定，則有τ（t）∈[τ0-σ，τ0+σ]。對于系統(tǒng)方程式（8），采用Lyapunov直接法可以推導(dǎo)出以下命題。

假設(shè)τ0，σ 和μ 為給定正參量，且滿足τ0>σ，μ>0，如果存在矩陣使得下列線性矩陣不等式成立

系統(tǒng)在反饋時滯滿足τ（t）∈[τ0-σ，τ0+σ]的情況下可由控制輸入u=Kx（t-τ）鎮(zhèn)定，控制增益為

假定存在矩陣Q>0，R1>0，R2>0，N=[N1N2]，P=

將式（8）寫作描述子系統(tǒng)

構(gòu)造Lypunov函數(shù)

對V（t）求導(dǎo)，并利用以下2個不等式[21-22]放大。

（1） 對 于 任 意a∈?n，b∈?2n，N∈?2n×n，R∈?n×n，Y∈?n×2n，Z∈?2n×2n，則有

其中

（2）對于任意向量a，b 和正定對稱矩陣Λ，則有

得到不等式

其中ξT=[xT（t），yT（t），xT（t-τ0）]

由Lyapunov定律可知，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件為

對式（19）應(yīng)用Schur補性質(zhì)[17]進行矩陣變換后，令左乘和右乘diag{X X X X}，并引入變量變換則可以得到式（10）。同樣對式（16）采取相似變換可以得到式（11）。前文命題得證。

定理將系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，利用內(nèi)點法[21]求解式（11）和（12），可以確定時滯相關(guān)的狀態(tài)反饋控制器的增益陣K。

3 仿真分析

選取一實際的磁懸浮軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對象，其參數(shù)值見表2、3。

表2 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)（轉(zhuǎn)子部分）

表3 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)（軸承部分）

3.1 時滯對系統(tǒng)的影響

首先選用式（3）未考慮時滯的PD控制器進行仿真，在xa、ya、xb、yb自由度上分別采用獨立的PD控制，其控制參數(shù)為

設(shè)轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速為20000r/min，為研究時滯對系統(tǒng)的影響，對式（6）在以下2種情況下進行仿真計算。

加入時滯前后轉(zhuǎn)子a側(cè)與軸向的振動情況分別如圖5、6所示。

從圖5、6中可見，PD控制器在假定系統(tǒng)不存在時滯的情況下時可以保持轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定，且控制性能尚可；但在反饋回路中計入總計60μs時滯后，系統(tǒng)出現(xiàn)劇烈振蕩，并最終失穩(wěn)。這表明在控制反饋回路中即使存在微秒級的微小時滯，但已經(jīng)對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響，使得動態(tài)性能變差，甚至出現(xiàn)失穩(wěn)。

圖5 無時滯，PD控制器仿真結(jié)果

圖6 計入時滯后，PD控制器仿真結(jié)果

3.2 鎮(zhèn)定控制算法驗證

將表1、2中的參數(shù)代入狀態(tài)方程式（8），依據(jù)定理，取μ=0.1，可以求得滿足式（10）和（11）的控制增益

其中

將Kp、Kd代入式（9）后，與3.1節(jié)中對PD控制器的仿真研究相同，依然在假定系統(tǒng)無時滯和計入時滯2種情況下進行仿真運算，計入時滯前后轉(zhuǎn)子的振動情況如圖7、8所示。

圖7 無時滯，本文設(shè)計的控制器仿真結(jié)果

圖8 計入時滯后，本文設(shè)計的控制器仿真結(jié)果

經(jīng)過鎮(zhèn)定算法可以看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在計入反饋時滯后，沒有出現(xiàn)類似PD控制器一樣失穩(wěn)的狀況，動態(tài)性能并未發(fā)生明顯變化，依然可以穩(wěn)定運行，控制算法的有效性得到驗證。

4 結(jié)論

（1）由于在機電系統(tǒng)中微秒級的時滯已經(jīng)可以影響到高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。因此在該系統(tǒng)動力學(xué)和控制研究時，應(yīng)該考慮時滯效果。

（2）通過適當(dāng)?shù)目刂品椒?，可以有效地抑制時滯對系統(tǒng)的負面效果，保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運行。

（3）對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論方法和數(shù)值計算方法的研究除時滯外，應(yīng)將其他多種非線性因素（如不平衡擾動，電磁線圈的渦流影響）等考慮在內(nèi)，研究多種因素對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的綜合影響。

（4）研究能夠較為精確的測量實際機電系統(tǒng)中時滯的方法，為系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制設(shè)計提供有力的支撐和依據(jù)。

（5）對時滯控制理論研究，需要進一步降低控制器設(shè)計中的保守性，并提高控制器對于模型不確定性和擾動的魯棒性。

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