開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的一種磁鏈建模方法研究*

宋小川，王家軍

(杭州電子科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引言

隨著現(xiàn)代電力電子技術(shù)的發(fā)展和微處理器的不斷更新?lián)Q代，電動(dòng)機(jī)控制技術(shù)也有了顯著提高，繼傳統(tǒng)交、直流調(diào)速系統(tǒng)之后出現(xiàn)了新一代的開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)(SRM)調(diào)速系統(tǒng)。開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、容錯(cuò)性高、調(diào)速范圍寬以及控制靈活等諸多優(yōu)良特性［1-4］，近年來已被廣泛應(yīng)用于各種驅(qū)動(dòng)與調(diào)速系統(tǒng)領(lǐng)域。然而開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)高度的非線性性、特殊的雙凸極結(jié)構(gòu)以及通常工作于磁飽和狀態(tài)等特點(diǎn)使得其運(yùn)行特性難以被解析方程精確地描述［5-6］，因此，傳統(tǒng)電動(dòng)機(jī)的分析、建模方法難以應(yīng)用到開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的研究之中，尤其是體現(xiàn)開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)多變量耦合關(guān)系的磁鏈特性的獲取相當(dāng)困難。由于開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)磁鏈的變化不僅依賴于電流，同時(shí)還隨著轉(zhuǎn)子位置發(fā)生變化，難以得到磁鏈-電流-位置角之間的解析關(guān)系，這是開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)建模過程中較為突出的難點(diǎn)問題。

開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)磁鏈特性的獲取有多種方法，較為常用的有:有限元分析法［7］、解析法［8］和實(shí)驗(yàn)測量法。雖然有限元分析法的結(jié)果精度較高，但需要測量精確的電動(dòng)機(jī)元件的幾何尺寸和詳細(xì)的電動(dòng)機(jī)基本參數(shù)，且計(jì)算量大，對(duì)于給定的電動(dòng)機(jī)并不適用;解析法是先對(duì)一些特殊位置的磁鏈特性及相關(guān)參數(shù)進(jìn)行測量，然后通過數(shù)學(xué)分析方法估算出完整的磁鏈特性，此方法雖能夠反映磁化規(guī)律，但并非電動(dòng)機(jī)實(shí)際的磁鏈特性，更適用于仿真研究;實(shí)驗(yàn)測量法既能夠準(zhǔn)確地測量出電動(dòng)機(jī)的實(shí)際磁鏈特性，實(shí)現(xiàn)過程也較為簡便，也沒有繁瑣的分析計(jì)算，因此，實(shí)驗(yàn)測量是一種較為理想的磁鏈特性獲取方法。

基于實(shí)驗(yàn)法，本研究對(duì)一臺(tái)四相8/6 極開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的磁鏈特性進(jìn)行測量，得到樣機(jī)的磁鏈模型，給出實(shí)驗(yàn)方法和步驟，并和分析法所建立的模型進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本研究的建模方法的正確性和有效性。

1 開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)作為一種典型的機(jī)電一體化裝置，具有基本的電磁特性和機(jī)械特性，并可列寫描述這些特性的電路方程、機(jī)械方程和機(jī)電聯(lián)系方程。其電磁特性可由電壓平衡方程描述，即:

式中:Ψ(θ，i)—電動(dòng)機(jī)任意相的磁鏈;v(t)，i(t)，R—該相繞組的電壓，電流和電阻值;θ—該相所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子位置角。

開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性可由其機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程描述，即:

式中:ω—轉(zhuǎn)子角速度;T(θ，i)，TL—開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J，B—系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦系數(shù);即:

與在N、S 磁場中受力而產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的傳統(tǒng)電動(dòng)機(jī)不同，開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子是沿著使磁路的磁阻最小的方向，由非對(duì)齊位置向?qū)ζ湮恢棉D(zhuǎn)動(dòng)。其電磁轉(zhuǎn)矩T(θ，i)為磁共能的非線性函數(shù)，隨著不同位置處磁共能的變化而變化，即:

式中:W'(θ，i)—電動(dòng)機(jī)的磁共能，由各位置磁鏈對(duì)電流的積分得到，即:

從文化上講，幼發(fā)拉底河和底格里斯河是美索不達(dá)米亞文化，后來的希伯來文化、阿拉伯文化的起源地，也是世界四大文明的發(fā)祥地之一。猶太人創(chuàng)立了猶太教，滅國以后，猶太人被擄到埃及，說是從摩西帶領(lǐng)以色列人出埃及時(shí)開始撰寫《摩西五經(jīng)》，其實(shí)是猶太人被擄到巴比倫以后才開始寫作《摩西五經(jīng)》。猶太教義被傳播，才有了基督教。如果承認(rèn)西方文明的兩“?！?希伯來、希臘)起源的話，更應(yīng)該尊重“巴比倫”的稱謂，不是連伯特曼也承認(rèn)巴比倫的《漢謨拉比法典》是世界上第一部法典嗎？

顯然，方程(4，5)的解需要得到磁鏈Ψ、電流i和位置角θ 三者之間關(guān)系，即磁鏈特性Ψ(θ，i)。因此，開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于獲取磁鏈特性Ψ(θ，i)以求得各系統(tǒng)變量之間的關(guān)系。由式(1～5)可以得到開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)各系統(tǒng)變量之間的關(guān)系，如圖1 所示。

圖1 開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)模型結(jié)構(gòu)

2 開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)磁鏈特性的測量

2.1 實(shí)驗(yàn)基本原理及電路

電動(dòng)機(jī)的磁鏈特性若采用直接測量的方法需要昂貴的磁鏈傳感器和復(fù)雜的安裝調(diào)校過程，因此通常采用間接法。對(duì)式(1)變形可知，開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的磁鏈可由繞組的電感壓降對(duì)時(shí)間的積分得到，即:

由此可見，磁鏈特性可通過先測量電動(dòng)機(jī)繞組電壓v(t)和電流i(t)再進(jìn)行積分計(jì)算間接獲取。間接測量法又可分為交流法、交/直流法和直流法。交流法使用交流電源供電，在測量過程中需要給電動(dòng)機(jī)繞組安裝探測線圈，且測得磁鏈和電流均小于實(shí)際值，實(shí)驗(yàn)的可行性和結(jié)果并不理想。交/直流法將先使用整流濾波電路將交流電轉(zhuǎn)化為直流電再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但交流電源的諧波分量仍然會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并造成不可忽略的誤差。直流法使用直流電源直接供電，即無需加設(shè)探測線圈也可避免交流電源的諧波問題，與此同時(shí)，繞組中通入直流脈沖電壓比交流正弦電壓更接近于開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的實(shí)際供電模式。因此，本研究采用一種簡單便捷的直流方法。

假定開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的各相繞組完全相同且相互獨(dú)立，則只需對(duì)其中的任意一相進(jìn)行測量。由于磁鏈Ψ(θ，i)是相電流i和轉(zhuǎn)子位置角θ 的二元函數(shù)，需要對(duì)一個(gè)周期內(nèi)各位置的磁化特性Ψ－i 分別進(jìn)行測量。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子將會(huì)被固定在某一特殊位置，通常從對(duì)齊位置或非對(duì)齊位置開始，并向電動(dòng)機(jī)繞組供以直流脈沖電壓，記錄下整個(gè)過程繞組的電壓v(t)和電流i(t)的變化，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入計(jì)算機(jī)，再結(jié)合已知的繞組阻值R，由式(6)進(jìn)行積分計(jì)算便可得到該位置的磁化特性Ψ－i。此時(shí)筆者將電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子向下一個(gè)位置轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度再次進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)過程，以此類推直到測完一個(gè)周期的磁化特性Ψ(θ，i)。

實(shí)驗(yàn)電路原理圖及實(shí)物圖如圖2 所示。L和R2為待測電動(dòng)機(jī)任意一相繞組的等效電路，分別代表相電感和相電阻。繞組經(jīng)過功率開關(guān)元件IGBT 連接電源VCC。為了避免交流電源的諧波和電路中的RLC 振蕩所引起的誤差，本研究采用一種精密可調(diào)直流穩(wěn)壓電源供電，結(jié)合穩(wěn)壓電容C1，具有比需進(jìn)行整流濾波的交流電源更好的穩(wěn)壓能力。本研究使用數(shù)字示波器測量并記錄繞組電壓v(t)，以及測試電阻R1的電壓以間接計(jì)算電流i(t)，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。續(xù)流二極管的作用是在IGBT 關(guān)斷時(shí)為所測繞組提供釋放能量的通道。IGBT 的通斷由信號(hào)發(fā)生器來控制。

圖2 實(shí)驗(yàn)電路原理圖及實(shí)物圖

2.2 實(shí)驗(yàn)的基本步驟

本研究的實(shí)驗(yàn)對(duì)象為一臺(tái)四相8/6 極開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)，被測樣機(jī)基本參數(shù)如表1 所示。該實(shí)驗(yàn)將對(duì)電動(dòng)機(jī)從對(duì)齊位置(30°)到非對(duì)齊位置(0°)之間各位置的磁化特性進(jìn)行測量。測量時(shí)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子被分度卡盤固定在特定位置，并供給18 V 的直流脈沖電壓。由于相繞組阻值很小(1.8 Ω)，且轉(zhuǎn)子堵轉(zhuǎn)無感應(yīng)電動(dòng)勢，為了避免瞬間電流過高而燒壞繞組，功率開關(guān)元件的工作周期不宜過長，且導(dǎo)通時(shí)間應(yīng)比關(guān)斷時(shí)間小得多。與此同時(shí)，還應(yīng)保證電流能夠達(dá)到飽和，經(jīng)過調(diào)試，將信號(hào)發(fā)生器輸出的IGBT 觸發(fā)信號(hào)頻率設(shè)置為1 Hz，占空比設(shè)置為10%可滿足實(shí)驗(yàn)要求。為了準(zhǔn)確地找到實(shí)驗(yàn)初始對(duì)齊位置(30°)，本研究可對(duì)繞組供電并讓轉(zhuǎn)子自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子會(huì)最終停止在對(duì)齊位置。當(dāng)測完對(duì)齊位置的數(shù)據(jù)，筆者將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)3°進(jìn)行下一個(gè)位置的測量，以此重復(fù)，直到測完非對(duì)齊位置(0°)為止。至此，筆者將數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行積分運(yùn)算便可得到半個(gè)周期的磁鏈特性。由于開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)對(duì)齊位置兩側(cè)的磁鏈特性是對(duì)稱的，只需對(duì)半個(gè)周期的磁鏈特性進(jìn)行測量。

表1 被測樣機(jī)基本參數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本研究以3°為步距角進(jìn)行了測量實(shí)驗(yàn)，得到0°，3°，6°，…，30°，共11個(gè)位置的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。部分位置的繞組電壓、電流波形如圖3 所示。圖象上方為繞組電壓波形(10 V/格)，下方為描述繞組電流的測量電阻的電壓波形(1 V/格)，示波器采樣周期為1 ms。從圖3 中可以看出，由于電動(dòng)機(jī)繞組為感性負(fù)載，電流需要一定的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，IGBT 關(guān)斷后電壓立即減為零，電流通過續(xù)流二極管釋放。越接近對(duì)齊位置(30°)電流上升速度越慢，這是因?yàn)樵浇咏鼘?duì)齊位置電路的電感越大，故時(shí)間常數(shù)越大。

式中:k—采樣點(diǎn)的序列;k=1，2，3，…，Ts—采樣周期，該實(shí)驗(yàn)中為1 ms。

圖3 不同位置的繞組電壓電流波形

圖4 未經(jīng)濾波的磁鏈特性

由于開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子無永磁體，因此磁鏈的初始值Ψ(0)=0。未經(jīng)濾波的磁鏈特性如圖4 所示。若將原始數(shù)據(jù)直接進(jìn)行積分運(yùn)算，計(jì)算相對(duì)繁瑣，所得到的磁鏈特性曲線會(huì)因?yàn)闇y量誤差以及噪聲等因素的干擾而存在較大的波動(dòng)。因此，為了簡化計(jì)算以及對(duì)原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，本研究將使用Simpson 1/3 法則進(jìn)行積分運(yùn)算［9-10］，可將式(7)轉(zhuǎn)化為:

式中:k=2，4，6，…;Ψ(0)=0;Ts=0.001 s。

將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行3 階多項(xiàng)式擬合［11-12］，可得濾波處理后半個(gè)周期內(nèi)不同位置下磁鏈特性曲線如圖5所示。

圖5 濾波處理后的磁鏈特性

從圖5 中可以看出在對(duì)齊位置和非對(duì)齊位置附近磁鏈特性曲線分布較為密集，中間位置分布較為平均。越接近對(duì)齊位置曲線彎曲程度越大，越接近非對(duì)齊位置曲線越接近直線。由此可見，開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)具有很強(qiáng)的非線性性，并且在越接近對(duì)齊位置處越顯著。這是由于轉(zhuǎn)子越靠近定子時(shí)電感值越大，當(dāng)定轉(zhuǎn)子完全對(duì)齊后電感達(dá)到最大值。由開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)電感與磁鏈的關(guān)系，可得到:

即得到電動(dòng)機(jī)在不同電流值下的電感曲線，如圖6 所示?？梢娫谕晃恢孟拢姼兄翟酱箅娏髟叫?，且越接近對(duì)齊位置電感對(duì)電流的影響越大。

圖6 不同電流對(duì)應(yīng)的電感曲線

最后，本研究將用文獻(xiàn)［13］中提出的解析法建立磁鏈模型，與本研究建立的模型進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)［13］提出的方法首先需要確定非對(duì)齊位置和對(duì)齊位置的磁化特性的解析式Ψq和Ψd，再基于這兩個(gè)特殊位置的磁化特性用非線性方程計(jì)算其余各位置的磁化特性。非對(duì)齊位置磁鏈與電流呈線性關(guān)系，即:

式中:Lq—非對(duì)齊位置電感。

對(duì)齊位置磁化特性由非線性方程描述，即:

式中:Ldsat—對(duì)齊位置飽和電感;A，B—常數(shù)，可由下式確定，即:

式中:Ld—對(duì)齊位置不飽和電感;Im、Ψm—最大電流及最大電流對(duì)應(yīng)的最大磁鏈。

對(duì)齊位置和非對(duì)齊位置之間各角度處磁鏈與電流關(guān)系可由非線性函數(shù)Ψ(θ，i)確定，即:

式中:Nr為轉(zhuǎn)子極數(shù)。

因此，本研究得到電動(dòng)機(jī)Lq、Ld、Ldsat、Im、Ψm5個(gè)參數(shù)，便可由上式(14、15)得到磁鏈與電流和位置角之間的關(guān)系?；谠搶?shí)驗(yàn)所測量數(shù)據(jù)，本研究可確定樣機(jī)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為Lq=0.003 H、Ld=0.092 H、Ldsat=1.79 mH、Im=6.5 A、Ψm=0.25 Wb，由此可計(jì)算得到電動(dòng)機(jī)不同位置的磁鏈特性曲線如圖7 所示。經(jīng)過對(duì)比可以看出兩種方法所建磁鏈模型較為吻合，磁化規(guī)律基本一致，解析法所得結(jié)果略低于實(shí)驗(yàn)法所得實(shí)際值，進(jìn)一步驗(yàn)證了本研究使用方法的正確性和有效性。

圖7 解析法所得磁鏈模型

4 結(jié)束語

本研究提出了一種基于實(shí)驗(yàn)測量的開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)磁鏈建模方法，詳細(xì)介紹了實(shí)驗(yàn)原理和步驟以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，并對(duì)一臺(tái)四相8/6 極開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，獲取了樣機(jī)的磁鏈模型，同時(shí)與采用解析的方法建立的樣機(jī)的磁鏈模型進(jìn)行了對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本研究提出的方法易于實(shí)現(xiàn)、成本低，所建模型具有較高的精度，準(zhǔn)確地獲取磁鏈特性對(duì)于下一步開關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)的分析、仿真以及控制策略的研究具有重要意義。

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