有限差分法求解薛定諤方程

宮建平

（晉中學(xué)院 信息技術(shù)與工程學(xué)院，山西晉中 030600）

0 引言

在量子力學(xué)中,對于一些簡單的量子體系,如一維無限深勢阱、線性諧振子、氫原子等體系的薛定諤方程可以嚴格求解,得到描述體系的精確的狀態(tài)波函數(shù)和能量.但大多數(shù)量子體系的哈密頓算符都比較復(fù)雜,薛定諤方程一般得不到精確的解析解，有時能級可以給出解析表達式，但卻無法得到波函數(shù)的解析表達式.因此,研究和發(fā)展薛定諤方程的計算方法就具有重要的意義.

由于有限差分法可以處理在幾乎所有形式的勢能函數(shù)中運動的粒子,并且因為計算主程序并不依賴于勢能函數(shù)的具體形式，因此可以進行相對精確的計算,對于確定量子體系的束縛態(tài)能級和相應(yīng)的波函數(shù)是一種非常有效的計算方法.近年來人們對有限差分法求解本征值問題進行了研究[1～2],但由于有限差分法求解的邊界條件是假設(shè)計算區(qū)間的端點的波函數(shù)為零,這相當(dāng)于在區(qū)間端點加上一無窮高的勢壘,所以解總是存在的,但這里給出的解并不一定是原來給定勢下的束縛態(tài)的解.本文對這一問題進行詳細的討論.

1 束縛態(tài)薛定諤方程的有限差分算法

根據(jù)有限差分法中的二階微分中心差分算符可以將一維薛定諤方程寫作

當(dāng)取m=0，1，2，3，…，M.并且注意到滿足條件 ψ0=ψM=0，則由（1）式得到一系列線性方程式，這樣將本征值方程離散化為矩陣方程

我們將相對復(fù)雜的方程就轉(zhuǎn)化為矩陣S的對角化問題,利用計算機數(shù)值計算可以容易將矩陣S的本征值和本征函數(shù)同時求出.

我們以線性諧振子為例討論,線性諧振子的能量本征值方程為

為方便起見，引入無量綱變量ξ代替x，它們的關(guān)系是

薛定諤方程可改寫為下面無量綱的形式

令,ψm=ψm(ξm)，ξm=ɑ+mΔξ，1≤m≤M，邊界條件寫成

實際上取ψ0=ψM=0（8）式得到一系列線性方程式

2 計算間隔的選擇與波函數(shù)的歸一化

在（10）式的計算中計算間隔直接影響本征值精度，并且發(fā)現(xiàn)計算間隔不同時所得的波函數(shù)曲線也會發(fā)生變化.圖1是在區(qū)間[-5，]5內(nèi)計算間隔分別取0.1，0.01，0.005時的波函數(shù)曲線，相應(yīng)的能量本征值分別為0.4997?ω，0.5000?ω,0.5000?ω.如果要求精度精確到0.0001?ω，那么計算間隔取作0.01應(yīng)該能夠達到要求，因為在所要求的精度內(nèi)，再減小計算間隔已經(jīng)不再影響能量本征值的大小.

在圖1中我們用點劃線、虛線和點線繪制計算間隔為0.1、0.01和0.05時的波函數(shù)曲線，但是從波函數(shù)曲線看，當(dāng)計算間隔減小時它的形狀仍然隨著計算點數(shù)的增加而變化，峰值逐漸減小.

波函數(shù)隨著計算點數(shù)的變化而變化，這種不確定性可通過波函數(shù)的歸一化解決，歸一化系數(shù)可以利用數(shù)值積分求得.當(dāng)然數(shù)值積分不可能像解析解一樣積分區(qū)間取為(-∞，∞)，但因為在計算區(qū)間之外波函數(shù)全為零，所以積分區(qū)域可以選擇為(x0，xM).經(jīng)過歸一化后的波函數(shù)相當(dāng)于在解析解中確定了歸一化常數(shù)，波函數(shù)應(yīng)該是唯一的（當(dāng)然仍可差一相位因子）.

圖1中歸一化后的波函數(shù)曲線是在區(qū)間[-5，]5內(nèi)計算間隔分別取0.1、0.01和0.005時的波函數(shù)曲線，其本征值不變.圖1中計算間隔取0.1、0.01和0.005時均使用細實線繪制，我們發(fā)現(xiàn)不同計算間隔的波函數(shù)曲線完全重合，并與解析解繪制的波函數(shù)完全一致.

計算間隔并不是固定的,它隨著對本征的精度要求和具體的勢函數(shù)不同而不同.正確的計算間隔應(yīng)該是在本征精度要求范圍內(nèi)計算間隔變化不引起本征值變化為宜.

圖1 計算間隔分別取0.1、0.01和0.005時分別用點劃線、虛線和點線繪制未歸一化的波函數(shù)曲線,用實線繪制的歸一化波函數(shù)曲線，歸一化波函數(shù)的曲線重合在一起.

3 計算區(qū)間的選擇

由于在有限差分計算中，計算區(qū)間的端點假定ψ0=ψM=0，這相當(dāng)于在計算區(qū)間的端點人為地加入一無窮高的勢壘.只有當(dāng)此無窮高的勢壘不影響原來勢中運動粒子的運動狀態(tài)時才能得出正確的結(jié)論.如果位于端點處的無窮高勢壘不影響粒子的運動狀態(tài)，從物理上來講應(yīng)該是該粒子的運動區(qū)域應(yīng)小于計算區(qū)間，就是說粒子不可能到達無窮高的勢壘附近.這也就是說在計算區(qū)間的端點附近波函數(shù)應(yīng)該已經(jīng)為零而不是在端點處才等于零.從另一方面說，由于在計算區(qū)間外的波函數(shù)為零，所以波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)亦為零，由波函數(shù)及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件，可知在計算區(qū)間的端點處的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)亦應(yīng)該是零，在真實的勢中運動的粒子在任何地方導(dǎo)數(shù)都應(yīng)該是連續(xù)的.與無限深勢阱中運動的粒子不同，在無限深勢阱中粒子可以運動到阱壁附近，所以在阱壁處波函數(shù)才降為零，當(dāng)然此種情況下，波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不連續(xù).

圖2、圖3是對一維諧振子勢利用有限差分法計算區(qū)間分別取[-2，2]、[-4，4]和[-6，6]得到的波函數(shù)曲線，其對應(yīng)的本征值分別為λ=1.0739、λ=1.0000和λ=1.0000，則相應(yīng)的能量本征值分別為0.5369?ω、0.5000?ω和0.5000?ω.由于在計算區(qū)間[-2，2]的端點諧振子的波函數(shù)并不為零，這說明在區(qū)間的端點人為地加上兩無窮高的勢壘對粒子的運動產(chǎn)生了影響，所以得出了錯誤的結(jié)果.當(dāng)計算區(qū)間擴大為[-4，]4和[-6，6]，在接近計算區(qū)間的端點時波函數(shù)已經(jīng)為零，因而位于端點的兩無窮高的勢壘并不影響問題的解，所以得出符合要求的本征值與波函數(shù).

如果給出一個較為嚴謹?shù)臉藴剩瑧?yīng)該要求在計算區(qū)間的端點波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.這樣才能使有限計算區(qū)間端點波函數(shù)與計算區(qū)間外的波函數(shù)（波函數(shù)為零）光滑連接.實際情況也的確如此，圖3分別給出了上述波函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)曲線，從圖3看出當(dāng)計算區(qū)間取為[-2，]2時,它的端點處波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不為零（圖3中的點劃線表示），實際上從圖2可以發(fā)現(xiàn)計算區(qū)間取為[-2，2]時端點的波函數(shù)曲線的斜率不為零（圖2中的點劃線表示），而從圖2給出的區(qū)間取為[-4，4]、[-6，6]時波函數(shù)曲線（圖中用實線和點線表示）在計算端點處均為零，從圖3都能看出波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線在計算區(qū)間的端點也均為零（圖中用實線和點線表示）.

圖2 計算區(qū)間取為[-2，2]、[-4，4]和[-6，6]時的波函數(shù)曲線分別用點劃線、實線與點線繪制.

圖3 計算區(qū)間取為[-2，2]、[-4，4]和[-6，6]時的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線分別用點劃線、實線與點線繪制.

如果計算區(qū)間與計算間隔選取合適，那么當(dāng)擴大計算區(qū)間時得到的本征值應(yīng)該保持不變，并且計算區(qū)間擴大后的波函數(shù)與原來計算區(qū)間的波函數(shù)在相同區(qū)域內(nèi)應(yīng)該完全重合.這說明我們假定的邊界條件ψ0=ψM=0（在端點的無窮高勢壘處）并未影響原來粒子的運動，同時它們對應(yīng)的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線也應(yīng)該重合.如圖2、圖3所示.圖2中計算區(qū)間分別取[-4，4]和[-6，6]繪制了兩不同區(qū)間的波函數(shù)，其中區(qū)間[-4，4]和[-6，6]的波函數(shù)分別用實線與點線繪制，而圖3給出了相應(yīng)的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線.從圖2和圖3中可以看出在相同的區(qū)間[-4，4]內(nèi)波函數(shù)和它們的導(dǎo)數(shù)是完全重合的.

圖4 計算區(qū)間取為[-4，4]和[-6，6]時,分別用實線和點線繪制的n=3的波函數(shù)曲線.

圖5 計算區(qū)間取為[-4，4]和[-6，6]時,分別用實線和點線繪制的n=3的波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線.

另外，對于相同的勢，隨著粒子能量的提高，粒子活動的范圍變大，計算區(qū)間將隨之?dāng)U大，所以適合于低能級的計算區(qū)間，并不適合高能級的粒子.比如計算區(qū)間[-4，]4適合低能級的情況，但對于較高能級n=3時計算所得的能量本征值為E=3.5016?ω，其波函數(shù)曲線和波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線如圖4、圖5所示，當(dāng)計算區(qū)間取為[-4，4]時，波函數(shù)（圖4中用實線表示）在兩端點處等于零，但接近端點處的區(qū)域并不為零，而導(dǎo)數(shù)曲線在兩端點并不等于零（圖5中用實線表示）.從本征值和波函數(shù)及導(dǎo)數(shù)曲線來看，計算區(qū)間[-4，4]并不適合n=3的情況.但如果計算區(qū)間擴大為[-6，6]時，計算所得的本征值為E=3.5000?ω，而波函數(shù)與對應(yīng)的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線如圖4和圖5中的實線所示.此時得到的能量本征值與波函數(shù)與解析解的是一致的.

4 非線性諧振子的勢

下面我們用有限差分法討論非線性諧振子的束縛態(tài)問題[3].假定非線性諧振子的勢為：

為方便起見，引入無量綱的變量ξ代替x，它們的關(guān)系是如（6）式所示.令

非線性諧振子的哈密頓方程為可改寫為

當(dāng)β取0.1時，我們利用有限差分法求解本征值方程（14）式.計算時保持計算密度Δx=0.005不變,計算區(qū)間分別取[-5，5]和[-6，6]，得到的本征值均為0.4843，其波函數(shù)如圖6所示，圖中實線和點線分別表示計算區(qū)間取[-5，5]和[-6，6]時的波函數(shù).雖然在變化計算區(qū)間時本征值并沒有發(fā)生變化，但如果比較圖6中的實線和點線可以看出在計算區(qū)間重合的區(qū)域內(nèi)[-5，5]兩者的波函數(shù)并不重合，并且波函數(shù)在計算區(qū)間左端點時，并不是在接近端點時已經(jīng)為零，而是在端點處才突然降為零.將計算區(qū)間取為[-5，5]和[-6，6]的波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線繪制出來，如圖7所示，發(fā)現(xiàn)它們的導(dǎo)數(shù)在左端點處均不為零，根據(jù)前面的討論，我們判斷在β取0.1時,并不存在束縛態(tài).相同的討論發(fā)現(xiàn)當(dāng)β取1時，也不存在束縛態(tài).

實際上對應(yīng)于計算區(qū)間[-5，5]和[-6，6]的計算結(jié)果應(yīng)該相當(dāng)于在下述勢中粒子運動的結(jié)果：

圖6 計算區(qū)間取為[-5，5]和[-6，6]時的波函數(shù)曲線分別用實線與點線繪制.

圖7 計算區(qū)間取為[-5，5]和[-6，6]時的波函數(shù)導(dǎo)數(shù)曲線分別用實線與點線繪制.插圖為β=0.1時的勢能曲線.

運動.在（16）和（17）所表示的勢阱中運動，粒子的能級也為0.4843?ω.

圖7繪制出β取0.1時的勢能曲線.從圖中可看出當(dāng)β=1時，即Kmax=1.8519，文獻[4]表1所說的對應(yīng)于n=2的能級已經(jīng)大于2?ω，即已經(jīng)大于勢左端的極大值Vmax=Kmax?ω=1.8519?ω，這種能量的粒子是不可能處于束縛態(tài)的.同理當(dāng)β=1時，由于Vmax=Kmax?ω=0.0185?ω所以也不可能存在文獻[4]表1中的束縛態(tài)能級.

實際上對于勢為對稱分布的情況，一般總存在至少一個束縛態(tài)，但如果勢的分布并不對稱，可能并不存在束縛態(tài).根據(jù)有限差分法的計算和上述討論，我們可以斷定在β＞0.1時實際上并不存在束縛態(tài)能級.

當(dāng)β取0.09時，即Vmax=Kmax?ω=2.2862?ω，計算區(qū)間取[-5，5]得到的第一個本征值E0=0.4877(?ω)，對應(yīng)的波函數(shù)和波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如圖8、圖9中實線所示.計算區(qū)間取[-6，6]得到的本征值仍然是E0=0.4877(?ω)，對應(yīng)的波函數(shù)和波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如圖8、圖9中點線所示.

圖8 當(dāng)β=0.09時，計算區(qū)間取為[-5，5]和[-6，6]時的波函數(shù)曲線分別用實線與點線繪制.

圖9 當(dāng)β=0.09時,計算區(qū)間取為[-5，5]和[-6，6]時的波函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)曲線分別用實線與點線繪制.

從圖8和圖9可以看出，兩者在區(qū)間[-5，]5內(nèi)是重合的,而兩區(qū)間的波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在端點均為零.從此可以判斷存在一個束縛態(tài),不過通過計算可知此時并不存在更高級的束縛態(tài).

4 總結(jié)

有限差分法求解定態(tài)薛定諤方程存在一系列的解,但這些解是否是滿足給定勢函數(shù)的束縛態(tài)解卻需要進行考察.如果是束縛態(tài)的解，波函數(shù)應(yīng)該在接近端點時已經(jīng)為零，而不是在端點處突然降為零，這就要求在端點處波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該為零.如果增大計算區(qū)間，得到的本征值應(yīng)該基本不變，波函數(shù)在相同的計算區(qū)間內(nèi)應(yīng)該重合，如果在計算區(qū)間變化時波函數(shù)形態(tài)不同或者波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間端點不為零則有限差分法得到的解并不是原來給定勢函數(shù)中運動粒子束縛態(tài)的解.

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