云模型和混沌粒子群算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化

趙文清，王立瑋，董月

華北電力大學(xué)控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北保定 071003

電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化是指在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和負(fù)荷情況給定的條件下，以滿足系統(tǒng)各運(yùn)行方式約束為前提，通過對(duì)系統(tǒng)控制變量的優(yōu)化計(jì)算，最大限度地提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性，改善電壓質(zhì)量，降低網(wǎng)損。具有非線性、多目標(biāo)、多約束、同時(shí)含有連續(xù)變量和離散變量等特點(diǎn)。當(dāng)前關(guān)于無功優(yōu)化的方法很多，傳統(tǒng)的經(jīng)典算法具有不可避免的局限性，無法處理離散變量，隨著人工智能和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了很多智能算法如遺傳算法、蟻群算法［1］、免疫算法［2］、粒子群算法［3］及混沌優(yōu)化算法［4］等，并相繼被引入到電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化問題，取得了較好的效果。其中尤以粒子群算法的研究最為突出，基本粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimizer，PSO)自1995年由Kennedy和 Eberhart提出以來，因其具有易實(shí)現(xiàn)、操作簡(jiǎn)單、參數(shù)較少等性能，發(fā)展迅速且應(yīng)用廣泛。然而，在搜索的初期收斂速度較快，在后期容易陷入局部最優(yōu)且收斂速度慢，這些是阻礙PSO算法進(jìn)一步推廣應(yīng)用的主要缺點(diǎn)。

針對(duì)上述粒子群優(yōu)化算法的不足之處，從前期混沌優(yōu)化到后期改進(jìn)其慣性權(quán)重參數(shù)入手，對(duì)基本粒子群算法進(jìn)行整體改進(jìn)。基本PSO是隨機(jī)生成初始解，這對(duì)算法精確度很不利，很可能存在搜索盲區(qū)。利用混沌算法具有遍歷性的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)粒子群進(jìn)行混沌初始化，在整個(gè)搜索空間里形成雜亂而有序的初始種群。研究表明［5］慣性權(quán)重對(duì)PSO算法的性能有較大影響，關(guān)于改進(jìn)慣性權(quán)重的方法已有很多，文獻(xiàn)［6］提出在迭代中對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行線性遞減處理的改進(jìn)策略，文獻(xiàn)［7］提出在設(shè)定的范圍內(nèi)動(dòng)態(tài)自適應(yīng)調(diào)整慣性權(quán)重的改進(jìn)策略。這2種方法都在不同程度上優(yōu)化了算法，但存在改進(jìn)不徹底和方法死板的問題，致使改進(jìn)效果不顯著。云模型［8-9］的云滴具有隨機(jī)性和穩(wěn)定傾向性的特性，將云模型理論與粒子群結(jié)合，應(yīng)用正態(tài)云發(fā)生器自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整［10］粒子的慣性權(quán)重。此外，可以對(duì)符合一定條件的粒子進(jìn)行基于云模型的變異，賦給粒子群全面搜索的能力，保證其及時(shí)跳出局部最優(yōu)。綜合以上考慮，文中提出了基于云模型和混沌粒子群算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化。

1 多目標(biāo)無功優(yōu)化模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化技術(shù)要求建立以即有功網(wǎng)損PLoss最小、電壓偏差ΔU最小和靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度ΔV最大的多目標(biāo)無功優(yōu)化模型，數(shù)學(xué)模型如下:

式中:Gk為節(jié)點(diǎn)i，j之間的支路k的電導(dǎo)，NB為參與有功網(wǎng)損計(jì)算的系統(tǒng)支路條數(shù)，Tk為變壓器k的變比，Ui是節(jié)點(diǎn)i的電壓幅值，Uj是節(jié)點(diǎn)j的電壓幅值，θij為節(jié)點(diǎn)i和j之間的電壓相角差，為節(jié)點(diǎn)額定電壓幅值，ΔUimax為最大允許電壓偏差，NL為系統(tǒng)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)數(shù)。

1.2 功率潮流約束條件

1)節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率平衡約束如下:

式中:Gij、Bij、θij分別表示節(jié)點(diǎn)i和j之間的電導(dǎo)、電納和相角差，Pgi、Qgi分別表示節(jié)點(diǎn)i發(fā)電機(jī)的有功功率和無功功率，Pdi、Qdi分別表示負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率，Qci代表節(jié)點(diǎn)i所加并聯(lián)電容器的無功補(bǔ)償量，Ni為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

2)變量約束條件。

控制變量約束條件:

1.3 多目標(biāo)無功優(yōu)化的模糊解法

文中試圖把多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型之后再進(jìn)行求解。首先把上述3個(gè)無功優(yōu)化子目標(biāo)轉(zhuǎn)化為在［0，1］區(qū)間取值的隸屬度函數(shù)。個(gè)體某種指標(biāo)越差，相應(yīng)的隸屬度值越大。優(yōu)化的目的是將隸屬度值最大的指標(biāo)最小化。采用隸屬函數(shù)線性函數(shù)解法。對(duì)于式(1)，設(shè)3個(gè)子目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)分別為μ1(x)、μ2(x)、μ3(x):

根據(jù)交模糊判決，原問題可轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)形式，則可以根據(jù)式(6)求解得到多目標(biāo)無功優(yōu)化最優(yōu)解x*:，其中，μp(x1，x2)為最優(yōu)隸屬度［11］。

2 改進(jìn)的混沌粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

設(shè)在一個(gè)D維目標(biāo)搜索空間，粒子群為M，向量Xi=(xi1xi2… xij… xid)表示粒子群在D維空間中第i個(gè)粒子的位置，j表示變量xi的第j維分量;向量Vi=(vi1vi2… vid)表示第i個(gè)粒子的“飛行”速度，決定粒子在搜索空間單位迭代次數(shù)的位移;Pi=(pi1，pi2，…，pid)表示第 i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置;Pg=(pg1，pg2，…，pgd)表示當(dāng)下整個(gè)粒子群中搜索到的最好位置;第i個(gè)粒子從n－1代迭代到n代按式(7)來調(diào)整速度和相應(yīng)的位置［12］:

式中:ω為慣性權(quán)值，vi(t)為粒子i在t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)速度，xi(t)為粒子i當(dāng)前位置，pi(t)為粒子i的個(gè)體最優(yōu)值，pg(t)為粒子i的全局最優(yōu)值，c1和c2為加速系數(shù)，通常取值為2，r1和r2是僅在［0，1］范圍內(nèi)取值的隨機(jī)數(shù)，n為迭代次數(shù)。

2.2 云理論

云模型是為定性和定量之間的相互轉(zhuǎn)換提供了一種手段，主要刻畫了客觀世界中事物或人類知識(shí)不確定性概念和確定數(shù)值之間的模糊性和隨機(jī)性。

云模型利用期望Ex、熵En、超熵He表示它的數(shù)字特征，這3個(gè)數(shù)字特征可以表示上的定量特征。當(dāng)μA(x)服從正態(tài)分布時(shí)，稱為正態(tài)云模型。

定義2 正態(tài)云發(fā)生器，實(shí)現(xiàn)了從定性語言值到其定量表示之間的不確定轉(zhuǎn)換，可用以下算法描述:

1)生成以En為期望值，He為標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)E'n;

2)生成Ex為期望值，E'n絕對(duì)值為標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)x，其中，x稱為論域空間中的一個(gè)云滴;

4)重復(fù)1)～3)，直到產(chǎn)生N個(gè)云滴終止。

2.3 混沌思想

基本粒子群算法采用隨機(jī)生成初始粒子，存在無法遍及整個(gè)空間的缺點(diǎn)。而混沌具有遍歷特性，采用混沌算法產(chǎn)生初始解，將大大增加粒子種群的多樣性，增加全局尋優(yōu)能力。目前應(yīng)用較廣的混沌系統(tǒng)是Logistic映射:

式中:zk為混沌變量，μ為控制參數(shù)。當(dāng) μ=3.571448時(shí)，該映射開始進(jìn)入混沌狀態(tài)，當(dāng)μ=4時(shí)，混沌系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)，文中采用Logistic完全混沌迭代方程zk+1=4zk(1－zk)，zk∈(0，1)完成粒子的混沌初始化處理。

2.4 云自適應(yīng)粒子群調(diào)整進(jìn)化策略

設(shè)定favg=為粒子群的平均適應(yīng)值，按此將種群分成為靠近最優(yōu)粒子的種群、較靠近最優(yōu)粒子的種群及遠(yuǎn)離最優(yōu)粒子的3個(gè)子群，其中fi為粒子Xi在第k次迭代的適應(yīng)度值;首先將粒子群按照favg分為2部分，優(yōu)于favg的適應(yīng)值求平均得到f'avg，次于favg的適應(yīng)值求平均得到f″avg;再根據(jù)f'avg和f″avg將粒子群分成3部分，具體分配策略如下:

第1部分粒子的fi＜f'avg，這些粒子是距離最優(yōu)值很近的粒子，接下來要做的就是加快全局收斂的速度，到達(dá)最優(yōu)值即可，故ω取最小值ω =0.4。

第2 部分的粒子 fi∈［f'avg，f″avg］，這部分粒子是種群中普通的粒子，作為重點(diǎn)處理對(duì)象，由正態(tài)云發(fā)生器非線性動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子Xi的慣性權(quán)重。自適應(yīng)粒子群慣性權(quán)重ω生成算法如下:

式中:c1、c2為控制參數(shù)，由于0＜＜1，所以ω ∈［0.4，0.9］，因而ω會(huì)隨著粒子的適應(yīng)度發(fā)生變化，適應(yīng)度小的粒子即可獲得較小的ω值。

第3部分的粒子fi＞f″avg，這部分的粒子距離最優(yōu)值很遠(yuǎn)，為群體中較差的粒子，需要加大跨度搜索，故ω取最大值，ω =0.9。

2.5 云變異粒子群優(yōu)化算法調(diào)整策略

通常若粒子連續(xù)N代都沒有更新則認(rèn)為此時(shí)的粒子群陷入局部最優(yōu)，文中利用如下方法對(duì)這部分粒子進(jìn)行變異操作:通過正態(tài)云發(fā)生器的期望Ex、熵En及超熵He對(duì)滿足變異條件的粒子完成變異操作。在這3個(gè)參數(shù)的控制下產(chǎn)生下一代子種群。具體實(shí)現(xiàn)策略如下:

當(dāng)粒子群滿足變異條件時(shí)，即達(dá)到預(yù)先設(shè)定的變異閾值N，變異閾值的設(shè)置通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)來設(shè)定一個(gè)常數(shù)，選定當(dāng)下全體粒子的全局最優(yōu)點(diǎn)為pg，變異策略如下:令正態(tài)云算子的數(shù)字特征分別為Ex=pg，En=2pg，He=En/10，根據(jù)定義 2 中的一維正態(tài)云發(fā)生器完成粒子的變異操作。

3 云模型和混沌粒子群算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化

綜上所述，給出基于云模型和混沌粒子群算法CAVCPSO的多目標(biāo)求解流程如圖1所示。

圖1 CAVCPSO算法對(duì)多目標(biāo)無功優(yōu)化問題的求解流程

l)初始化算法中需要的參數(shù)，包括輸入潮流數(shù)據(jù)，設(shè)定控制變量的約束范圍、種群規(guī)模、設(shè)定最大迭代次數(shù)等。

2)在符合1)中控制變量約束范圍時(shí)，利用2.3節(jié)的混沌算法初始化種群中粒子的速度和位置，粒子的維數(shù)為系統(tǒng)控制變量的個(gè)數(shù)。

3)確定各子目標(biāo)和約束的隸屬度，據(jù)1.3節(jié)模糊解法將多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化單目標(biāo)優(yōu)化模型。

4)進(jìn)行潮流計(jì)算，得到的每個(gè)粒子當(dāng)前的適應(yīng)度值，對(duì)每個(gè)粒子依據(jù)進(jìn)化策略進(jìn)行進(jìn)化操作，確定出當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值，將種群分成3個(gè)子群，根據(jù)3.4節(jié)云自適應(yīng)粒子群調(diào)整進(jìn)化策略進(jìn)行迭代更新，確定出新一代的Xi的速度和位置以及每個(gè)粒子全局最優(yōu)位置和個(gè)體最優(yōu)值及適應(yīng)值。

5)判斷是否達(dá)到變異閾值N，達(dá)到則按2.5節(jié)云變異粒子群優(yōu)化算法調(diào)整策略對(duì)粒子群進(jìn)行變異操作，否則直接轉(zhuǎn)步驟6)。

6)若滿足終止條件，就結(jié)束迭代，并且輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)步驟4)。

4 算例分析

多目標(biāo)無功優(yōu)化求解流程的主要步驟如下:

文中選擇IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作為測(cè)試仿真系統(tǒng)算例，在MATLAB7.0平臺(tái)之上編制文中所提算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化程序和系統(tǒng)潮流計(jì)算程序，潮流計(jì)算采用牛頓－拉夫遜法。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均采用標(biāo)么值，其中基準(zhǔn)功率為100 MVA，變壓器變比的調(diào)節(jié)步長(zhǎng)定為0.025，變比調(diào)節(jié)在0.90 ～1.10 p.u.之間，上下檔位數(shù)為 ±8，補(bǔ)償電容QC調(diào)節(jié)步長(zhǎng)為0.04，分10檔，補(bǔ)償上限設(shè)定為0.5 p.u.，初始電壓及變壓器的初始變比均設(shè)為1.0。粒子群規(guī)模n=40，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，ωmin=0.4，ωmax=0.9，最大迭代次數(shù) Maxiter=100，變異閾值 N=0.2。

實(shí)驗(yàn)1 相同條件下，對(duì)每個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行50次，將PSO、云自適應(yīng)粒子群算法(CAPSO)和文中提出的云自適應(yīng)變異混沌粒子群算法(CAVCPSO)3種算法應(yīng)用在IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的平均優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表1所示。由表1可知，文中提出的CAVCPSO算法進(jìn)行多目標(biāo)無功優(yōu)化計(jì)算后，有功網(wǎng)損由5.51 MW 降到4.87 MW，降幅為11.62%，其結(jié)果明顯優(yōu)于其他2種算法，通過與CAPSO算法的對(duì)比，證明了混沌思想和變異策略的有效性，此外，其他2個(gè)子目標(biāo)函數(shù)值也均有較好改善。

表1 IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的平均優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)2 在相同基本條件下，再將實(shí)驗(yàn)1的優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)［3］中的免疫算法(IA)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，各優(yōu)化算法得到的平均優(yōu)化結(jié)果如表2所示。由表2可知，免疫算法(IA)的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果平均值相比基本粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果，有功網(wǎng)損和電壓偏移量次于PSO算法，但是，靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo)優(yōu)于PSO，而CAVCPSO算法的有功網(wǎng)損、電壓偏移量和靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo)均優(yōu)于其他2種算法，進(jìn)一步驗(yàn)證了文中所提CAVCPSO算法的可行性。

表2 IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的平均優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

文中對(duì)IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上4種算法優(yōu)化后各控制變量的最優(yōu)值進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如表3。

表3 4種算法優(yōu)化后控制變量的值

表3 中，V1、V2、V5、V8、V11、V13 代表 6 臺(tái)發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)位置編號(hào);T1～T4代表4臺(tái)變壓器;Q10、Q24代表補(bǔ)償電容器。由表3可知，CAVCPSO算法優(yōu)化后的所有節(jié)點(diǎn)電壓、控制變量的值均距其上下限有一定的距離，沒有越過無功電源的出力極限，可以用于求解無功優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與系統(tǒng)電壓安全之間的沖突問題。據(jù)以上比較結(jié)果表明，文中所提方法進(jìn)行多目標(biāo)無功優(yōu)化可以得到高質(zhì)量的優(yōu)化解。

圖2所示為PSO算法、IA算法、CAPSO算法和CAVCPSO算法在求解多目標(biāo)無功優(yōu)化過程中有功網(wǎng)損目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線圖。從圖2可以看出，有功網(wǎng)損隨迭代次數(shù)的變化曲線可以直觀看出，通過與云模型結(jié)合后的CAPSO算法搜索速度和優(yōu)化效率都明顯提高，目標(biāo)函數(shù)顯著增優(yōu);而CAVCPSO算法在最初幾代降速很快，表明利用混沌初始化可使CAVCPSO算法從好的初始值完成快速尋優(yōu)。圖2也驗(yàn)證了文中所提CAVCPSO算法的收斂性好。

圖2 各優(yōu)化算法網(wǎng)損收斂特性曲線

實(shí)驗(yàn)3 將免疫算法(IA)、基本粒子群算法(PSO)和云自適應(yīng)變異混沌粒子群算法(CAVCPSO)3種算法應(yīng)用在IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的平均優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4所示。由表4可知，通過CAVCPSO算法優(yōu)化計(jì)算后，有功網(wǎng)損下降 10.63% ，電壓偏移量由0.1418下降到0.0362，靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度由0.1585提高到0.1958，說明在求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，CAVCPSO算法依然具有明顯優(yōu)化效果。CAVCPSO算法的這種特點(diǎn)是其在復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用成為可能。

表4 IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的平均優(yōu)化結(jié)果

5 結(jié)束語

粒子群算法作為應(yīng)用最廣泛的智能算法之一，因固有缺點(diǎn)阻礙了其進(jìn)一步推廣。文中分析了粒子群算法的迭代特點(diǎn)和規(guī)律，總結(jié)造成缺陷的原因及解決方法，逐一對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，自早期到后期完成對(duì)粒子群算法的全面改進(jìn)，提高了算法的性能。

將改進(jìn)算法應(yīng)用到多目標(biāo)無功優(yōu)化問題中，通過對(duì)IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)2個(gè)典型算例進(jìn)行多次優(yōu)化運(yùn)算，結(jié)果表明文中提出的CAVCPSO算法有效的解決了粒子群算法早熟、易陷入局部最優(yōu)等不足，且該算法用于解決多目標(biāo)無功優(yōu)化問題是有效可行的。

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