一類具有投資和干擾的Poisson－Geometric風(fēng)險模型

楊善兵

(鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇鹽城 224051)

1 模型介紹

定義1.1 如果某隨機變量N對應(yīng)的概率母函數(shù)為

則稱母函數(shù)G(t)所對應(yīng)的分布為復(fù)合Poisson－Geometric分布，記為PG(λ，ρ)。之所以稱為復(fù)合Poisson－Geometric分布是因為可以用以下方法得到該分布:

Poisson分布的一個重要性質(zhì)是方差等于均值，但是實際上索賠次數(shù)并不完全遵循Poisson分布規(guī)律，方差往往大于均值，這種現(xiàn)象對于Poisson分布來說叫散度偏大，散度偏大的模型有很多，其中復(fù)合Poisson－Geometric過程就是一例，本文就是介紹一類保費是隨機收取的復(fù)合Poisson－Geometric風(fēng)險模型。

考慮盈余過程［1－5］

其中:u(u≥0)為初始準(zhǔn)備金，i(i≥0)為投資利率，σ是常數(shù)，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，表示公司的隨機干擾，N(t)是強度為λ1時齊的Poisson過程。隨機變量Xi是收取的保費，設(shè)數(shù)學(xué)期望為μX;隨機變量列{Yi，i=1，2，…}是獨立同分布的索賠隨機變量列，設(shè)數(shù)學(xué)期望為μY。索賠計數(shù)過程K(t)是參數(shù)為(λ2，ρ)(0≤ρ＜1)的 Poisson－Geometric過程，再設(shè){Xi，i≥1}，{Yi，i≥1}，{N(t)，t≥0}，{K(t)，t≥0}和{W(t)，t≥0}，相互獨立。

通篇論文假定所有隨機變量的分布函數(shù)是輕尾的，數(shù)學(xué)期望為有限，且二階矩存在。為保證保險公司穩(wěn)定經(jīng)營，需進一步假設(shè)λμ ＞，1X即表示單位時間內(nèi)保費收入大于索賠，由此定義安全負(fù)荷系數(shù)θ=－1。定義破產(chǎn)時T=inf{t≥0:S(t)＜0|S(0)=u}，如果上集合不存在，則破產(chǎn)時T=∞;最終破產(chǎn)概率為Ψ(u)=Pr(T＜∞|S(0)=u)，則生存概率為Φ(u)=1－Ψ(u)。

2 最終破產(chǎn)概率

上面的第5個等式應(yīng)用到引理1的結(jié)論。

于是有

引理3 方程g(r)=0，在r＞0時，有唯一的正解R，并稱此解R為調(diào)節(jié)系數(shù)。證明:由引理2知:

設(shè){Ft，t≥0}是由過程 N(t)、K(t)和 W(t)生成的最大σ－代數(shù)流，顯然是非降的σ－代數(shù)流。

引理4 過程{Q(t)，t≥0}是平穩(wěn)的獨立增量過程。

證明:證明過程見參考文獻［3］。

引理 5 {Rt，F(xiàn)t，t≥0}是一鞅，其中 Rt=exp(－R(u(1+i)+Q(t)))，R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明:(1)顯然 Rt是關(guān)于{Ft，t≥0}可測的;

(2)由引理3得到

(3)對任意 0≤v≤t，

對于固定的時間 t，可以證明 T∧t是關(guān)于{Ft，t≥0}的有界停時。

定理:模型(1)的最終破產(chǎn)概率為

證明:利用有界停時定理:

由于當(dāng) t＜T 時，S(t)＞0，又{Rt，t≥0}是非負(fù)的鞅，由強大數(shù)定理知S(t)=+ ∞，a.s.，再由單調(diào)收斂定理和勒貝格控制收斂定理得到

推論:最終破產(chǎn)概率Ψ(u)滿足林德伯格不等式，即Ψ(u)≤exp(－Ru(1+i))。

證明:由于調(diào)節(jié)系數(shù) R＞0，S(T)≤0，exp{－RS(T)}≥1，不等式成立。

該不等式說明本文所構(gòu)造的模型的最終破產(chǎn)概率的上界也是關(guān)于初始準(zhǔn)備金u的指數(shù)函數(shù)，同時模型(1)具有和文獻［4］所討論的模型類似的結(jié)論。

［1］熊雙平.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson－Geometric過程的常利率風(fēng)險模型［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2006，23(1):15－17.

［2］熊雙平.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson－Geometric過程的常利率風(fēng)險模型的罰金函數(shù)［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2008，25(2):136－142.

［3］毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson－Geometric過程的風(fēng)險模型及破產(chǎn)概率［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，26(3):419－428.

［4］楊善兵，楊牧原.具有干擾和固定投資的相依聚集索賠的風(fēng)險模型［J］.合肥學(xué)院學(xué)報，2012(4):8－10.

［5］熊雙平.帶干擾的索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson－Geometric過程的負(fù)風(fēng)險和模型［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2007，24(1):37－41.