基于高斯粒子濾波算法的改進及應用

孫翌晨 李軍

摘 要：針對粒子濾波存在的樣本貧化現(xiàn)象，提出了一種優(yōu)化重選樣本粒子的粒子濾波算法。這種方法在引入最新量測后將狀態(tài)后驗概率密度逼近為一個高斯分布，在粒子貧化問題逐漸凸顯后，通過該分布重新采集粒子后再進行運算，有效緩解了傳統(tǒng)方法在粒子貧化后出現(xiàn)的濾波精度下降的問題。仿真結(jié)果表明，新的粒子濾波算法有更高的濾波精度和運行效率。

關鍵詞：粒子濾波；后驗概率；粒子貧化；重新選取

近年來，粒子濾波在目標跟蹤領域得到了越來越廣泛的應用。常見的非線性濾波方法，如擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF），無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）都是針對非線性系統(tǒng)的線性卡爾曼濾波方法的變形與改進，因此使用條件也受到卡爾曼濾波算法的條件限制[1]。而粒子濾波算法通過蒙特卡羅仿真手段產(chǎn)生大量粒子，隨著采樣粒子數(shù)不斷增大，其散布情況將逐漸逼近狀態(tài)的后驗概率密度。粒子濾波在解決非高斯分布系統(tǒng)問題上具有明顯的優(yōu)勢，可以說它是目前非高斯非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的“最優(yōu)”濾波器[2]。但是，隨著時間的遞推，會出現(xiàn)粒子的退化問題。通常，有兩種方法可以減輕粒子退化問題：一是增加重采樣環(huán)節(jié)；二是選擇合適的重要密度函數(shù)進行更有效的采樣[3-5]。常規(guī)的重采樣方法隨著迭代次數(shù)的增加，會出現(xiàn)粒子貧化問題，為此，人們提出了許多不同的方法來解決這個問題，如高斯粒子濾波算法（Gaussian particle filter），重采樣粒子移動算法（Resample-Move Alogrithm）[6]，增加馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo）移動步驟[7-9]，對粒子進行正則（Regula—rization）重采樣[10]。

筆者將標準粒子濾波算法和高斯粒子濾波相結(jié)合，引入一個重新選擇粒子的過程，即粒子優(yōu)化重選粒子濾波（Optimized Repicking Particle Filter）。當粒子貧化問題出現(xiàn)時，通過由當前濾波值和方差生成的高斯密度函數(shù)來逼近后驗概率分布，重新采樣后再進行運算。由于引入粒子優(yōu)化重選的過程，緩解了粒子的退化與貧化問題，所以濾波精度要高于標準算法。最后的仿真結(jié)果也證明了這一點。

1 高斯粒子濾波算法

GPF通過由高斯密度函數(shù)來逼近后驗概率分布，其基本思想是利用描述k時刻目標狀態(tài)xk的后驗概率分布 ，是對應權(quán)值為的粒子集，其中是0到k時刻的狀態(tài)集。權(quán)值被歸一化為 。由此，k時刻的后驗概率密度可表示為

根據(jù)文獻[11]，選擇=為IDF可使權(quán)值的方差最小化，但通常情況下很難求得的表達式，因此一種簡單常用的替代方案是選擇先驗作為重要密度函數(shù)。因此，可將重要性權(quán)值寫為：

1.1 量測更新

當接受到第k個觀測值zk之后，可以利用樣本及其權(quán)值來計算濾波值和方差pk，將狀態(tài)后驗概率密度逼近為一個高斯分布，可表示為

其中

1.2 時間更新

由于已經(jīng)將近似為高斯函數(shù)，故可將狀態(tài)預測概率密度近似為：

其蒙特卡羅逼近為

式中，是從 采樣得到的粒子，狀態(tài)預測概率密度函數(shù)的均值和方差可表示為

2 樣本優(yōu)化重選粒子濾波

與一般的粒子濾波相比，GPF不需要對粒子進行重采樣，降低了計算量和復雜度，但是濾波精度較之一般的粒子濾波稍差，因而考慮將兩者結(jié)合。

由此，引入樣本優(yōu)化重選粒子濾波算法ORPF。在粒子貧化問題出現(xiàn)后，引入高斯粒子濾波的思想將后驗概率密度逼近為一個高斯分布。由通過蒙特卡羅仿真得到粒子集各個粒子的權(quán)值為1/N。進而，在的基礎上通過狀態(tài)方程產(chǎn)生新的粒子集 進行K+1時刻的計算。這樣，后一時刻的粒子根據(jù)前一時刻的新采樣的粒子集更新而來，這樣就可以保留粒子的多樣性。所以，當在出現(xiàn)粒子貧化問題時，可以采用這種方法來解決這個問題。

新算法的描述如下：

（1）由p（x0）得到N個采樣點 。

（2）計算權(quán)值 并對其歸一化，得到

（3）輸出K時刻的狀態(tài)估計為：

方差為

（4）判斷是否需要重采樣：計算的值，如果Neff

（5）進行重采樣，將原來的帶權(quán)樣本映射為等權(quán)樣本

（6）判斷是否要重新采集粒子，設重采樣后被復制次最多的粒子繁殖出了a個子代，當a>0.2N時則認為粒子多樣性喪失，此時進入步驟（7），否則，跳入步驟（8）。

（7）根據(jù)通過蒙特卡羅采樣得到粒子集

（8）通過狀態(tài)方程產(chǎn)生新粒子集

（9）重復步驟（2）～（8）。

3 實驗仿真結(jié)果及分析

3.1 仿真一

選用單變量非靜態(tài)增長模型（UNGM），仿真對象的過程模型和量測模型如下。

過程模型：

量測模型：

式中，ω（t）和v（t）為零均值高斯噪聲。仿真取噪聲方差Q為10，量測噪聲方差R為1。分別用增加馬爾可夫鏈蒙特卡羅粒子濾波（MCMCPF）和樣本優(yōu)化重選粒子濾波算法（ORPF）來對這樣的非線性系統(tǒng)進行狀態(tài)估計和跟蹤。時間步長50次。

其中均方根誤差

具體數(shù)據(jù)如表1所示：

狀態(tài)估計曲線如圖1、2所示：

如表1所示，過程噪聲方差Q=10、量測噪聲方差R=1時。在N=100，MCMCPF的誤差均值為3.6946，而ORPF為3.5602；MCMCPF的RMSE為5.2191，而ORPF為4.0066；在狀態(tài)估計時間上，MCMCPF為0.009502s，而ORPF為0.010143s。在N=500時，MCMCPF的誤差均值為2.6765，而ORPF為2.4154；MCMCPF的RMSE為3.6747，而ORPF為3.2293；在時間估計上，MCMCPF為0.085130s，而ORPF為0.028229s。由此，說明ORPF的估計精度比MCMCPF略高，在粒子數(shù)較少時，兩種算法的估計時間相差不大，但隨著粒子數(shù)的增加，MCMCPF的估計時間急劇上升，遠超ORPF。

如圖1、2、3、4所示，ORPF算法的估計誤差是略小于MCMCPF的，濾波精度是略優(yōu)于MCMCPF的。

綜上，可以得出，在高度非線性模型下，ORPF在濾波精度上略優(yōu)于MCMCPF，在實時性上要優(yōu)于MCMCPF。

3.2 仿真二

選用被動定位系統(tǒng)中二維純方位目標跟蹤模型，仿真對象的過程模型和量測模型如下：

過程模型：

量測模型：

其中為系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)值，即目標在x和y軸上的位置和速度，為k-1時刻x，y方向的系統(tǒng)噪聲，為k時刻的觀測噪聲。為k時刻的觀測角度。

如圖5、6所示，ORPF在X軸方向和Y軸方向上的估計誤差都小于PF的估計誤差，說明ORPF的估計精度高于PF。圖7展示了2種算法的狀態(tài)估計曲線，顯然ORPF的跟蹤精度要好。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于GPF的加入了粒子優(yōu)化重選步驟的新的粒子濾波。傳統(tǒng)的重采樣方法中權(quán)值較大的粒子會被多次復制，造成粒子的貧化。在貧化問題出現(xiàn)時，利用當前時刻的估計值和方差構(gòu)建高斯密度函數(shù)來逼近后驗概率分布，從中重新采樣并更新粒子。該方法能夠有效的緩解粒子貧化帶來的問題。仿真結(jié)果表明，提出的ORPF在估計性能上要好于傳統(tǒng)的PF。

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