一種基于小波分析的閾值去噪算法

曹亞君 陳樹寧

摘 要：利用信號和噪聲在小波變換中不同尺度上具有不同的特性，提出了基于小波變換的去噪方法。經(jīng)過小波變換后的信號，在其小波系數(shù)中包含了實際信號的重要信息特征，表現(xiàn)為幅值較大的小波系數(shù)，而噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)幅值較小。通過在不同尺度上選取適當?shù)拈撝?，對大于和小于該閾值的小波系?shù)進行相應(yīng)的處理，以得到去噪后的信號。

關(guān)鍵詞：小波變換；閾值；算法

圖像是人類傳遞信息的主要媒介。圖像以其信息量大，傳輸速度快，作用距離遠等一系列優(yōu)點成為人類獲取信息的重要來源和利用信息的重要手段[1]。由于圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中會受到各種噪聲的干擾，對信號的處理、傳輸和存儲造成極大的影響，噪聲的去除就顯得尤為重要。傳統(tǒng)的圖像去噪主要是在空域或頻域的局部內(nèi)進行的。如通過各種濾波器對圖像去噪的順序統(tǒng)計濾波器、均值濾波器、Wiener濾波器等，以及基于傅里葉變換的去噪方法。但是這些方法對圖像信號的處理要么完全在空間域，要么完全在頻率域，而對圖像信號來說它的頻率特征往往隨著空間位置的變化而變化，因此小波理論正好解決了這個問題[2]。目前，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)已成為圖像去噪的一個重要方法。

1 閾值去噪原理

小波閾值去噪的具體處理過程是：在不同尺度上對含有噪聲的信號進行小波分解，保留最大尺度上（低分辨率下）的全部小波系數(shù)，對于其他尺度上的高頻小波系數(shù)，通過設(shè)定一個閾值，將幅值小于該閾值的小波系數(shù)置零，而把幅值大于該閾值的小波系數(shù)予以保留，或者做相應(yīng)的“收縮”處理[3]。最后將經(jīng)過閾值處理后所得到的小波系數(shù)利用小波逆變換進行重構(gòu)，以恢復(fù)出原始信號。設(shè)觀測信號如下：

f（k）=s（k）+n（k） （1）

其中s（k）為原始信號，n（k）是方差為σ2的高斯白噪聲，且服從N（0，σ2）。對上式進行離散小波變換，其中變換后的小波系數(shù)Wf（j，k）簡記為Wj，k，由小波變換的線性性質(zhì)可知，Wj，k由兩部分組成，一部分為原始信號s（k）的小波系數(shù)簡記為uj，k，另一部分為噪聲的小波系數(shù)簡記為vj，k[4]。

小波閾值去噪算法的基本步驟為：

⑴對含有噪聲的信號f（k）進行小波變換，得到變換后的小波系數(shù)Wj，k；⑵對小波系數(shù)進行閾值處理，選擇合理的閾值處理策略，對Wj，k進行估計，得到估計出來的小波系數(shù) ，使 盡可能小；（3）利用處理后的系數(shù) 對原始信號f（k）進行重構(gòu)，得到的 即為去除噪聲之后的信號。

利用小波閾值法進行去噪，在最大程度抑制噪聲的同時，也能夠很好的保留信號的細節(jié)特征，因而具有較好的去噪效果。相關(guān)研究己經(jīng)證明了軟閾值去噪產(chǎn)生的估計信號是光滑的，而硬閾值方法則可以在均方誤差意義上得到對原始信號的近似最優(yōu)估計。小波閾值法去噪的關(guān)鍵是如何選取最優(yōu)的閾值函數(shù)和閾值。

2 閾值函數(shù)的選取

由于選取的閾值函數(shù)不一樣，就會產(chǎn)生對小波域中大于和小于閾值的小波系數(shù)使用不同的方法策略。對常用的幾種閾值函數(shù)闡述各個閾值函數(shù)的特點，并詳細分析它們在去噪時的性能[5]。（下面各式中λ表示所選取的閾值）

硬閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

由上圖可知，硬閾值函數(shù)對分解后的小波系數(shù)進行處理時，將保留絕對值大于閾值λ的小波系數(shù)，而對于絕對值小于閾值λ的小波系數(shù)則置為零。而軟閾值函數(shù)對小波系數(shù)的處理策略是將絕對值大于閾值λ的小波系數(shù)向原點方向收縮一個固定值λ，對于絕對值小于閾值λ的小波系數(shù)與硬閾值函數(shù)作相同的處理。兩種閾值函數(shù)的區(qū)別在于：硬閾值函數(shù)在均方誤差意義上優(yōu)于軟閾值函數(shù)，對圖像的邊緣和細節(jié)信息的特征可以很好的保留，然而它在λ處不連續(xù)，這就會使得重構(gòu)后的圖像會產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象，即圖像的不連續(xù)點周圍會產(chǎn)生振蕩圖像的視覺失真。經(jīng)過軟閾值處理的圖像會相對平滑，軟閾值函數(shù)的處理策略保證在閾值λ處是連續(xù)的，從而導(dǎo)致重構(gòu)后的圖像與原圖像的誤差程度。如果 ，則真實值和估計值就會有恒定的偏差，這樣重構(gòu)后的圖像可能會使邊緣和細節(jié)信息產(chǎn)生模糊，而且軟閾值處理后的圖像在均方誤差意義上比硬閾值要大。

A.G.Bruce分析了軟、硬閾值方法分別在高斯噪聲條件下的偏差、方差以及L2風險公式，所得出的結(jié)論如下：

⑴給定閾值λ，軟閾值總比硬閾值方法造成的方差小。

⑵當系數(shù)充分大時，軟閾值比硬閾值方法的方差造成的偏差大。

⑶當小波系數(shù)在閾值λ的很小鄰域內(nèi)時，硬閾值方法有較大的偏差、方差及L2風險；兩種方法在小波系數(shù)較小時，造成的L2風險都很小。

為了克服硬閾值和軟閾值函數(shù)在去噪處理中的缺點，Gao等提出了一種半軟閾值函數(shù)，其對閾值的處理策略如下面表達式：

上式中λ1和λ2分別為下閾值和上閾值，λ1的選取與信號的特征有關(guān)，當信號有較多的細節(jié)時，可將其取為較小的值，以保留信號細節(jié)；當信號細節(jié)較少時，可取為較大的值，以更大程度的去除噪聲[6]。由上式還可以得出，當λ2→∞時，即為軟閾值的形式，當λ1=λ2時，可轉(zhuǎn)化為硬閾值形式，因此該方法是一種軟硬折衷的方法，既有連續(xù)性又能保留較大的小波系數(shù)。然而由于該方法中要確定兩個閾值，故算法的復(fù)雜度較大。

基于以上幾個閾值函數(shù)在圖像處理中存在的問題，在后續(xù)的閾值函數(shù)研究中，一些學(xué)者在文獻中又提出了如下的閾值函數(shù)，以改進圖像去噪后的效果。

模平方處理方法：

容易驗證，當 時，有

因此可知，由公式（5）估計出來的小波系數(shù) 的值是介于軟、硬閾值方法之間的，當 時， 的表達式為非線性函數(shù)，并且隨著 不斷增大， 與Wj，k的差值越來越小。

半軟、硬閩值函數(shù)：

上式為軟、硬折衷閾值方法估計小波系數(shù)的表達式，其中β為調(diào)整因子，適當調(diào)整其大小可以獲得較好的去噪效果。當β分別取1或0時，式（7）即變?yōu)檐涢撝岛陀查撝捣椒ā．?<β<1時，由上式得到的小波系數(shù) 介于硬閾值和軟閾值之間，因此，該方法稱為軟、硬折衷閾值法。

該表達式不僅看上去非常簡潔，而且有相當不錯的去噪效果。由于軟閾值方法估計出來的 ，當 時，即 和Wj，k之間存在恒定的偏差，因此有必要減小此偏差；然而，如果將此偏差減小到零，即變?yōu)橛查撝捣椒ǎ沁@種方法也不是最好的，因為 本身就是由uj，k和vj，k組成的，所以將 值限定在 之間有可能會使得估計出來的小波系數(shù) ，更接近真實的信號小波系數(shù)uj，k。折中法閾值函數(shù)有效的解決了傳統(tǒng)軟硬閾值存在的不足，改善了去噪性能[7]。

3 閾值選取需注意的地方

閾值選取的好壞直接影響著圖像去噪后的效果，如果閾值選取的過大，則在去除噪聲的同時，也去除了一部分圖像的小波系數(shù)，使重構(gòu)后的圖像信息損失過大，不能很好的恢復(fù)出圖像的本質(zhì)信息；如果閾值選取過小，則在較大程度的保留圖像小波系數(shù)的同時，也保留了大部分的噪聲信息，經(jīng)小波重構(gòu)后的圖像還是含有很大強度的噪聲，對后續(xù)的圖像處理會帶來不利的影響；因此，怎樣選取合適的閾值，是閾值去噪算法研究的重點[8]。目前，閾值的選取主要分為全局閾值和局部閾值，全局閾值是指對不同尺度上的所有小波系數(shù)或者同一層次中的小波系數(shù)采用相同的閾值進行處理，這種方法會“過扼殺”小波系數(shù)；局部閾值是考慮到某一點或某一局部區(qū)域的小波系數(shù)特點，靈活判斷出是由圖像還是噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)，以自適應(yīng)的選取合適的閾值，達到最大限度的保留圖像信息和去除噪聲的目的。

4 結(jié)束語

基于小波變換的閾值去噪方法是實現(xiàn)最簡單、計算量最小的一種去噪方法，因此得到廣泛的應(yīng)用。然而關(guān)鍵的問題是閾值和閾值函數(shù)的選取，閾值是和噪聲方差緊密相關(guān)的，對噪聲方差估計的精度直接影響著去噪的效果，同時能否選取合適的閾值函數(shù)也是去噪效果好壞的一個重要方面。雖然在理論上證明并且找到了最優(yōu)的通用閾值，然而在實際應(yīng)用中，其去噪效果不是特別理想，如何根據(jù)具體情況選取合適的閾值，仍是今后研究的重點。

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