事件與概率

謝明鐸

事件與概率在近年高考命題中有以下特點(diǎn)：（1）事件的考查仍穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求活.這部分題以基礎(chǔ)題型為主， 大多數(shù)是選擇題、填空題，一般難度不大，屬于基礎(chǔ)題，重要考查對立和互斥的聯(lián)系與區(qū)別.（2）概率的考查通?？疾橐恍┖唵蔚挠嬎?，對于復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解.

1. 互斥與對立的區(qū)別

例1 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽. 判斷下列各對事件是否是互斥事件或?qū)α⑹录?

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)的所有可能情況，然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來判斷各事件的關(guān)系.

（1）在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，從而也不是對立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”，這與“全是男生”可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，也不是對立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是對立事件.

2. 概率與頻率的關(guān)系

例2 某市統(tǒng)計的2010～2013年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)（單位：人）見下表：

[時間＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生嬰兒數(shù)＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男嬰數(shù)＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）試計算男嬰各年的出生頻率；（精確到0.001）

（2）該市男嬰出生的概率約是多少？

解析 （1）2010年男嬰出生的頻率為[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男嬰出生的頻率分別約為0.521，0.512，0.513.

（2）由以上計算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52.

3. 概率的性質(zhì)

例3 袋中有12個相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是[13]，得到黑球或黃球的概率是[512]，得到黃球或綠球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.

解析 （1）從袋中任取一球，記事件[A]為“得到紅球”，[B]為“得到黑球”，[C]為“得到黃球”，[D]為“得到綠球”，則事件[A，B，C，D]兩兩互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B與C+D，B+C與D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是綠球，

∴得到的球是紅球或黃球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

點(diǎn)撥 試驗連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它是試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用大寫希臘字母[Ω]表示.概率與頻率的關(guān)系：概率可以通過頻率來“測量”，頻率是概率的一個近似值.

1. 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是[12]，乙獲勝的概率是[13]，則[56]是（ ）

A.乙勝的概率 B.乙不輸?shù)母怕?/p>

C.甲勝的概率 D.甲不輸?shù)母怕?/p>

2. 甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，若甲每局比賽獲勝的概率均為[23]，則甲以3[∶]1獲勝的概率為（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中任意抽一張，抽到黑色K的概率為（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件產(chǎn)品.其中有3件一級品和2件二級品.從中任取兩件，則以0.7為概率的是（ ）

A.至多有1件一級品 B.恰有l(wèi)件一級品

C.至少有1件一級品 D.都不是一級品

5. 下列說法正確的是（ ）

A. 某事件發(fā)生的頻率為P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1

C. 小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件

D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的

6.從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30，40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（ ）

A.至多兩件次品 B.至多一件次品

C.至多兩件正品 D.至少兩件正品

8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面上分別寫有1，2，3，4，5，6），若前3次連續(xù)拋到“6點(diǎn)朝上”，則對于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)測，下列說法中正確的是（ ）

A. 一定出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”

B. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率大于[16]

C. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率等于[16]

D. 無法預(yù)測“6點(diǎn)朝上”的概率

事件與概率在近年高考命題中有以下特點(diǎn)：（1）事件的考查仍穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求活.這部分題以基礎(chǔ)題型為主， 大多數(shù)是選擇題、填空題，一般難度不大，屬于基礎(chǔ)題，重要考查對立和互斥的聯(lián)系與區(qū)別.（2）概率的考查通?？疾橐恍┖唵蔚挠嬎悖瑢τ趶?fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解.

1. 互斥與對立的區(qū)別

例1 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽. 判斷下列各對事件是否是互斥事件或?qū)α⑹录?

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)的所有可能情況，然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來判斷各事件的關(guān)系.

（1）在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，從而也不是對立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”，這與“全是男生”可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，也不是對立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是對立事件.

2. 概率與頻率的關(guān)系

例2 某市統(tǒng)計的2010～2013年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)（單位：人）見下表：

[時間＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生嬰兒數(shù)＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男嬰數(shù)＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）試計算男嬰各年的出生頻率；（精確到0.001）

（2）該市男嬰出生的概率約是多少？

解析 （1）2010年男嬰出生的頻率為[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男嬰出生的頻率分別約為0.521，0.512，0.513.

（2）由以上計算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52.

3. 概率的性質(zhì)

例3 袋中有12個相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是[13]，得到黑球或黃球的概率是[512]，得到黃球或綠球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.

解析 （1）從袋中任取一球，記事件[A]為“得到紅球”，[B]為“得到黑球”，[C]為“得到黃球”，[D]為“得到綠球”，則事件[A，B，C，D]兩兩互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B與C+D，B+C與D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是綠球，

∴得到的球是紅球或黃球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

點(diǎn)撥 試驗連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它是試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用大寫希臘字母[Ω]表示.概率與頻率的關(guān)系：概率可以通過頻率來“測量”，頻率是概率的一個近似值.

1. 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是[12]，乙獲勝的概率是[13]，則[56]是（ ）

A.乙勝的概率 B.乙不輸?shù)母怕?/p>

C.甲勝的概率 D.甲不輸?shù)母怕?/p>

2. 甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，若甲每局比賽獲勝的概率均為[23]，則甲以3[∶]1獲勝的概率為（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中任意抽一張，抽到黑色K的概率為（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件產(chǎn)品.其中有3件一級品和2件二級品.從中任取兩件，則以0.7為概率的是（ ）

A.至多有1件一級品 B.恰有l(wèi)件一級品

C.至少有1件一級品 D.都不是一級品

5. 下列說法正確的是（ ）

A. 某事件發(fā)生的頻率為P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1

C. 小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件

D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的

6.從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30，40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（ ）

A.至多兩件次品 B.至多一件次品

C.至多兩件正品 D.至少兩件正品

8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面上分別寫有1，2，3，4，5，6），若前3次連續(xù)拋到“6點(diǎn)朝上”，則對于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)測，下列說法中正確的是（ ）

A. 一定出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”

B. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率大于[16]

C. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率等于[16]

D. 無法預(yù)測“6點(diǎn)朝上”的概率

事件與概率在近年高考命題中有以下特點(diǎn)：（1）事件的考查仍穩(wěn)中求新、穩(wěn)中求活.這部分題以基礎(chǔ)題型為主， 大多數(shù)是選擇題、填空題，一般難度不大，屬于基礎(chǔ)題，重要考查對立和互斥的聯(lián)系與區(qū)別.（2）概率的考查通?？疾橐恍┖唵蔚挠嬎?，對于復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解.

1. 互斥與對立的區(qū)別

例1 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽. 判斷下列各對事件是否是互斥事件或?qū)α⑹录?

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少有1名女生；

（3）至少有1名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生.

解析 應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)的所有可能情況，然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來判斷各事件的關(guān)系.

（1）在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件.

（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”與“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，從而也不是對立事件.

（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”，這與“全是男生”可能同時發(fā)生.不可能是互斥事件，也不是對立事件.

（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”與“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是對立事件.

2. 概率與頻率的關(guān)系

例2 某市統(tǒng)計的2010～2013年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)（單位：人）見下表：

[時間＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生嬰兒數(shù)＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男嬰數(shù)＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]

（1）試計算男嬰各年的出生頻率；（精確到0.001）

（2）該市男嬰出生的概率約是多少？

解析 （1）2010年男嬰出生的頻率為[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.

同理可求得2011年、2012年和2013年男嬰出生的頻率分別約為0.521，0.512，0.513.

（2）由以上計算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52.

3. 概率的性質(zhì)

例3 袋中有12個相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是[13]，得到黑球或黃球的概率是[512]，得到黃球或綠球的概率也是[512].

（1）求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；

（2）求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.

解析 （1）從袋中任取一球，記事件[A]為“得到紅球”，[B]為“得到黑球”，[C]為“得到黃球”，[D]為“得到綠球”，則事件[A，B，C，D]兩兩互斥.

由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].

∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].

∵[B與C+D，B+C與D]也互斥，

∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].

[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]

[=1-（13+14+14）=1-56=16].

故得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是[14]，[16]，[14].

（2）∵得到的球既不是黑球也不是綠球，

∴得到的球是紅球或黃球，即事件[A+C].

∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，

故所求的概率是[12].

點(diǎn)撥 試驗連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它是試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用大寫希臘字母[Ω]表示.概率與頻率的關(guān)系：概率可以通過頻率來“測量”，頻率是概率的一個近似值.

1. 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是[12]，乙獲勝的概率是[13]，則[56]是（ ）

A.乙勝的概率 B.乙不輸?shù)母怕?/p>

C.甲勝的概率 D.甲不輸?shù)母怕?/p>

2. 甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，若甲每局比賽獲勝的概率均為[23]，則甲以3[∶]1獲勝的概率為（ ）

A. [827] B.[3281] C.[6481] D.[49]

3. 從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中任意抽一張，抽到黑色K的概率為（ ）

A.[152] B.[112] C. [126] D.[14]

4. 有5件產(chǎn)品.其中有3件一級品和2件二級品.從中任取兩件，則以0.7為概率的是（ ）

A.至多有1件一級品 B.恰有l(wèi)件一級品

C.至少有1件一級品 D.都不是一級品

5. 下列說法正確的是（ ）

A. 某事件發(fā)生的頻率為P（A）=1.1

B. 不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1

C. 小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件

D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的

6.從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30，40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為（ ）

A.0.3 B.0.5

C.0.8 D.0.7

7. 抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（ ）

A.至多兩件次品 B.至多一件次品

C.至多兩件正品 D.至少兩件正品

8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面上分別寫有1，2，3，4，5，6），若前3次連續(xù)拋到“6點(diǎn)朝上”，則對于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)測，下列說法中正確的是（ ）

A. 一定出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”

B. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率大于[16]

C. 出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率等于[16]

D. 無法預(yù)測“6點(diǎn)朝上”的概率