淺談平面向量數(shù)量積的應用

劉景森

摘 要：在新課改的推動下，數(shù)學知識逐漸注重實際運用。作為高考數(shù)學中出現(xiàn)頻率極高的知識點，平面向量數(shù)量積的難度系數(shù)并不高，但是學生必須熟練掌握的數(shù)學基本知識能力。通過資料整合結(jié)合教學實踐的方法，對如何進行平面向量數(shù)量積的重難點學習、方法突破及其知識運用等進行簡單闡述。

關鍵詞：平面向量；最小值；幾何

平面向量的數(shù)量積問題是數(shù)學平面解析幾何中比較難的，也是具有一定的實際問題解決能力的數(shù)學工具。在平面向量數(shù)量積的應用中，按其主要的表達形式，坐標表達式和幾何表達形式，按照其主要的應用，對其進行數(shù)學中的應用介紹。由于平面向量數(shù)量積的學習是空間幾何學習的基礎，鑒于此夯實基礎知識是必要的。

一、平面向量數(shù)量積的基本知識

平面向量數(shù)量積的基本知識是教學中必須熟練掌握的，主要包括對定義的理解、對運算律的熟識、對公式的記憶及數(shù)量運用、以及對特殊規(guī)律的熟練掌握。首先是對兩向量數(shù)量積的表達式 a·b=a·bcosθ的熟練運用，對其幾何含義進行深刻理解。其次是對其投影含義a·b=aPrjab的理解。最后是對特殊規(guī)律的掌握，例如a·a=a2，該公式是在實際解題中運用極其有效的公式，可以不需要坐標直接進行模的計算，進而求長度。再如，“兩個非零向量的數(shù)量積為零即表示該向量互相垂直?！钡幕局R的數(shù)量應用。

二、平面向量數(shù)量積的應用

1.向量模的最小值求法

所謂向量模的最小值計算，主要是對向量的基本運算進行數(shù)量掌握后，進行與函數(shù)合并考查的出題形式。主要是對a·a=a2的掌握及其坐標表達法中模的計算公式a=ax2+ay2的掌握，再結(jié)合一元二次函數(shù)最值的求解方法進行求解。例如，已知向量a=1，1，b=2，2，c=a+tb（t∈R），求c的模的最小值。該種題型是對平面向量的基礎知識的審核，難度不大但須學生提高解題效率。

2.證明兩向量垂直關系

證明兩向量的垂直關系是平面向量數(shù)量積在考試中最?？疾榈闹R點，同時也是在高考數(shù)學習題中出現(xiàn)頻率較高的知識點。鑒于此，對數(shù)量積的定義推出的定律必須記得，主要有“兩個非零向量積為零，其必垂直；相反，若兩向量垂直，則該向量的數(shù)量積必為零。”“零向量是與任何向量垂直的?！钡戎匾R點。例如，該題：若已知兩個向量a=-1，-1，b=-2，-2，且c=2a+tb（t∈R），d=-2a+4tb （t∈R），求當c-d與a垂直時，t的值是多少？這類題型是對垂直定義最直接、最基本的考查，但是也是考試中出現(xiàn)頻率最高的題型。

3.向量夾角的運算求解

在進行兩向量夾角的計算時，是在平面向量兩種表示方式的時候清晰合理地進行計算，尤其是在有坐標形式表達向量的時候。其基本計算的形式是將公式a·b=a·bcosθ進行合理的左右變換，將公式轉(zhuǎn)換為cosθ=a·ba·b或者cosθ=axbx+aybyax2+ay2·bx2+by2的形式對題目進行的解答，并且在cosθ中θ的取值范圍進行留意，其取值范圍是在0到π之間，對公式的意義要有良好的把握。在考試中常見的題型會將平面向量的基本計算以及基本規(guī)律混合其中，進行綜合性較高的考核，例如已知兩個向量，且知道兩個向量在某種關系下是相互垂直的，通過計算得知兩個向量之間的數(shù)量關系，再根據(jù)另一個垂直的關系，得到兩個向量的另一個關系，通過兩個式子聯(lián)立進行兩個向量模及乘積的求解，然后進一步考查學生對夾角公式的理解，提問兩個向量的夾角是多少。該種問題主要是要求對知識點清晰地把握，通過比較多的練習，對解題的邏輯進行培養(yǎng)，最后進行耐心細致的解題。

4.對平面圖形形狀的判斷

所謂對平面圖形的形狀判斷，就是指直接給出或間接給出平面圖形的幾個端點，令考生根據(jù)向量的加減關系，求得每個邊的方向向量，然后根據(jù)平行及垂直的關系進行進一步論證是否具有該種關系，然后根據(jù)向量的模進行對邊長的確定，最終對圖形進行一定的判斷。該種題型的難度系數(shù)不高，考題中出現(xiàn)的頻率不大。

5.證明等式成立

在平面向量數(shù)量積的應用中，對等式的證明是該知識點的重點及難點。所謂證明題，既是對知識的理解能力考查，又是對學生熟練運用和知識邏輯的考核。因此在利用平面向量的數(shù)量積進行等式左右成立的證明時，需要對數(shù)量積的運算定律進行一定的熟識，包括其交換律、結(jié)合律、分配律以及模的運算。其中對a·a=a2知識點的運用是十分常見的。例如，對三角形余弦定理的證明或推倒的題目。再如，對某個式子的證明，例題a+b2+a+c2+b+c2=a2+b2+c2+a+b+c2等這種在練習題中出現(xiàn)頻率極高并且極其需要耐性解題的題目。因此在證明等式成立時一定要夯實好基礎知識。

綜上所述，對平面向量數(shù)量積的定義、幾何含義、運算方法等的全面理解及掌握，突出掌握平面向量的重點，對其難點進行深度的學習，是對平面向量數(shù)量積知識全面學習的基礎。作為高考數(shù)學考試中時常出現(xiàn)或者說出現(xiàn)頻率比較高的知識點來說，對其進行深刻掌握是必要的，重點是對學生進行解題方式上的提升與突破，對基本運算中的定義、模、夾角等公式必須進行熟練性訓練。

參考文獻：

尹光輝.由平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀[J].中學生數(shù)理化：學研版，2011（8）：14.

編輯 李建軍