“小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究”課程的幾點(diǎn)教學(xué)思考

熊禮勤

【摘要】 本文針對學(xué)生在解題過程中的盲目試探和面對智力問題的困惑，探討理性觀察和分析問題的方法，提出有效地找尋問題求解思路及解決問題的途徑.

【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué)；解題研究

引 言

“小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究”是專科數(shù)學(xué)師范類專業(yè)的一門必修課程，其教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生將來從事小學(xué)數(shù)學(xué)解題和競賽指導(dǎo)的能力，對提高學(xué)生從事小學(xué)數(shù)學(xué)教師職業(yè)所必備的綜合素質(zhì)與專業(yè)化水平等方面具有其他課程所不能替代的重要作用. 主要是探討小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題和競賽題目的類型、結(jié)構(gòu)、解法、編制方法，使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法上得到啟發(fā)，在數(shù)學(xué)解題方法上得到訓(xùn)練，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和素質(zhì)，為將來從事小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

盡管學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法和基本題型有所了解，能夠解答常見題型，但遇到競賽性質(zhì)的題目或較新穎的實(shí)際問題，解題起來仍然存在很多困難，從筆者對高師學(xué)生上課給出的反饋結(jié)果來看，第一種情況是遇到問題盲目試探和無從下手. 而給出解答，他們又覺得方法很簡單. 第二種情況是我講解一類型題目后，學(xué)生不能舉一反三，甚至還不能舉一反一. 這里就有一個(gè)值得研究的問題：問題和已知方法、知識如何有效銜接？合理地觀察分析問題顯然起著至關(guān)重要的作用. 有關(guān)解題方法的書籍很多都給出了觀察分析問題的思路或角度，但是針對具體問題，到底選擇哪個(gè)角度作觀察？如果一一嘗試，耗時(shí)費(fèi)力，效率太低，甚至?xí)蓴_解題. 因此，筆者在教學(xué)中十分注意引導(dǎo)學(xué)生理性地觀察、分析問題，探索有效的解題方案.

1. 觀察分析問題的狀態(tài)和本質(zhì)，聯(lián)想相關(guān)知識和類似方法

理解題意不能只停留在將條件翻譯為數(shù)學(xué)式子、作圖等表面工作上，而必須在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步觀察題目條件對應(yīng)的數(shù)、式，尋找與熟悉知識相關(guān)的各種聯(lián)系和特征. 較好地把握題目的整體狀態(tài)、結(jié)構(gòu)和本質(zhì)，從而正確地聯(lián)系相關(guān)知識和方法，找到有效的解題方案.

例1 六時(shí)整，時(shí)鐘的分針與時(shí)針在一條直線上，問至少經(jīng)過多少分鐘，兩針重合？

分析 將鐘面圓等分為12等份，每一份看作一個(gè)行程單位，則本例可以與追擊問題相類比：“甲、乙兩人同時(shí)相向而行. 甲在乙前面6個(gè)單位的路程，甲每小時(shí)行1個(gè)單位的路程，乙每小時(shí)行12個(gè)單位的路程. 如果同時(shí)出發(fā)，要經(jīng)過多少時(shí)間乙才能追上甲？”可以列式如下：6 ÷ （12 - 1） = ■（時(shí)）.

2. 觀察分析問題的特殊性，尋求解題方案的突破

當(dāng)題目條件較多或較復(fù)雜時(shí)，不分主次地一一做仔細(xì)分析不僅耗時(shí)太長，而且可能會干擾學(xué)生尋找正確的解題途徑. 如何理性而有效地選準(zhǔn)觀察目標(biāo)，快捷地找到解題突破口？從題目中較特殊、較突出的條件著眼觀察，效果往往很好. 從有關(guān)定理中挖掘出一些隱含信息，因此，從這個(gè)能挖掘出隱含信息的條件入手，尋找解題的突破口.

例2 500名同學(xué)站成一排，從左到右“1、2、3”報(bào)數(shù)，凡報(bào)到1和2的離隊(duì)，報(bào)3的留下，向左看齊后，再重復(fù)同樣的報(bào)數(shù)過程，如此進(jìn)行了若干次后，只剩下兩名同學(xué)了. 這兩名同學(xué)在開始的隊(duì)伍中，位于從左到右的第幾個(gè)？

分析 第一次報(bào)數(shù)，3 × 1，3 × 2，3 × 3，…，3 × 166；

第一次報(bào)數(shù)，9 × 1，9 × 2，9 × 3，…，9 × 166；

第一次報(bào)數(shù)，27 × 1，27 × 2，27 × 3，…，27 × 166；

……

解：第一次報(bào)數(shù)：500 ÷ 3 = 166……2，留下166人；

第一次報(bào)數(shù)：166 ÷ 3 = 55……1，留下55人；

第一次報(bào)數(shù)：55 ÷ 3 = 18……1，留下18人；

第一次報(bào)數(shù)：18 ÷ 3 = 6，留下6人；

第一次報(bào)數(shù)：6 ÷ 3 = 2，留下2人.

所以，最后留下的兩名同學(xué)的編號是3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 1 = 243和3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 486.

3. 觀察分析問題是尋求解題方案的關(guān)鍵所在

理性地觀察題目的狀態(tài)和結(jié)構(gòu)，選準(zhǔn)問題的突破口，對于提高解題的有效性和準(zhǔn)確性尤為重要. 教師在解題教學(xué)中，不僅要傳授給學(xué)生常用的數(shù)學(xué)思想和解題方法，更要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，以達(dá)到提高解題能力的目標(biāo).

例3 （一） 一個(gè)大正方形由9個(gè)同樣的小正方形拼成. 一條直線穿過它們，最多可以穿過多少正方形？如果是16、25個(gè)呢？能否找出規(guī)律？

（二）一個(gè)大正方體由27個(gè)同樣的小正方形緊密地搭成. 一條直線穿過這幾個(gè)大正方形體，這條直線最多可以穿過多少個(gè)小正方體？如果是64呢，能否找出規(guī)律？

解 （一）（1）我們先從最簡單的開始，如果只有一個(gè)正方形，一條直線要穿過它，由觀察可知，它要穿過兩條邊，這是顯見的.

（2）如果是由4個(gè)正方形組成的圖形（見下圖1），我們可以采用將大正方形“打散”成很靠近的四個(gè)獨(dú)立正方形. 這樣，一條直線穿過原先的大正方形最多穿過的邊有最外面的邊——2條，里面的邊共有2 + 2 = 4條邊. 因此共有6條邊被穿過，按照（1）的討論，即可得出最多可穿過6 ÷ 2 = 3個(gè)正方形.

（3）如果是9個(gè)正方形組成的圖形，可采用類似的辦法將其“打散”成很靠近的9個(gè)獨(dú)立的正方形. 這樣總共有2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 10條邊被穿過，因此最多有5個(gè)正方形被穿過.

（4）很明顯如果是16個(gè)正方形，則有2 + 2 × 3 + 2 × 3 = 14條邊被穿過，也即有7個(gè)正方形被穿過. 如果是n2個(gè)正方形，則有2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） = 4n + 2條邊被穿過，最多有2n + 1個(gè)正方形被穿過.

（二）對于立方體的處理，可類似如平面圖形的處理辦法. 只是將上述解法中的線改成面. 同樣，一條線要穿過一個(gè)正方體最少需穿過正方體的兩個(gè)面，因此對于8個(gè)小正方體組成的立方體“打散”后共有2 + 2 + 2 + 2 = 8個(gè)面被穿過，也即最多有4個(gè)正方體被穿過. 如果是27個(gè)正方體則最多有（2 + 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2） ÷ 2 = 7個(gè)被穿過，如果是64的話，有10個(gè). 如果是n2個(gè)正方體的話最多有[2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） + 2（n - 1）] = 3n - 2個(gè)正方體被穿過.

4. 觀察分析問題，通過先特殊后一般的方法，來尋求解題方案的突破

通過觀察題目的結(jié)構(gòu)，采取先簡單后復(fù)雜、先特殊后一般的辦法來尋求問題的解決，對于提高解題的有效性和準(zhǔn)確性尤為重要. 教師在解題教學(xué)中，不僅要傳授給學(xué)生思想方法和常用解題方法，更要重視培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，以達(dá)到“授之以漁”的目標(biāo).

例4 如圖，一個(gè)居民小區(qū)縱橫各有6條街道. 某人要從西北方向前往東南方向，走的方向只能向東或向南，一共有多少種走法？

分析 如果一開始就直接進(jìn)行解決，可能由于圖形的復(fù)雜，容易造成計(jì)算的混亂，最終導(dǎo)致解題的失敗. 而我們?nèi)绻麖淖詈唵伍_始，逐步推進(jìn)，問題便可解決. 我們分析順序可從最簡單的“口”字型（1 × 1型）（見圖一）開始，到“日”字型（1 × 2型）（見圖二）、“目”字型（1 × 3型）（見圖三）、“田”字型（2 × 2型）（見圖四）等，問題得以解決.

解 對于“口”字型（1 × 1型），顯然有2種走法；對于“日”字型（1 × 2型），有3種走法；對于“目”字型（1 × 3型），也易得有4種走法；同理，對于1 × 4型的有5種走法.

圖一 圖二 圖三 圖四

有了這些做基礎(chǔ)，我們可以對復(fù)雜圖形進(jìn)行計(jì)算. 如 “田”字型（2 × 2型）可分解為兩個(gè)“日”字型，所以有6種走法；2 × 3型（見圖五），可以分解為1 × 3型與2 × 2型，因此有10種走法.3 × 3型可分解為兩個(gè)2 × 3型，所以有20種走法. 以此推算，4 × 4型可以分解為兩個(gè)3 × 4型. 而每一個(gè)3 × 4型可以分解為3 × 3型和2 × 4型，同理2 × 4型可分解為1 × 4型和2 × 3型，所以4 × 4型有2 × （20 + 10 + 5） = 70種走法. 對于題中5 × 5型，可分解為兩個(gè)4 × 5型. 以下部分解略.

圖五

通過這道題可以看出，小學(xué)競賽題看似難，實(shí)際上如果我們抓住了題目的“牛鼻子”，也就能化難為易.

總之，對于小學(xué)數(shù)學(xué)中的競賽題目的處理一方面要立足于數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法來統(tǒng)領(lǐng)問題解決. 另一方面，我們也應(yīng)該對問題進(jìn)行仔細(xì)觀察. 觀察分析問題是尋求解題方案的關(guān)鍵所在，理性地觀察題目的狀態(tài)和結(jié)構(gòu)，選準(zhǔn)問題的突破口，對于提高解題的有效性和準(zhǔn)確性尤為重要. 教師在解題教學(xué)中，不僅要傳授給學(xué)生常用的數(shù)學(xué)思想和解題方法，更要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，以達(dá)到提高解題能力的目標(biāo).

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