例談放縮法證明不等式

李衛(wèi)東

摘 要：放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，它同時也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問題和解決問題能力，它對學(xué)生的能力要求較高。

關(guān)鍵詞：放縮法 證明 不等式

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）02（b）-0000-00

廣東省2009-2013年連續(xù)五年高考理科數(shù)學(xué)有四年（2009年第20題（2），2011年第20題（2），2012年第19題（Ⅲ），2013年第19題（Ⅲ））考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，并且都在第二問考到了放縮法，由此可見放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)，它同時也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問題和解決問題能力，它對學(xué)生的能力要求較高。

1 放縮法簡介

在一些需要利用不等式的數(shù)學(xué)問題中，我們常常要把某些項“放大”或“縮小”，“增加”某些項或“舍棄”某些項，利用不等式的傳遞性，用較大的項（或較小的項）來代替原來的項，使解題過程簡化，達(dá)到所要求的結(jié)果，這種變化就叫放縮變化。

放縮法的基本原理是：構(gòu)造數(shù)B，使得A>B，且B>C A>C。放縮法的關(guān)鍵是：正確、恰當(dāng)?shù)卣业健爸薪閿?shù)”B。

2 放縮法常用的技巧有

（1）放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮。（2）舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項放縮。（3）運(yùn)用基本不等式或絕對值不等式進(jìn)行放縮。（4）利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮。（5）利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮。

3 例談放縮法的技巧應(yīng)用

從上述四道廣東高考理科數(shù)學(xué)試題所處的位置與試題的難易程度來看，學(xué)生要想在高考規(guī)定的時間內(nèi)順利地“攻城拔寨”，是有一定難度的。很多學(xué)生對不等式的證明，尤其是用放縮法證明不等式心存恐懼，一看題便覺得無從下手。接下來，我結(jié)合近幾年相關(guān)的廣東高考試題，談?wù)勛约涸凇胺趴s法證明不等式”教學(xué)中的一些做法，與大家交流。

3.1 放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮

例1.（2013年廣東卷/理第19題（Ⅲ））求證：112 +122 +132 +…+1n2<74。

（方法一）分析：當(dāng)n≥3時，1n2<1（n-1）n =1n-1 - 1n ，

∴不等式左邊<1+ 14 +（12 - 13）+…+（1n-1 - 1n）= 74 - 1n<74 ，從而得證。

（方法二）分析：當(dāng)n≥2時，1n2 <1n2-1 = 1（n-1）（n+1） = 12（1n-1 - 1n+1），

∴不等式左邊 < 1+ 12（11 - 13）+ 12（12 - 14）+…+12（1n-1 - 1n+1）=1+ 12 + 14 - 12（1n +1n+1）< 74 。

（方法三）分析：當(dāng)n≥2時，1n2 <1n2-14 = 1（n-12）（n+12） = 1n-12 - 1n+12 ，

∴不等式左邊<1+（12- 12 - 12+ 12）+（13- 12 - 13+ 12）+…+（1n- 12 - 1n+ 12）= 53 - 1n+ 12 < 53< 74 。

反思：（1）此題通過三種方法縮小分母n2實(shí)現(xiàn)分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-12）（n+12）。（2）對式子放縮的途徑很多，但并不是任意放縮都可以證明不等式，而應(yīng)該放縮得“恰如其分”，實(shí)現(xiàn)精細(xì)放縮，同時也需要學(xué)生有創(chuàng)新精神。（3）有時為了證明所需結(jié)論，并不需要每項都放縮。例如本題的三種方法，如果每項都放大，就不能達(dá)到證題的目的。至于如何放縮，哪些項不需要放縮，這就需要學(xué)生敏銳的觀察能力去判斷了。當(dāng)然也需要學(xué)生多次嘗試，才能尋找到正確的放縮途徑。（4）放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項相消求和，從而證明不等式，即裂項放縮法是探求解題思路常用的一條途徑。

3.2 舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項進(jìn)行放縮

例2.（2012年廣東卷/理第19題（3））已知an=3n-2n，求證：1a1 + 1a2 + 1a3 +…+ 1an < 32。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（23）n]≥3n-1，∴1an≤（13）n-1，

∴不等式左邊≤（13）0+（13）1+（13）2+…+（13）n-1=32 - 32（13）n <32。

（方法二）分析：當(dāng)n≥3時，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1） 1an < 12n（n-1） = 12（1n-1 - 1n），

∴不等式左邊<1+ 15 + 12 （12 - 13）+…+ 12（1n-1 - 1n）= 2920 - 12n <32。

反思：（1）方法一通過an舍去（23）n代數(shù)項縮小分母，實(shí)現(xiàn)分式的放大，放縮的目的為了構(gòu)造等比數(shù)列求和。（2）方法二通過二項展開式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代數(shù)項1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，實(shí)現(xiàn)縮小分母。（3）方法二與例1類似，放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項相消求和，從而證明不等式。

3.3 運(yùn)用基本不等式放縮

例3.（2011年廣東卷/理第20題（2））已知b>0，且b≠2，an=nbn（2-b）2n-bn，求證：an

證明：∵b≠2，∴b2n+22n>2b2n·22n =2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2b2n·22n =2n+1bn。

將以上n個式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<[（b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）-bn·2n]（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）（b-2）-bn·2n（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+1-bn+1·2n）+（bn·2n+1-22n+1）2n+1（bn-2n） = = bn（bn+1+2n+1）-2n（bn+1+2n+1）2n+1（bn-2n） = bn+12n+1 +1。

反思：（1）本題通過認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地運(yùn)用基本不等式：a+b≥2ab，（a>0，b>0）進(jìn)行放縮證明不等式。（2）本題放縮的目的是為了分子能合并、抵消，從而化簡式子。

3.4 利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮

例4.求證：12 + 13 + 14 +…+ 1n

分析：要證原不等式，轉(zhuǎn)證：12 + 13 + 14 +…+ 1n <[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

轉(zhuǎn)證：1n

令x=1n 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解題思路已經(jīng)通暢。

反思：（1）本題是通過構(gòu)造函數(shù)的方法，用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明不等式。（2）函數(shù)的巧妙構(gòu)造，需要認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征。

3.5 利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮

例5.（2013年廣州市高三調(diào)研測試/理第21題（2））若函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”.若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有|xn+1-xn|≤1（2n+1）2，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|<14。

證明：∵g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤1（2n+1）2 <14n2+4n = 14（1n - 1n+1）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤14[（1n - 1n+1）+（1n-1 - 1n）+…+（1-12）]=14（1- 1n+1）<14 。

反思：本題是根據(jù)題目所給的“平緩函數(shù)”定義，絕對值不等式，以及已知條件多次放縮證明不等式，它是絕對值不等式在放縮思想指導(dǎo)下的綜合運(yùn)用。

放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學(xué)生卻?？汲Ｅ隆２坏仁降膽?yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會有“撥得云開見日出”的時刻！

參考文獻(xiàn)

[1] 王海容.放縮法證明數(shù)列不等式.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2011（04）.