重力壩膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定性的綜合評價方法

胡 江，馬福恒，陸明志，儲冬冬

（1.南京水利科學研究院水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇 南京 210029；2.江蘇省水利科學研究院，江蘇 揚州 225002）

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度分析包括失效模式的確定和給定不同荷載下的響應概率的計算，涉及結(jié)構(gòu)性態(tài)的確定性分析和可靠度的數(shù)學分析兩方面的理論。結(jié)構(gòu)缺陷、材料病害和基礎(chǔ)老化都可能導致系統(tǒng)出現(xiàn)安全問題，采用非線性本構(gòu)模型和動態(tài)分析方法得到的結(jié)果更符合實際，為此，結(jié)構(gòu)的可靠度分析正向基于非線性分析的失效模式確定和失效概率的精確計算方向發(fā)展。蘇懷智等[1]探討了變量相關(guān)性對重力壩可靠度計算結(jié)果的影響；李典慶等[2]提出了邊坡可靠度分析的隨機響應面法；朱建明等[3]利用Rosenbleuth法和隨機動分析方法求解了重力壩深層抗滑穩(wěn)定的可靠度；章青等[4]采用接觸面應力單元法分析了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定性；Altarejos-García、陳祖煜等[5-6]證明了傳統(tǒng)方法與可靠度方法相對安全率的等價性。

混凝土與基巖膠結(jié)面是重力壩和基巖相互作用的紐帶，其抗滑穩(wěn)定分析是重力壩安全評價的主要內(nèi)容。膠結(jié)面存在顯著的非線性效應，傳統(tǒng)方法多采用抗剪或抗剪斷解析式分析評價其抗滑穩(wěn)定性，與實際工作性態(tài)差異較大。本文在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合非線性有限元可靠度分析方法，提出了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定安全的多級多方法綜合評價體系，以更全面更準確地掌握重力壩的實際性態(tài)。以某在役工程為例，在提出評價體系下，融合彈塑性Mohr-Coulomb模型、響應面法 （RSM），考慮多種變量分布形式及相關(guān)性的可靠度計算方法，探討分析了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定可靠度和傳統(tǒng)安全系數(shù)間的關(guān)系。

1 綜合評價方法

將綜合評價方法分為5個階段，綜合應用可靠度分析和非線性確定性分析方法，建立如圖1所示的多級分析框架體系。

圖1 多步驟多級多方法重力壩安全綜合評價方法

1.1 確定數(shù)學解析和數(shù)值分析模型 （步驟1）

分析荷載工況并識別可能的失效模式后分別確定數(shù)學解析模型和數(shù)值分析模型。數(shù)學解析模型為失效模式所對應的極限狀態(tài)函數(shù)，數(shù)值分析模型為非線性本構(gòu)模型。

1.2 變量分析 （步驟2）

對荷載和材料參數(shù)進行分析研究，將各變量按確定性、較低不確定性、隨機變量分類。其中，隨機變量應通過實驗數(shù)據(jù)、已有經(jīng)驗的建議值等綜合確定其特征值[6-7]。

1.3 基于數(shù)學解析模型的可靠度分析

1.3.1 1級可靠度分析 （步驟3）

1級可靠度分析，即安全系數(shù)計算。依據(jù)變量的均值，采用傳統(tǒng)剛體極限平衡法計算安全系數(shù)。

1.3.2 2級可靠度分析 （步驟4）

2級可靠度分析，即采用FORM分析結(jié)構(gòu)可靠度。主要包括失效概率計算及其對各變量的變異系數(shù)及分布型式偏度的敏感性分析等方面。

失效概率pf的計算式為

式中，X為n維隨機變量矢量；fX（x，θf）為聯(lián)合密度函數(shù)，其中θf為分布參數(shù)矢量；g（ x，θg）為確定性的極限狀態(tài)函數(shù)，其中的矢量x由隨機變量矢量X和θg得到，g（ x，θg）≤0為失效域。

式（1）中的聯(lián)合密度函數(shù)fX（x，θf）一般未知，可通過Nataf變換利用變量的邊緣概率密度函數(shù)、隨機變量間的Gaussian相關(guān)結(jié)構(gòu)構(gòu)造變量聯(lián)合概率密度函數(shù)。將原始相關(guān)隨機變量X轉(zhuǎn)換為相關(guān)標準正態(tài)分布隨機變量Z，其相關(guān)結(jié)構(gòu)服從式（3）表示的積分關(guān)系，再由Z轉(zhuǎn)換為不相關(guān)的標準正態(tài)分布隨機變量U，轉(zhuǎn)換過程用式（2）表示

式中，μi和σi分別為X中的第i個變量的均值和標準差；φ2（·，·，ρ）為相關(guān)系數(shù)為ρ的二維標準正態(tài)概率密度函數(shù)。文獻[8]研究了常用分布形式時式（3）的解，本文采用二維Gauss積分求解。

對于相關(guān)性為ρij的變量對ij，由式（3）確定映射得到的矢量z中變量間的相關(guān)性ρ0ij。從而可以由Z通過式（4）轉(zhuǎn)換得到不相關(guān)標準正態(tài)隨機變量

式中，L0為矩陣R0=［ρ0ij］的Cholesky分解的下三角矩陣，即=R0。

FORM法在標準空間中尋找極限狀態(tài)函數(shù)的最可能失效點P*（MPP）（設(shè)計點）的一階近似值，其實質(zhì)是求解下式表示的約束最優(yōu)化問題

獲得P*后，即可計算得到可靠度指標β=αTu*其中α=為P*點的負法向梯度矢量；由可靠度指標可以得到失效概率pf1=Φ（－β），其中Φ（·）為標準正態(tài)累積密度函數(shù)。同時，還可以得到可靠度指標對參數(shù)統(tǒng)計特征值的敏感性，如β對θf的敏感性為

對式（4）求θf的變分得到Jacobian變換，即

敏感性分析同樣通過積分方案得到，方法同獲得矩陣R0一樣。

1.3.3 3級可靠度分析 （步驟5）

3級可靠度分析，即采用FORM對失效概率的分析和計算?；诓襟E4分析得到的失效概率對變量統(tǒng)計特征值的敏感性，計算由敏感性較高的隨機變量組成的變量矢量下的失效概率。

1.4 基于數(shù)值模型的可靠度分析

1.4.1 1級可靠度分析 （步驟6）

同1.3，在可靠度分析前，首先采用非線性數(shù)值模型計算得到安全系數(shù)，以此初步驗證和比較解析和數(shù)值兩種模型，并為網(wǎng)格細化提供依據(jù)。

采用彈塑性Mohr-Coulomb模型計算抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)時，膠結(jié)面穩(wěn)定的整體安全系數(shù)Fs表示為[9-10]

式中，tanψ和c分別為摩擦系數(shù)和粘聚力；σn和σt分別為法相和切向應力；l和s分別為膠結(jié)面的長度和單元大?。籏為硬化參數(shù)；λ為累積塑性切向位移。

1.4.2 2級可靠度分析 （步驟7）

綜合采用FORM和數(shù)值模型分析結(jié)構(gòu)可靠度。如能夠獲取顯式狀態(tài)函數(shù)，以下方法同1.3.2。

1.4.3 3級可靠度分析 （步驟8）

一般很難顯式獲取極限狀態(tài)函數(shù)，需借助響應面來解決這一問題。生成變量集對，通過對數(shù)值分析結(jié)果的擬合得到響應面，避免過多地調(diào)用非線性數(shù)值計算程序。真實的極限狀態(tài)函數(shù)g（X）用多項式響應面函數(shù)（X）表示，對于X，含交叉項的二元多項式為

式中，a、bi、ci和dij為多項式系數(shù)；ε為隨機誤差。由于交叉項使函數(shù)包含了大量變量，實際應用時，一般采用不含交叉項的二元多項式響應面函數(shù)，一些情況下，則采用簡單線性函數(shù)來代替真實的響應面函數(shù)

響應面法的實質(zhì)是一種統(tǒng)計學方法，有星形、完全析因、中心復合、Box-Behnken等多種抽樣方法可以用來確定樣本點，圖2表示了3個隨機變量時各種設(shè)計方法的取點情況。樣本點在以均值為中心標準差為大小的區(qū)間范圍選取，即xi=μi?σi。得到對應于樣本點的結(jié)構(gòu)響應后，通過最小二乘法擬合得到響應面函數(shù)系數(shù)。

圖2 隨機變量樣本點設(shè)計方法 （n=3）

將膠結(jié)面的滑移失效視為各個單元失效事件的并聯(lián)組合。本文對系統(tǒng)失效概率的計算采用矩陣積分的方式，由m個單元失效模式組成的并聯(lián)系統(tǒng)失效概率 psys為

1.5 結(jié)果分析 （步驟9）

分析由上述多步驟多級多方法綜合評價方法得到的系列結(jié)果，包括結(jié)構(gòu)本身及分析過程中涉及的多種不確定性對安全評價結(jié)果的影響等。

2 工程實例

2.1 工程概況

以一重力壩的溢流壩段為例 （見圖3），分析不同庫水位工況下的膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定狀況。堰頂高程73.0 m，壩頂高程82.5 m；正常蓄水位80.0 m，下游水位26.0 m。圖3中所示庫水位從低到高 （28～91.7 m）超越概率依次為1、0.8、0.556、0.357、3.23×10-4、1.20×10-6和 4.00×10-9。

2.2 確定數(shù)學解析和數(shù)值分析模型

圖3 溢流壩橫截面和庫水位示意

采用Mohr-Coulomb模型，極限平衡狀態(tài)為粘聚力c和摩擦系數(shù)ψ的函數(shù)確定數(shù)學解析解。采用薄層節(jié)理單元和彈塑性Mohr-Coulomb模型分析膠結(jié)面性態(tài)，并視壩體和壩基為變形體建立數(shù)值仿真模型計算分析。根據(jù)參考文獻[10]膠結(jié)面厚度取0.1 m。有限元網(wǎng)格范圍為上下游延伸120.0 m，基巖深80.0 m，膠結(jié)面分為64個單元。

2.3 變量分析

假設(shè)壩基揚壓力折減系數(shù)α呈均勻分布。膠結(jié)面抗剪斷系數(shù)ψ和c分別呈正態(tài)和對數(shù)正態(tài)分布，且兩者存在強的負相關(guān)性，假定兩者不相關(guān)時，計算結(jié)果偏保守，符合工程實際需要。根據(jù)試驗數(shù)據(jù)、實測信息，得到計算所需參數(shù)見表1。

2.4 基于數(shù)學解析模型的可靠度分析

（1）1級可靠度分析。采用Mohr-Coulomb模型，建立抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)函數(shù)

式中，∑W和Y分別為作用在膠結(jié)面上的總重力和揚壓力；∑P為作用在壩體的水平合力；A為膠結(jié)面面積；其他符號同式（8）。對應不同庫水位，代入變量的均值，水位從60.0 m起從低到高依次計算得到膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定的安全系數(shù)分別為 5.08、3.14、2.52、2.34、2.12和1.82。

（2）2級可靠度分析。采用FORM計算由式（13）表示的膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定失效概率，得到的失效概率如圖4所示。失效概率對各隨機變量統(tǒng)計特征值的敏感性結(jié)果見圖5。

圖4 不同水位下的可靠度和失效概率（1:多隨機變量；2:少隨機變量）

圖5 失效概率對隨機變量的敏感性

（3）3級可靠度分析。由圖6可以看出，膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)的概率對ψ和α的均值和標準差都較為敏感，且隨機變量的敏感性隨庫水位不同而有所差異。僅考慮這兩個隨機變量，重新計算得到膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)的可靠度和失效概率，結(jié)果如圖5，可以看出兩種情況下得到的結(jié)果幾乎相等。本文暫不考慮不同隨機變量的分布型式對失效概率的影響。

表1 計算參數(shù)

2.5 基于數(shù)值模型的可靠度分析

（1）1級可靠度分析。采用數(shù)值分析方法，據(jù)式 （8）分別計算不同庫水位下的膠結(jié)面單元的局部安全系數(shù)和整體安全系數(shù)，結(jié)果分別如圖6、7所示。以法向應力是否超過允許抗拉強度為標準，判斷膠結(jié)面是否開裂，即以σn

圖6 膠結(jié)面單元的局部安全系數(shù)

圖7 不同水位下的整體安全系數(shù)

圖8 不同庫水位下的膠結(jié)面開裂狀態(tài)

（2）2、3級可靠度分析。采用完全析因法作為隨機變量樣本點的設(shè)計方法，采用響應面法擬合膠結(jié)面的抗滑狀態(tài)響應。經(jīng)過試算發(fā)現(xiàn)，膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定各失效單元間存在高度的相關(guān)性，按整體考慮膠結(jié)面的抗滑失穩(wěn)。隨機變量為膠結(jié)面的抗剪斷參數(shù)ψ、c、α和混凝土容重γc，一個膠結(jié)面單元失效的數(shù)值分析次數(shù)為24=16次。以庫水位86.0 m為例，將數(shù)值分析得到的結(jié)果，采用式 （10）表示的一次函數(shù)擬合，得到響應面函數(shù)為

該函數(shù)擬合精度為0.987，即一次函數(shù)式就可以較好地反映所考慮荷載下的膠結(jié)面工作性態(tài)。采用FORM計算得到失效概率為0.051，略小于基于數(shù)學解析模型計算得到的失效概率0.0645。比較步驟4和步驟7兩種情況下的參數(shù)的敏感性，見圖9；得到的設(shè)計點分別為 [0.627，23.467，0.695，213.16]和[0.646，23.457，0.797，209.51]。 按照相同方法，計算得到其他庫水位下的膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)概率，結(jié)果見圖10。

圖9 兩種計算方法下的參數(shù)敏感性比較

圖10 兩種計算方法不同庫水位下的膠結(jié)面失穩(wěn)概率

2.6 結(jié)果分析

整體上看，在高庫水位下，步驟3～5中的基于傳統(tǒng)方法 （極限平衡法）可靠度分析方法計算得到的膠結(jié)面安全系數(shù)較步驟6～8中的基于數(shù)值模擬的可靠度分析方法小，抗滑失穩(wěn)概率稍大。在低庫水位下，兩者計算得到的結(jié)果基本吻合，基于數(shù)值模擬可靠度分析方法結(jié)果甚至稍高。這是因為在高庫水位下，合理厚度的薄層節(jié)理單元能較好地反映膠結(jié)面的應力-應變狀態(tài)，應力集中導致壩踵處的膠結(jié)面容易開裂；膠結(jié)面應力狀態(tài)越均勻，強度儲備越大；壩趾壩踵處應力越集中，強度儲備越小。

從參數(shù)的敏感性分析可以看出，在較低庫水位下，參數(shù)的敏感性分析不合理，因此參數(shù)敏感性分析時應當選擇合理的庫水位。選用敏感性較高的參數(shù)作為隨機變量，計算結(jié)果幾乎與考慮敏感性較低隨機變量在內(nèi)的所有變量的結(jié)果相等。安全系數(shù)和失效概率間的關(guān)系如圖11所示，可知即使在較高的安全系數(shù)下，膠結(jié)面仍然存在較高的失穩(wěn)概率，這表示膠結(jié)面安全分析過程中存在較大的不確定性。因此，對于大壩安全管理和補強加固決策，現(xiàn)場試驗和工程檢測十分必要，這樣可以提高隨機變量統(tǒng)計特性的準確性，同時減少數(shù)據(jù)處理過程中的主觀模糊性。

圖11 安全系數(shù)和失效概率的關(guān)系

3 結(jié)論

綜合極限剛體平衡法、基于解析式的可靠度分析方法、非線性有限元可靠度分析方法以及響應面法等確定性方法和概率方法，提出了多級多方法混凝土壩安全綜合評價體系。通過工程實例的分析，得到如下結(jié)論:

（1）安全系數(shù)較高的情況下，失效概率不一定低，混凝土壩的安全分析應綜合采用多種方法?；跀?shù)值模型的可靠度分析結(jié)果能較好地反映結(jié)構(gòu)的失效機理和失效過程；傳統(tǒng)的解析方法結(jié)果較為保守。將 “混凝土壩-膠結(jié)面-基巖”視為系統(tǒng)，分別采用合理的非線性本構(gòu)模型，分析一定荷載下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應，可以獲得更加真實的失效概率。

（2）失效概率分析的過程中，隨機變量的分析十分重要。敏感性較高的隨機變量的均值和標準差都可能導致失效概率出現(xiàn)較大變異。應當充分挖掘工程資料、試驗數(shù)據(jù)和檢測數(shù)據(jù)，并結(jié)合現(xiàn)有文獻研究成果對隨機變量尤其是敏感性較高的隨機變量取值。

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