牛頓第二定律為什么不寫成而是F＝ma

霍良平

（旬陽中學(xué)，陜西 旬陽 725700）

牛頓第二定律是研究質(zhì)點在合力作用下，其運動狀態(tài)如何變化的問題.在大學(xué)物理教程和高中物理教材中都是以實驗為基礎(chǔ)總結(jié)出的實驗結(jié)論，對研究力和運動起到了決定性的作用，由于在高中教材中對牛頓第二定律的推導(dǎo)過程主要是在實驗的基礎(chǔ)上以國際單位為主線得出結(jié)論或F∝ma，而在具體的做題當中都是以F∝ma的形式出現(xiàn)，不寫成的原因究竟是為什么？本文結(jié)合大學(xué)物理教程和高中物理教材做一比對分析.

大學(xué)教程［1］中：設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M，某時刻的速度為v，動量為mv，某時刻質(zhì)點動量對時間的變化率等于該時刻作用在質(zhì)點上所有力的合力R＝∑iFi實驗表明：

牛頓第二定律給出了力和動量變化之間的定量關(guān)系.當質(zhì)點的質(zhì)量可以看做是常量時，上式可寫為

這就是大家熟悉的牛頓第二定律的表示形式.實驗表明，當質(zhì)點的質(zhì)量隨時間變化時，式（2）已不再成立，但式（1）仍然成立，說明用動量形式表示的牛頓第二定律具有更大的普遍性.

高中教材［2］中：分別采用控制質(zhì)量和力的前提下，通過實驗探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系，得出實驗結(jié)論：物體的加速度跟受到的作用力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比.數(shù)學(xué)公式表示為

將上式寫成等式，得

式中的k是比例系數(shù)，取國際單位（規(guī)定1N是使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2加速度的力），k＝1，上式可寫為F合＝ma.

（1）從單位制角度講，最早物理學(xué)中使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力叫做千克力，后來將千克力改用為牛，即使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生1m／s2的加速度所需要的力為1牛.從單位分類來看牛是導(dǎo)出單位，可表示為1N＝1kg·m／s2，因此將牛頓第二定律表示為F＝ma體現(xiàn)了單位的導(dǎo)出過程.

（3）牛頓第二定律的內(nèi)容當中并沒有具體要求研究對象只能為一個質(zhì)量一定的物體或加速度相同的物體系，即可理解為對變質(zhì)量的物體、加速度不同的多個物體系也應(yīng)在它的研究范圍內(nèi).

設(shè)有n個相互作用的物體質(zhì)量一定，分別為m1、m2、..mn，產(chǎn)生的加速度分別為a1、a2、..an，m1受到的作用力分為F1內(nèi)（m2，..mn對m1施加的力的合力）、F1外（除m2，..mn對m1施加力之外的力的合力），同理m2受到的作用力分為F2內(nèi)、F2外，mn受到的作用力分為Fn內(nèi)、Fn外.根據(jù)牛頓第二定律得

F1外＋F1內(nèi)＝m1a1. （1）

F2外＋F2內(nèi)＝m2a2. （2）

……

Fn外＋Fn內(nèi)＝mnan. （n）

據(jù)牛頓第三定律得F1內(nèi)＋F2內(nèi)＋…＋Fn內(nèi)＝0，則式（1）＋式（2）＋…＋式（n）得

F1外＋F2外＋…＋Fn外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

如果取m1，m2，…mn系統(tǒng)為研究對象，有

F合外＝m1a1＋m2a2＋…＋mnan.

結(jié)合力的正交分解思想，上式可寫為

Fx＝m1a1x＋m2a2x＋…＋mnanx，

Fy＝m1a1y＋m2a2y＋…＋mnany，

式中的Fx和Fy是系統(tǒng)在x軸、y軸方向上的合外力.若牛頓第二定律寫成將無法列出系統(tǒng)的牛頓第二定律方程，即只能局限于解決單個物體或可視為單體的多個物體系（加速度相同）的力學(xué)問題，在學(xué)生應(yīng)用牛頓第二定律解決力學(xué)問題時存在很大的局限性，甚至會使學(xué)生曲解為牛頓第二定律只能解決單體定質(zhì)量問題.

例題.一個斜面光滑質(zhì)量為M的三角劈放在粗糙的地面上，一個質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端靜止釋放，在滑塊的下滑過程中，三角劈始終不動，那么三角劈所受地面的摩擦力的大小和方向怎樣？支持力又有多大？

解析：分別以三角劈和滑塊為研究對象作受力分析，如圖2（a）、（b）所示.

圖1

圖2

x軸方向：當M和m一定時，取水平向左為正方向，滑塊的加速度為a1＝gsinθ，三角劈的加速度為a2＝0.

對滑塊：

FNx＝FNsinθ＝ma1x. （1）

對三角劈：

f-FN′sinθ＝Ma2x. （2）

y軸方向：取豎直向下為正方向.

對滑塊：

mg-FNcosθ＝ma1y. （3）

對三角劈：

Mg＋FN′cosθ-N＝Ma2y. （4）

FN＝FN′.（數(shù)值相等） （5）

如果采用單體分析法，先有（1）式算出FN＝mgcosθ，代入（2）式得出f＝mgsinθcosθ，代入（4）式得出

N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

系統(tǒng)分析法.

x軸方向：f＝ma1x＋Ma2x.

y軸方向：mg＋Mg-N＝ma1y＋Ma2y.于是直接可得f＝mgsinθcosθ，且方向水平向左，N＝（M＋m）g-mgsin2θ.

1 吳百詩.大學(xué)物理（新版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

2 束炳如，何潤偉.物理（共同必修1）［M］.上海：上海科技出版社，2004.