隨機(jī)變量序列部分和之和的完全收斂性

蘭沖鋒，吳群英

(1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

Resnick[1]以及Arnold[2]等在研究記錄值之和的極限理論時(shí)，發(fā)現(xiàn)了有必要研究形如 的極限定理.而在實(shí)際問(wèn)題中，如破產(chǎn)理論、隨機(jī)游動(dòng)以及時(shí)間序列分析理論中均有必要研究部分和之和的極限定理.基于此，蘇淳，江濤[3，4]等研究了i.i.d.隨機(jī)變量序列部分和之和的大數(shù)定律和中心極限定理；蘭沖鋒和吳群英[5]給出了i.i.d.隨機(jī)變量序列部分和之和的完全收斂性的等價(jià)條件；宇世航[6～8]等將其推廣到NA列，得到了部分和之和Tn的強(qiáng)、弱大數(shù)定律的條件，同時(shí)給出強(qiáng)平穩(wěn)NA列部分和之和Tn的中心極限定理存在的條件.而對(duì)于更廣泛的一般的隨機(jī)變量序列部分和之和Tn的完全收斂性討論,還未見(jiàn)文獻(xiàn)記載。

許寶祿和Robbins[9]在1947年引入完全收斂性的概念以來(lái)，在i.i.d.情形下關(guān)于部分和Sn的完全收斂性最經(jīng)典的結(jié)果應(yīng)首推Baum和Katz[10]型定理，本文將在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入慢變化函數(shù)將i.i.d.隨機(jī)變量序列部分和之和Tn的完全收斂性推廣到一般的隨機(jī)變量序列，以期隨機(jī)變量序列部分和之和的極限定理作一個(gè)補(bǔ)充。

1 引理

本文一律以“?”表示通常的大“O”，以C記與n無(wú)關(guān)的正常數(shù)，在不同之處可以取不同的值.本文研究一般的更廣泛的隨機(jī)變量，設(shè){Xn;n≥1}滿足如下條件：

存在常數(shù)C，對(duì)任何單調(diào)函數(shù)f，若Varf(X1)＜∞,則有

為證明本文的結(jié)論，先給出以下引理。

引理 1[11]假設(shè)g(a,k)是Xa+1,Xa+2,…,Xa+k的聯(lián)合分布的泛函（a≥0,k≥1），滿足

引理2設(shè){Xn;n≥1}是同分布序列且滿足條件（1.1）,對(duì)任何單調(diào)函數(shù)f，若Varf(X1)＜∞,有

證：由條件（1）式得即得證。

引理3[12]設(shè){Xn;n≥1}是同分布序列且滿足條件（1.1）,則對(duì)?x≥0,有

對(duì)于慢變化函數(shù)，有如下性質(zhì)：如果l(x)＞0為x→+∞時(shí)的慢變化函數(shù)，則

2 主要結(jié)果

定理1設(shè){Xn;n≥1}是同分布隨機(jī)變量序列且滿足條件（1.1），αp＞1,p＜2,l(x)＞0為當(dāng)x→+∞的單調(diào)不減慢變化函數(shù)，那么下列三式等價(jià)：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

若{Xn;n≥1}是i.i.d.隨機(jī)變量序列且取l(x)=1，此時(shí)顯然條件（1）式成立，則有如下推論。

推論1：設(shè){Xn;n≥1}是i.i.d.隨機(jī)變量序列，αp＞1,p＜2,那么下列三式等價(jià)：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

此推論即類(lèi)似于著名的i.i.d.隨機(jī)變量序列的Baum和Katz型完全收斂性定理。

在文獻(xiàn)[5]中的我們?cè)?jīng)得到如下定理2。

定理2 設(shè)0＜p＜2，{Xn;n≥1}是i.i.d.r.v.序列，那么下列條件等價(jià)：

其中，b=0,若0＜p＜1；b=EX1，若1≤p＜2。

可見(jiàn)推論1的結(jié)論把文獻(xiàn)[5]中定理2的條件由αp=1推廣到了αp＞1的情形。

3 定理的證明

先證(1)?(2).對(duì)0≤a≤∞，記 f1(x)=f1(x,a)=(-a)∨(x∧a),x+=0∨x,x-=-(0∧x)，f2(x)=x-f1(x)，則 f1(x),f2(x),x+,x-都是x的單調(diào)函數(shù)，取q,使(1+1/αp)/2＜q＜1，令

再由條件（1）式得

故I2＜∞。（2）得證。下證（4）成立,為此先證

當(dāng)α≤1時(shí)，由αp＞1得p＞1。并注意EX1=0。由（5）得

當(dāng)α＞1，p≤1時(shí)，與（6）式類(lèi)似地有

從而（7）式得證。

現(xiàn)取0＜δ＜p,使得2-p+δ＞0,qδ≤(2-p)(1-q),由（7）、引理2及條件（1）得

此即（2）成立。

類(lèi)比(2)?(3)的方式可以由（3）式推出（2）式成立.故由（2）式和（3）式可知

由上式并注意到αp-2＞-1,可知故（1）成立。證畢。

[1]Resnick S L.Limit Laws for Record Values[J].Stochastic Processes and Their Applications,1973,1(1).

[2]Arnold B C,Villasenor J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes.，1998,1(3).

[3]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理[J].中國(guó)科技大學(xué)學(xué)報(bào),2001,31(4).

[4]江濤,林日其.I.I.D隨機(jī)變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,22(2).

[5]蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之和的完全收斂性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2012,50(3).

[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2008，43（4）.

[7]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，20（4）.

[8]宇世航,張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學(xué)刊，2007，27（3）.

[9]Hsu P L,Robbins H.Complete Convergence and the Law of Large Numbers[J].Proc.Nat.Acad.Sci.USA,1947,（33）.

[10]Baum L E,Katz M.Convergence Rates in the Law of Large Numbers[J].Trars Amer.Math.Soc.,1965,(120).

[11]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[12]張立新，王江峰.兩兩NQD序列的完全收斂性的一個(gè)注記[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯，2004，19（2）.