一種四階P－Laplace圖像盲復(fù)原方法

劉 琨，王國(guó)宇，姬婷婷

（中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島266100）

圖像在形成、傳輸和存儲(chǔ)過(guò)程中不可避免地引起圖像質(zhì)量的退化，如成像系統(tǒng)的缺陷、外部干擾等等。在成像系統(tǒng)為線性平移不變系統(tǒng)的假定下，可用如下模型來(lái)描述退化的圖像［1］：

其中：u（x，y）表示理想圖像；h（x，y）表示成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；n表示圖像的加性噪聲；u0（x，y）為退化模糊圖像；表示卷積操作。

圖像盲復(fù)原問(wèn)題是圖像處理問(wèn)題中的經(jīng)典問(wèn)題之一，近年來(lái)圖像盲復(fù)原算法得到了廣泛的研究。圖像復(fù)原算法大致可以分為兩類：一類是先辨識(shí)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，再利用傳統(tǒng)的復(fù)原算法進(jìn)行復(fù)原；另一類是同時(shí)估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和原始圖像。目前成功的算法以Kundur等人提出的利用非負(fù)和有限支撐約束的遞歸逆濾波盲圖像恢復(fù)算法（NAS－RIF）［2］以及 Rudin、Chan等人提出的全變分（TV）正則化盲圖像恢復(fù)算法［3－5］最為典型。而NAS－RIF算法由于需預(yù)先知道圖像的支持域，且算法對(duì)噪聲敏感等原因，致使應(yīng)用受到限制。全變分正則化盲圖像恢復(fù)算法較為成功，但由于該算法采用的是二階偏微分方程模型，在復(fù)原圖像的同時(shí)容易引起階梯效應(yīng)?；谄⒎终齽t化方法同時(shí)估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和原始圖像方法中，以You和Kaveh提出的二階偏微分［6］以及Chan和 Wong提出的偏微分盲圖像復(fù)原方法［4］最為典型。但是You和Kaveh提出的算法容易引起圖像模糊，而Chan和Wong提出的算法容易引起階梯效應(yīng)。P－Laplace方法［7］相對(duì)于以上方法有了很大改進(jìn)，但復(fù)原出來(lái)的圖像仍然不夠理想。

為了克服階梯效應(yīng)和模糊問(wèn)題，很多學(xué)者做了廣泛研究［7－9］，雖然 P－Laplace方法在對(duì)圖像邊緣和內(nèi)部平滑區(qū)域做分別處理時(shí)對(duì)TV復(fù)原方法中出現(xiàn)的階梯效應(yīng)有一定的緩解作用，但仍然不夠理想。本文在不改變圖像演化方程基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上改進(jìn)P－Laplace方法，引入?yún)?shù)λ調(diào)節(jié)復(fù)原過(guò)程中的保真項(xiàng)并對(duì)偏微分方程做單調(diào)灰度變化，進(jìn)一步緩解了階梯效應(yīng)，但通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，改進(jìn)的P－Laplace方法存在的階梯效應(yīng)問(wèn)題仍然會(huì)對(duì)圖像清晰度產(chǎn)生影響。在此考慮到四階偏微分方程模型較二階模型在去除噪聲和保持邊界的同時(shí)，能更好地避免階梯效應(yīng)［10－12］，本文提出了一種四階P－Laplace偏微分圖像復(fù)原方法，引入了新的能量泛函，進(jìn)一步避免階梯效應(yīng)以提高復(fù)原圖像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該算法相比于TV和P－Laplace復(fù)原方法，對(duì)模糊圖像有更好的復(fù)原效果，同時(shí)也適用于水下圖像和霧天圖像的圖像復(fù)原。

1 P－Laplace圖像盲復(fù)原模型

其中：α1，α2是正的參數(shù)；p（u）為擴(kuò)散控制因子，取值范圍為其值由等照度線的曲率k和梯度模值共同決定：

2 四階P－Laplace圖像盲復(fù)原

在以上P－Laplace圖像盲復(fù)原模型的基礎(chǔ)上，對(duì)于（6）式中的ut，將右邊乘以梯度模值u ，便得

由于單調(diào)灰度變換不改變圖像演化的方程的基本性質(zhì)［8］，因而改進(jìn)的模型（7）是近似滿足形態(tài)學(xué)原則的，但這種改進(jìn)會(huì)使階梯效應(yīng)得到有效的緩解。

不少學(xué)者在克服由TV正則化所產(chǎn)生的階梯現(xiàn)象時(shí)，提出了一種有效的采用高階范數(shù)來(lái)度量圖像的方法［10－12］?？紤]到四階偏微分方程模型在去除噪聲和保持邊界的同時(shí)能避免階梯效應(yīng)，將四階偏微分方程引入，本文提出一種四階P－Laplace圖像盲復(fù)原方法，能量泛函表示如下：

其Euler－Lagrange方程為：

通過(guò)梯度下降流法，將模型的求解轉(zhuǎn)化為非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程組，并進(jìn)行單調(diào)灰度變換得：

初始值u（x，0）＝u0（x）滿足周期性條件。

由于滿足平面方程的圖像，其強(qiáng)度函數(shù)的Laplace算子為零并滿足Euler－Lagrange方程，因此一個(gè)平面圖像就是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，由此平面圖像就是式（9）的全局最小解［10］。采用四階偏微分方程的最大優(yōu)點(diǎn)是由于它用分片平面圖像來(lái)近似邊界，從而消除了二階非線性擴(kuò)散所造成的階梯效應(yīng)。

同時(shí)，四階P－Laplace圖像盲復(fù)原模型中引入?yún)?shù)λ調(diào)節(jié)復(fù)原過(guò)程中的保真項(xiàng)，在保證復(fù)原效果的前提下，減少?gòu)?fù)原過(guò)程中的計(jì)算量。

圖1 待修復(fù)像素及鄰域點(diǎn)示意圖Fig.1 Pixels under repaired and neighborhood point

3 數(shù)值計(jì)算方法

這里采用差分的數(shù)值計(jì)算方法，將圖像離散化，記h為空間步長(zhǎng)，u（xi，yi，tn）記為uni，j，則ut估計(jì)用差分格式：

其中Δt是時(shí)間步長(zhǎng)，用中心差分進(jìn)行估計(jì)：

對(duì)于散度算子，這里采用半點(diǎn)中心差分法實(shí)現(xiàn)。如圖1所示，待修復(fù)點(diǎn)為O，N、S、W、E為O的4個(gè)鄰域點(diǎn)，n、s、w、e分別為對(duì)應(yīng)的4個(gè)鄰域半點(diǎn)。令：

由于半點(diǎn)值不能直接得到，以eS點(diǎn)為例求解如下：

如此交替公式（23）和（24）的迭代，根據(jù)迭代次數(shù)，最終得到復(fù)原圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

4.1 本文方法與其他方法的對(duì)比分析

為了驗(yàn)證本文算法的正確性和有效性，采用大小為256×256像素的Lena標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像作為測(cè)試圖像，分別對(duì)無(wú)噪模糊圖像和帶有不同程度噪聲的模糊退化圖像進(jìn)行復(fù)原。模糊的退化圖像是利用二維高斯函數(shù)卷積核進(jìn)行模糊化，噪聲是高斯白噪聲。實(shí)驗(yàn)分別比較了TV復(fù)原方法、P－Laplace方法和本文方法。

實(shí)驗(yàn)中，標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像通過(guò)7×7的高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行模糊，高斯白噪聲均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差分別取2、4、6…16，交替迭代次數(shù)為100次，參數(shù)λ＝1.5，正則化約束參數(shù)α1＝α2＝0.002。圖2為L(zhǎng)ena清晰圖像，圖3中的4幅圖為無(wú)噪模糊圖像以及分別采用TV復(fù)原方法、P－Laplace方法和本文方法復(fù)原模糊圖像（見(jiàn)圖3（a））的效果圖；圖4中的4幅圖為帶噪模糊圖像（高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為6）以及分別采用TV復(fù)原方法、P－Laplace方法和本文方法復(fù)原帶噪模糊圖像（見(jiàn)圖4（a））的效果圖。

圖2 Lena清晰圖像Fig.2 The sharp image Lena

圖3 無(wú)噪模糊圖像以及圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.3 The blurred image without noise andimage restoration results

圖4 帶噪模糊圖像以及圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.4 The blurred image with noise and image restoration results

從圖3、4可以看到，不管是無(wú)噪模糊圖像還是帶噪模糊圖像，視覺(jué)效果上TV方法的復(fù)原效果一般，PLaplace方法的復(fù)原效果有明顯改進(jìn)，而本文方法的復(fù)原效果最好。用峰值信噪比PSNR值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，表1為無(wú)噪模糊圖像以及3種復(fù)原方法復(fù)原結(jié)果的PSNR值，圖5為帶噪模糊圖像（帶有不同程度噪聲）以及3種復(fù)原方法復(fù)原結(jié)果PSNR值的走勢(shì)圖。

表1 無(wú)噪模糊圖像的復(fù)原評(píng)價(jià)Table 1 The evaluation of blurred image restoration without noise

表1顯示，對(duì)無(wú)噪模糊圖像的復(fù)原中，本文方法的PSNR值最大，有明顯的復(fù)原效果并且優(yōu)于TV方法和P－Laplace方法。從圖5可以看出，當(dāng)噪聲程度較低時(shí)，本文方法的PSNR值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于帶噪模糊圖像以及其他方法的復(fù)原結(jié)果，說(shuō)明本文方法的復(fù)原效果是最好的。

圖5 不同程度帶噪模糊圖像的復(fù)原評(píng)價(jià)Fig.5 The evaluation of blurred image restoration with noise in different level

4.2 本文方法與P－Laplace方法的對(duì)比分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法相比較傳統(tǒng)P－Laplace方法的優(yōu)越性，實(shí)驗(yàn)又采用大小為256×256像素的Lady圖像作為測(cè)試圖像，分別對(duì)無(wú)噪模糊圖像和帶有不同程度噪聲的模糊退化圖像進(jìn)行復(fù)原。模糊的退化圖像是利用二維高斯函數(shù)卷積核進(jìn)行模糊化，噪聲是高斯白噪聲。實(shí)驗(yàn)詳細(xì)比較了P－Laplace方法和本文方法。

實(shí)驗(yàn)中，Lady圖像通過(guò)7×7的高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行模糊，高斯白噪聲均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差分別取2、4、6、8，交替迭代次數(shù)為150次，參數(shù)λ＝1.5，正則化約束參數(shù)α1＝α2＝0.002。圖6為L(zhǎng)ady清晰圖像，圖7中的兩幅圖分別為無(wú)噪模糊圖像和帶噪模糊圖像（高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為2），圖8中的兩幅圖為分別采用P－Laplace方法和本文方法復(fù)原無(wú)噪模糊圖像（見(jiàn)圖7（a））的效果圖；圖9中的兩幅圖為分別采用P－Laplace方法和本文方法復(fù)原帶噪模糊圖像（見(jiàn)圖7（b））的效果圖。

圖6 Lady清晰圖像Fig.6 The sharp image Lady

圖7 無(wú)噪模糊圖像以及帶噪模糊圖像Fig.7 The blurred image without noise and the blurred image with noise

圖8 對(duì)無(wú)噪模糊圖像的圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.8 Image restoration results on the blurred image without noise

圖9 對(duì)帶噪模糊圖像的圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.9 Image restoration results on the blurred image with noise

從圖像恢復(fù)結(jié)果可以看出，在主觀視覺(jué)上，不管是對(duì)無(wú)噪模糊圖像的復(fù)原還是對(duì)帶噪模糊圖像的復(fù)原，P－Laplace方法的復(fù)原結(jié)果中都能看到明顯的階梯效應(yīng)問(wèn)題，而本文方法在去除噪聲和保持邊界的同時(shí)能避免階梯效應(yīng)，相比較P－Laplace方法，本文方法有很好的復(fù)原效果。用峰值信噪比PSNR值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)無(wú)噪模糊圖像復(fù)原時(shí)，P－Laplace方法的PSNR值為26.75，而本文方法的PSNR值為30.36，復(fù)原效果明顯優(yōu)于P－Laplace方法，表2統(tǒng)計(jì)了帶噪模糊圖像（帶有不同程度噪聲）以及兩種方法復(fù)原結(jié)果的PSNR值，可以看出，在相同程度噪聲干擾下，本文方法比PLaplace方法的PSNR值大，相比較P－Laplace方法有明顯的復(fù)原效果。

表2 帶噪模糊圖像的復(fù)原評(píng)價(jià)Table2 The evaluation of blurred image restoration with noise

4.3 本文方法的普適性研究

為了驗(yàn)證本文算法的普遍性和有效性，實(shí)驗(yàn)中又分別采用大小為512×512像素的Lena標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像、水下圖像（見(jiàn)圖10）和霧天圖像（見(jiàn)圖11）做測(cè)試，復(fù)原效果如下圖顯示。

圖10 水下圖像的圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.10 Image restoration results of the underwater picture

圖11 霧天圖像的圖像恢復(fù)結(jié)果Fig.11 Image restoration results of the fog image

從水下圖像和霧天圖像的恢復(fù)結(jié)果看，經(jīng)過(guò)本文方法的圖像恢復(fù)處理，可以清楚地看到原來(lái)模糊圖像中看不清的細(xì)節(jié)，整幅圖像的清晰度也有了很大的提高，在主觀視覺(jué)上本文方法有很好的復(fù)原效果，說(shuō)明本文方法也適用于水下圖像和霧天圖像的圖像復(fù)原。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出的四階P－Laplace圖像盲復(fù)原方法能夠很好地避免階梯效應(yīng)，對(duì)退化圖像的圖像恢復(fù)有很好的復(fù)原效果，特別是對(duì)加性噪聲比較小的模糊圖像的圖像復(fù)原。同時(shí)，本文方法還適用于水下圖像和霧天圖像。本文方法雖然在保持邊界和細(xì)節(jié)復(fù)原方面相比其他方法有很好的效果，但從帶有不同程度噪聲的模糊圖像的圖像恢復(fù)結(jié)果看（見(jiàn)圖5），在噪聲程度比較大時(shí)，本文方法的復(fù)原效果一般，因此對(duì)于噪聲程度較大的退化圖像，本文方法還有待進(jìn)一步改進(jìn)。

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