三維物體主菲涅爾波帶全息成像法

楊濤+周皓+季冬+顧濟華

摘 要： 為了提高三維物體計算全息圖的生成速度，在主菲涅爾波帶法的基礎(chǔ)上提出了一種改進算法。首先依據(jù)衍射距離將二維主菲涅爾波帶轉(zhuǎn)換為兩組一維波帶；然后依據(jù)實際應(yīng)用情況與顯示裝置進行尺寸匹配；最后將得到的波帶疊加獲得三維物體全息圖。該算法與改進前相比，內(nèi)存空間的占用較小，運算速度得到顯著提高，生成的全息圖經(jīng)由DMD再現(xiàn)獲得高質(zhì)量的三維物體再現(xiàn)圖像。

關(guān)鍵詞： 計算全息； 主菲涅爾波帶； 光電再現(xiàn)； DMD

中圖分類號： TN911?34； O438.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）20?0112?04

“Host” Fresnel wave zone holographic imaging method based on

three?dimensional objects

YANG Tao， ZHOU Hao， JI Dong， GU Ji?hua

（Department of Physics Science and Technology， Soochow University， Suzhou 215006， China）

Abstract： In order to improve the generating speed to the three?dimensional objects calculation hologram， an improved algorithm based on the “host” Fresnel wave zone method is proposed. The two?dimensional “host” Fresnel wave zone is converted to two one?dimensional wave zones according to the diffraction distance， and then the desired Fresnel wave zones are matched with the size of the display device according to the actual application. Finally， the obtained Fresnel wave zones are superimposed to achieve three?dimensional objects hologram. Compared to the previous algorithm， the improved algorithm occupies less memory space， its computing speed has been significantly improved and a high quality reconstructed image generated by the DMD can be obtained.

Keywords： CGH； “host” Fresnel wave zone； photoelectric reconstruction； DMD

0 引 言

人類對現(xiàn)實世界的感知中，80%的信息來源于雙眼的視覺，而目前占據(jù)主流地位的顯示技術(shù)仍是二維顯示技術(shù)，雖然二維顯示技術(shù)能滿足大部分日常生活需求，但與三維顯示相比，缺乏臨場感和視覺沖擊感。隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，三維立體顯示技術(shù)越來越成熟，逐漸成為研究的熱點[1?4]。目前三維立體顯示技術(shù)主要分兩種，一種是基于雙目視差的立體顯示技術(shù)，如眼鏡/頭盔式三維立體顯示和光柵式自由立體顯示[5?8]、合成成像立體顯示[9?13]、體三維顯示[14?15]等各種三維顯示技術(shù)，這些技術(shù)都是通過提供具有一定視差的圖像，使觀察者形成一定的深度印象，從而達到三維立體顯示的目的。另外一種則是顯示真實立體物體影像的技術(shù)，如全息技術(shù)，它通過干涉完整地記錄了物體的強度、相位等信息，再現(xiàn)像是真正意義的空間立體圖像，再現(xiàn)圖像可以直接進行裸眼觀察，被大多數(shù)人認為是未來三維顯示最理想的方案[16?19]。

目前采用全息技術(shù)顯示三維物體的方法主要有光學全息、數(shù)字全息和計算全息。其中計算全息具有噪聲低、可重復性好、可實現(xiàn)虛擬物體的實體化等特點。但由于三維物體復雜的數(shù)學描述和有限的計算機運算能力，計算效率成為了限制計算全息發(fā)展的瓶頸。研究者在不提高計算機硬件的前提下，研究了很多簡化三維物體的計算全息算法，以達到提高計算速度的目的：Waters提出通過分別計算單個點光源在全息平面上的復振幅以疊加編碼成計算全息圖[20]；Leseberg將三維物體各個平面的菲涅爾全息圖累和組成具有全息圖[21]；張曉潔等人提出了主菲涅爾波帶法[22?24]，在點物散法的基礎(chǔ)上，通過規(guī)整同一深度下的所有采樣物點來提高運算速度；李勇等研究者對全息圖進行變量分離[25?26]，以達到減少計算量，提高運算效率的目的。

本文改進了主菲涅爾波帶法以進一步提高全息圖生成效率：將分離變量原理[17?19]與主菲涅爾波帶法相結(jié)合，從主菲涅爾波帶的計算公式中分離出關(guān)于兩個軸上的獨立分量，以獨立分量代替主菲涅爾波帶，并獲取其他采樣物點軸上的分量，最后通過計算得到各個菲涅爾波帶。與傳統(tǒng)主菲涅爾波帶法相比，改進后的算法不僅補全了文獻[23]中丟失的高頻信息，而且計算量進一步減少，運算速度得到較大提高。將生成的計算全息圖采用DMD進行光電再現(xiàn)得到了高質(zhì)量的三維物體再現(xiàn)圖像。

1 原 理

1.1 主菲涅爾波帶法

若采用平面波垂直照射，對于給定衍射距離上的所有采樣物點，它們完整的菲涅爾衍射波帶都具有相同的衍射圖樣，只是菲涅爾波帶的中心位置不同，根據(jù)這一特性，主菲涅爾波帶法只需計算其中一個點的菲涅爾衍射波帶，其他采樣點的菲涅爾波帶可以通過平移操作獲得，這個需要計算的點稱之為主點，一般取物平面中央位置的采樣點，主點的全息圖則稱之為主菲涅爾波帶，所有采樣點的菲涅爾波帶疊加得到全息圖。

在滿足奈奎斯特采樣定理的前提下，主菲涅爾波帶法物平面像素間隔[Δx，Δy]和接收面像素間隔[Δξ，Δη]關(guān)系另外還滿足：

[Δx≥λzMHΔξ，Δy≥λzNHΔη] （1）

式中，[λ]為光源波長；[MH×NH]為接收面像素數(shù)目；[z]為垂直衍射距離。依據(jù)人眼的分辨率，[Δx]和[Δy]同樣也有個上限值，不同的衍射距離有不同的上限值。本文從計算方便出發(fā)，物平面和接收面的像素間隔都選取下限值[27]。

從理論角度出發(fā)，主菲涅爾波帶大小可以任意設(shè)置，假設(shè)主菲涅爾波帶大小與接收面一致，如圖1 所示，全息圖的接收面限制在：

[ξ∈[-ξh，ξh]] （2）

[η∈[-ηh，ηh]] （3）

點[O]和[A]分別位于物平面的中心位置和右上角邊緣位置，分別與衍射面上主菲涅爾波帶中心[O′]和[A′]相對應(yīng)。平移主菲涅爾波帶求[A]點的菲涅爾波帶時，主菲涅爾波帶中心[O′]平移的總長度[d]，其中[x]軸和[y]軸平移長度分別為：

[dξ=ΔxMO2] （4）

[dη=ΔyNO2] （5）

由圖1可見，平移之后，以[A′]為中心的主菲涅爾波帶只有很少一部分信息被接受面接收，而大部分高頻信息都丟失了。為了獲得高質(zhì)量的再現(xiàn)像，主菲涅爾波帶必須設(shè)置的足夠大，才能保證全息圖的信息量，即平移后以[A′]為中心的主菲涅爾波帶恰好能完整覆蓋接收面，設(shè)此時主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸的長度分別為[xf]和[yf]，由幾何關(guān)系可得：

[xf=2（dξ+ξh）] （6）

[yf=2（dη+ηh）] （7）

根據(jù)兩平面間采樣間隔關(guān)系，將距離換算成像素數(shù)目，主菲涅爾波帶的像素數(shù)目最小應(yīng)滿足：

[M×N=λzMHΔξ2MO+MH×λzNHΔη2NO+NH] （8）

式中，[M]和[N]的值通常不是整數(shù)，常取比其值大的最小整數(shù)。

圖1 主菲涅爾波帶法平移原理圖

1.2 改進算法

在主菲涅爾波帶法的基礎(chǔ)上，利用分離變量原理做了相應(yīng)改進，基本思路是利用主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸上的獨立分量代替主菲涅爾波帶，以達到減少內(nèi)存空間占用和計算量，提高計算效率的目的。根據(jù)菲涅爾的基本衍射公式，主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸上的獨立分量[x]和[y]的離散形式分別滿足以下公式：

[x=expjk[（m-M2-1）Δξ]22z] （9）

[y=expjk[（n-N2-1）Δη]22z] （10）

[C=exp（jkz）jλz] （11）

式中：[m∈[1，M]]；[n∈[1，N]]的正整數(shù)。

改進算法的基本思路如圖2所示。按上述公式計算得到主菲涅爾波帶的獨立分量[x]和[y]，將平移操作的對象從主菲涅爾波帶轉(zhuǎn)換為[x]和[y]，[ξ]軸，[η]軸上的接收窗口分別限制在[ξ∈[-ξh，ξh]]和[η∈[-ηh，ηh]]以匹配顯示器件的分辨率，按坐標相對位置平移得到其他采樣點在[ξ]軸獨立分量[MH×1]的獨立分量[xn]和[η]軸[1×NH]的獨立分量[yn]，通過矩陣乘法即可得到每個采樣點的菲涅爾波帶，疊加組合成全息圖。

計算模擬運算中，以雙精度類型將[M×N]的主菲涅爾波帶保存到內(nèi)存中，需要內(nèi)存連續(xù)空間[size=8MN/1 0243]GB，改進的算法以獨立分量x和y代替主菲涅爾波帶，此過程僅需要消耗內(nèi)存連續(xù)空間[size′=8（M+N）1 0243] GB，與未改進相比，減少了內(nèi)存占用空間[Δsize=8（MN-M-N）1 0243] GB，共少計算了[（MN-M-N）]個元素的值。當實驗條件確定時，改進前后內(nèi)存占用空間與衍射距離的關(guān)系如圖3所示。由圖3可知，衍射距離越遠，改進后的算法在內(nèi)存占用和計算量上越有優(yōu)勢。

圖3 改進前后內(nèi)存占用空間對比

2 實 驗

2.1 計算全息圖

國際象棋中的“國王”、“皇后”和全息圖的位置關(guān)系如圖4（a）所示，“皇后”和“國王”分別位于全息圖[0.3 m]處和[0.5 m]處，共有12 994個采樣物點。實驗中采用[532 nm]的半導體綠色激光器作為光源，計算像素數(shù)目為[1 024×768]的全息圖，以匹配DMD的分辨率。設(shè)定原始物圖大小為[47 mm（H）×47 mm（V）]，像素數(shù)目為[512×512]，接受面像素數(shù)數(shù)目為[1 024×768]，像素間隔為[3.45 μm（H）×3.45 μm（V）]。

根據(jù)公式（8）計算[0.3 m]處的主菲涅爾波帶，滿足要求的主菲涅爾波帶的像素數(shù)為[28 672×21 504]，以雙精度類型存儲，[M×N]的主菲涅爾波帶需要[4.59 GB]的內(nèi)存連續(xù)空間，受限于實驗室電腦（3 GB內(nèi)存）內(nèi)存空間的限制，無法將如此龐大的單個矩陣數(shù)組存放到內(nèi)存中，故未改進的主菲涅爾波帶法的程序無法順利模擬，而改進后的算法，[28 672×1]的獨立分量[x]和[1×21 504]獨立分量[y]僅占用[0.383 MB]的內(nèi)存連續(xù)空間，完全滿足運行環(huán)境。改進后算法用時150 s得到如圖4（b）所示的全息圖，并進行了DMD光電再現(xiàn)實驗。

圖4 原始物圖和計算全息圖

2.2 DMD光電再現(xiàn)

DMD再現(xiàn)實驗采用如圖5所示的光路，對圖4（b）的全息圖進行了再現(xiàn)，圖中采用532 nm的半導體綠色激光器，實驗采用的DMD分辨率為1 024（H） ×768 （V），單個微鏡的尺寸為[10.8 μm（H）×10.8 μm（V）]，鏡面之間的間隙為[1 μm]。激光經(jīng)擴束準直后，照射到DMD上，全息圖通過計算機加載到DMD上，分別在離DMD距離[21?23]為3.5 m和5.85 m處獲得如圖6所示的再現(xiàn)像。

當接收屏與DMD相距3.5 m時，皇后的像清晰可見而國王模糊不清，如圖6（a）所示；當相距5.85 m時，遠處的國王像清晰可見而近處的皇后模糊不清，如圖6（b）所示，不同衍射距離得到相應(yīng)位置物體的清晰再現(xiàn)像。

Laser：532 nm的半導體綠色激光器；BE：擴束準直裝置；

DMD：數(shù)字微鏡器件； Camera：數(shù)碼相機

圖5 DMD全息顯示系統(tǒng)

圖6 DMD光電再現(xiàn)

3 結(jié) 語

本文對主菲涅爾波帶法進行改進，將二維全息圖信息變換到一維空間分別進行運算合成以提高計算效率，依據(jù)再現(xiàn)器件要求進行尺寸匹配，得到適合的計算全息圖。實驗結(jié)果表明：本文方法具有快速高效生成三維物體全息圖的優(yōu)點，再現(xiàn)圖像質(zhì)量較高，對于三維物體動態(tài)顯示具有很好的應(yīng)用前景。

注：本文通訊作者為顧濟華。

參考文獻

[1] SON J Y， JAVIDI B， KWACK K D. Methods for displaying three dimensional images [J] . IEEE， 2006， 94（3） ： 502?523.

[2] PASTOOR S， W?PKING M. 3?D displays： A review of current technologies [J]. Displays， 1997， 17（2）： 100?110.

[3] 姜太平，沈春林，譚皓.真三維立體顯示技術(shù)[J].中國圖象圖形學報，2003（4）：361? 366.

[4] 李克彬，李世其.3D顯示技術(shù)的最新研究進展[J].計算機工程， 2003，29（12）：3?4.

[5] 田豐，廖薇，劉錦高.基于 DLP 的自由立體顯示系統(tǒng)構(gòu)建[J].電視技術(shù)，2010（3）：31?34.

[6] 于瀛潔，蔡明義，張之江.柱透鏡光柵自由立體顯示中幾何參數(shù)間關(guān)系分析[J].光電子技術(shù)，2010，30（1）：10?15.

[7] 黃濤，朱秋東，王涌天，等.立體顯示中的垂軸放大率[J].光子學報，2010，39（1）：116?118.

[8] 周磊，陶宇虹，王瓊?cè)A，等.立體顯示用柱面透鏡光柵的設(shè)計[J].光子學報，2009，38（1）：30?33.

[9] KLEINBERGER P， KLEINBERGER I. Systems for three?dimensional viewing and projection： U.S， 6252707 [P]. 2001?06?26.

[10] EZRA D， WOODGATE G J， OMAR B A， et al. New autostereoscopic display system [C]// IS&T/SPIE's Symposium on Electronic Imaging： Science & Technology. [S.l.]： International Society for Optics and Photonics， 1995： 31?40.

[11] PASTOOR S， LIU J， RENAULT S. An experimental multimedia system allowing 3?D visualization and eye?controlled interaction without user?worn devices [J]. IEEE Transactions on Multimedia， 1999， 1（1）： 41?52.

[12] SANG X， FAN F C， JIANG C C， et al. Demonstration of a large?size real?time full?color three?dimensional display [J]. Optics Letters， 2009， 34（24）： 3803?3805.

[13] 曾吉勇.折反射全景立體成像[D].成都：四川大學，2003.

[14] 徐韡，劉向東，劉旭，等.基于 3DS MAX 信息源的體三維顯示技術(shù)[J].浙江大學學報：工學版，2006，39（11）：1723?1726.

[15] 邢建芳，龔華軍，沈春林，等.基于數(shù)字微鏡和旋轉(zhuǎn)掃描技術(shù)的體三維顯示器[J].光電子·激光，2008，19（8）：1011?1015.

[16] 李俊昌.彩色數(shù)字全息波前重建算法概論[J].中國激光， 2011，38（5）：1?8.

[17] 楊上供，杜旭日，陳海云，等.計算機與光學方法相結(jié)合的彩色彩虹全息術(shù)[J].光電子·激光，2009，20（1）：471?474.

[18] SAKAMOTO Y， AOYAMA T， AOKI Y. Volume rendering for computer generated holograms [C]// 19th Congress of the International Commission for Optics： Optics for the Quality of Life. International Society for Optics and Photonics. [S.l.]： [s.n.]， 2003： 556?557.

[19] WANG H， LI Y， JIN H， et al. Three?dimensional visualization of shape measurement data based on a computer generated hologram [J]. Journal of Optics A： Pure and Applied Optics， 2003， 5（5）： S195.

[20] WATERS J P. Holographic image synthesis utilizing theoretical methods [J]. Applied physics Letters， 2004， 9（11）： 405?407.

[21] LESEBERG D. Computer?generated three?dimensional image holograms [J]. Applied optics， 1992， 31（2）： 223?229.

[22] 張曉潔，劉旭，陳曉西.利用菲涅爾波帶法計算三維全息[J].光電工程，2004，31（12）：58?60.

[23] ZHANG X， LIU X， CHEN X. Computer?generated holograms for 3D objects using the Fresnel zone plate [C]// Photonics Asia 2004. [S.l.]： International Society for Optics and Photonics， 2005： 109?115.

[24] 陳曉西，劉旭，林遠芳，等.三維物體的計算全息的快速算法[J].浙江大學學報：工學版，2009，43（1）：54?56.

[25] 李勇，許富洋，金洪震，等.一種菲涅爾全息圖的快速算法[J].光子學報，2010，39（3）：529?531.

（上接第115頁）

[26] 陳慧蓉，付勝豪，王元慶，等.一種計算機制全息圖快速運算算法[J].計算機工程與應(yīng)用，2013，49（18）：142?144.

[27] 張曉潔.基于LCD空間光調(diào)制器全息顯示的若干問題研究[D].杭州：浙江大學，2007.

[28] 李晨.基于DMD的3D數(shù)字全息顯示系統(tǒng)研究[D].蘇州：蘇州大學，2012.

[29] 高燕.DMD數(shù)字全息及彩色數(shù)字全息技術(shù)的研究[D].蘇州：蘇州大學，2013.

[30] KREIS T， ASWENDT P， HOFLING R. Hologram reconstruction using a digital micromirror device [J]. Optical Engineering， 2001， 40（6）： 926?933.

[19] WANG H， LI Y， JIN H， et al. Three?dimensional visualization of shape measurement data based on a computer generated hologram [J]. Journal of Optics A： Pure and Applied Optics， 2003， 5（5）： S195.

[20] WATERS J P. Holographic image synthesis utilizing theoretical methods [J]. Applied physics Letters， 2004， 9（11）： 405?407.

[21] LESEBERG D. Computer?generated three?dimensional image holograms [J]. Applied optics， 1992， 31（2）： 223?229.

[22] 張曉潔，劉旭，陳曉西.利用菲涅爾波帶法計算三維全息[J].光電工程，2004，31（12）：58?60.

[23] ZHANG X， LIU X， CHEN X. Computer?generated holograms for 3D objects using the Fresnel zone plate [C]// Photonics Asia 2004. [S.l.]： International Society for Optics and Photonics， 2005： 109?115.

[24] 陳曉西，劉旭，林遠芳，等.三維物體的計算全息的快速算法[J].浙江大學學報：工學版，2009，43（1）：54?56.

[25] 李勇，許富洋，金洪震，等.一種菲涅爾全息圖的快速算法[J].光子學報，2010，39（3）：529?531.

（上接第115頁）

[26] 陳慧蓉，付勝豪，王元慶，等.一種計算機制全息圖快速運算算法[J].計算機工程與應(yīng)用，2013，49（18）：142?144.

[27] 張曉潔.基于LCD空間光調(diào)制器全息顯示的若干問題研究[D].杭州：浙江大學，2007.

[28] 李晨.基于DMD的3D數(shù)字全息顯示系統(tǒng)研究[D].蘇州：蘇州大學，2012.

[29] 高燕.DMD數(shù)字全息及彩色數(shù)字全息技術(shù)的研究[D].蘇州：蘇州大學，2013.

[30] KREIS T， ASWENDT P， HOFLING R. Hologram reconstruction using a digital micromirror device [J]. Optical Engineering， 2001， 40（6）： 926?933.

[19] WANG H， LI Y， JIN H， et al. Three?dimensional visualization of shape measurement data based on a computer generated hologram [J]. Journal of Optics A： Pure and Applied Optics， 2003， 5（5）： S195.

[20] WATERS J P. Holographic image synthesis utilizing theoretical methods [J]. Applied physics Letters， 2004， 9（11）： 405?407.

[21] LESEBERG D. Computer?generated three?dimensional image holograms [J]. Applied optics， 1992， 31（2）： 223?229.

[22] 張曉潔，劉旭，陳曉西.利用菲涅爾波帶法計算三維全息[J].光電工程，2004，31（12）：58?60.

[23] ZHANG X， LIU X， CHEN X. Computer?generated holograms for 3D objects using the Fresnel zone plate [C]// Photonics Asia 2004. [S.l.]： International Society for Optics and Photonics， 2005： 109?115.

[24] 陳曉西，劉旭，林遠芳，等.三維物體的計算全息的快速算法[J].浙江大學學報：工學版，2009，43（1）：54?56.

[25] 李勇，許富洋，金洪震，等.一種菲涅爾全息圖的快速算法[J].光子學報，2010，39（3）：529?531.

（上接第115頁）

[26] 陳慧蓉，付勝豪，王元慶，等.一種計算機制全息圖快速運算算法[J].計算機工程與應(yīng)用，2013，49（18）：142?144.

[27] 張曉潔.基于LCD空間光調(diào)制器全息顯示的若干問題研究[D].杭州：浙江大學，2007.

[28] 李晨.基于DMD的3D數(shù)字全息顯示系統(tǒng)研究[D].蘇州：蘇州大學，2012.

[29] 高燕.DMD數(shù)字全息及彩色數(shù)字全息技術(shù)的研究[D].蘇州：蘇州大學，2013.

[30] KREIS T， ASWENDT P， HOFLING R. Hologram reconstruction using a digital micromirror device [J]. Optical Engineering， 2001， 40（6）： 926?933.