廣義Ekeland變分原理的推廣

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

給出了經(jīng)典Ekeland變分原理的一個(gè)推廣,完善并改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的證明,并把它推廣到了擬度量空間上.

Ekeland變分原理；近似極小點(diǎn)；擬度量；序集通用準(zhǔn)則

1 研究背景

1974年，Ekeland在文獻(xiàn)［1］中首次提出了經(jīng)典的Ekeland變分原理，即

設(shè)（X，d）是完備度量空間，f：X→R∪｛+∞｝為下半連續(xù)、下有界的真函數(shù)，設(shè)ε＞0，存在u∈X滿足f（u）≤infχ∈Xf（χ）+ε.則存在ν∈X，使得

自Ekeland變分原理理論提出以來，在優(yōu)化等領(lǐng)域中得到了進(jìn)一步發(fā)展，眾多學(xué)者對Ekeland變分原理理論進(jìn)行了深入的研究，在一定條件下，得出Ekeland變分原理的一些等價(jià)形式及其應(yīng)用，并對Ekeland變分原理從不同方面、不同角度進(jìn)行了推廣［2-5］.

在文獻(xiàn)［2］中，Z.L.Wu在完備度量空間中利用Ekeland變分原理證明了Takahashiε-條件的等價(jià)定理，以及在弱尖極小及不動(dòng)點(diǎn)等中的應(yīng)用.在文獻(xiàn)［5］中，Yousuke把Ekeland變分原理推廣到了向量優(yōu)化.文獻(xiàn)［8］中，Ansari給出了向量形式的Ekeland變分原理，并給出了其在向量均衡問題及不動(dòng)點(diǎn)中的應(yīng)用.而文獻(xiàn)［4］則把函數(shù)f在X上下有界的條件弱化為f在X的每個(gè)有界子集上有下界.而此處則完善并改進(jìn)了文獻(xiàn)［4］中定理1的證明并把它推廣到了完備擬度量空間上.

眾所周知，文獻(xiàn)［6］中的經(jīng)典序集通用準(zhǔn)則蘊(yùn)含了Ekeland變分原理.而此處將用文獻(xiàn)［7］中的廣義序集通用準(zhǔn)則來證明此處的主要結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

定義1［9］設(shè)X為非空集合，映射d：X×X→R+，使得對任意的χ，y，z∈X，滿足（1）d（χ，y）≥0.

（2）d（χ，y）=0當(dāng)且僅當(dāng)χ=y.

（3）d（χ，y）≤d（χ，z）+d（z，y）.

則稱映射d是X上的擬度量，（X，d）稱為擬度量空間.

引理1（廣義序集通用準(zhǔn)則）［7］設(shè)X是一個(gè)偏序集并且是一個(gè)Housdorff拓?fù)淇臻g，同時(shí)滿足

（1）?χ∈X，｛y∈X l y＞χ｝是序列閉集.

（2）若χ1＜χ2＜…＜χn＜…，則｛χn｝有收斂子列.

（3）存在Ψ：X→R滿足χ∈X，y∈X，χ＜y，χ≠y?Ψ（χ）＜Ψ（y）.

則X有極大元.

3 主要結(jié)果

由引理1可以推出下面的定理，并且改進(jìn)并完善了文獻(xiàn)［4］中的證明.

定理1［4］設(shè)（X，d）是一個(gè)完備擬度量空間，設(shè)f：X→R∪｛+∞｝為下半連續(xù)，并且在任意有界集上下有界的真函數(shù).若存在χ0∈X，滿足

［1］EKELAND I.On the Variational Principle［J］.JMath Anal Appl，1974（47）：324-353

［2］WU Z L.Equivalent Formulations of Ekeland’s Variational Principle［J］.JNonliear Analysis，2003（53）：609-615

［3］SUZUKIT.The Strong Ekeland Variational Principle［J］.JMath Anal Appl，2006（320）：784-794

［4］SUN JL.A Generalization of Ekeland Variational Principle and Its Applications［J］.Journal of NanJing Normal University：Natural Science，2004，27（4）：705-707

［5］ARAYA Y.Ekeland's Variational Princip le and Its Equivalent Theorems in Vector Optimization［J］.JMath Anal Appl，2008（346）：9-16

［6］BREZISH，BROWER F E.A General Principle On Ordered Sets in Nonlinear Functional Analysis［J］.JSys Sciand Math Scis，1976（3）：355-364

［7］SUN JX.A Generalization of General Principle On Ordered Sets in Nonlinear Functional Analysis［J］.JSys Sciand Math Scis，1990（3）：228-232

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［9］AL-HOMIDAN S，ANSARI Q H，YAO J C.Some Generalizations of Ekeland-type Variational Principle with Applications to Equilibrium Problems and Fixed Point Theory［J］.JNonliear Analysis，2008（69）：126-139

廣義Ekeland變分原理的推廣

周 麗

Generalized Ekeland Variational Principle

ZHOU Li

（School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

This paper gives a generalization of classical Ekeland Variational Principle，perfects and improves the proofs of the existed literatures and extends it into quasi-metric space.

Ekeland Variational Principle；approximately minimal point；quasi-metric；general principle on ordered sets

李翠薇

O177.4

A

1672-058X(2014)02-0019-04

2013-06-19;

2013-09-16.

周麗（1988-），女，四川儀隴縣人，碩士研究生，從事向量優(yōu)化及應(yīng)用研究.

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