一個特殊三維混沌系統(tǒng)的退化Hopf分岔

朱道宇

(貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽550025)

1994年，Sprott在文獻［1］中介紹了幾類形式簡單卻能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的三維自治微分系統(tǒng)，其中一類的形式如下:

這里的(x，y，z)∈R3是狀態(tài)變量，參數(shù) a∈R，c＞0，“·”表示狀態(tài)變量關(guān)于時間 t的導(dǎo)數(shù).文獻［1］只簡單陳述了當(dāng)a=0和c=4時系統(tǒng)存在混沌吸引子，直到2012年，Wang等在文獻［2］中利用最大Lyapunov指數(shù)和時間序列分析等數(shù)值方法驗證了系統(tǒng)(1)當(dāng)c=4且a取某些特定值時有一個混沌吸引子和穩(wěn)定平衡點共存.事實上，隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)(1)呈現(xiàn)出非常豐富的動力學(xué)行為，例如當(dāng)a=0.01且c=4時有一個穩(wěn)定的平衡點、一個穩(wěn)定的極限環(huán)和一個混沌吸引子共存(見文獻［3］).系統(tǒng)(1)可以看作是文獻［1－3］中所討論的系統(tǒng)的一個2－參數(shù)開折，本文將通過討論非雙曲平衡點的Hopf分岔和退化Hopf分岔，從理論上揭示三種不同類型的吸引子共存的內(nèi)在機理.

1 平衡點及其穩(wěn)定性

容易算得對任意的a∈R和c＞0，系統(tǒng)(1)有唯一的平衡點:E0=(1/c，1/c2，－ac2).

命題1 設(shè)c＞0，關(guān)于系統(tǒng)(1)的平衡點E0有下面的結(jié)論:

(i)當(dāng)a＜0時，平衡點E0是雙曲且不穩(wěn)定的;

(ii)當(dāng)a＞0時，平衡點E0是雙曲且局部漸近穩(wěn)定的;

(iii)當(dāng)a=a0=0時，平衡點E0是非雙曲的，它的穩(wěn)定性依賴參數(shù)c的取值.

證明 系統(tǒng)(1)在平衡點E0處的Jacobi矩陣的特征多項式為:

p(λ)= λ3+ λ2+(1/c+2ac)λ +1/c.

因為c＞0，所以當(dāng)a＞0時p(λ)的系數(shù)全為正，由Routh－Hurwitz準(zhǔn)則知，p(λ)的零點全部具有負實部，因而E0是局部漸近穩(wěn)定的.同樣由Routh－Hurwitz準(zhǔn)則知，當(dāng)a＜0時E0是不穩(wěn)定的.當(dāng)a=a0=0時，在平衡點 E0處 Jacobi矩陣的特征值為:λ1= －1，λ2，3= ±iω0，其中，可見E0是非雙曲的.

由命題1的結(jié)論(iii)知，平衡點E0的Hopf曲線是集合:Γ={(a，c)∈R×(0，∞):a=a0=0}.為了研究當(dāng)c＞0且a=a0=0時非雙曲平衡點E0的穩(wěn)定性，下面將利用文獻［4］中介紹的投影法來計算Hopf分岔的Lyapunov系數(shù).我們知道，在微分動力系統(tǒng)的Hopf分岔中，隨著參數(shù)的變化，平衡點的穩(wěn)定性將發(fā)生改變，并隨之有一個極限環(huán)產(chǎn)生(或消失)，極限環(huán)的穩(wěn)定性可利用第一Lyapunov系數(shù)的符號來判斷.而在一個雙參數(shù)的微分系統(tǒng)中可能發(fā)生退化Hopf分岔，此時第一Lyapunov系數(shù)為零，需利用第二Lyapunov系數(shù)來判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性.對某些恰當(dāng)?shù)膮?shù)值，系統(tǒng)還可以產(chǎn)生兩個極限環(huán)，其中一個穩(wěn)定而另一個不穩(wěn)定，在這種情況下一個穩(wěn)定的平衡點和一個穩(wěn)定的極限環(huán)共存.

2 主要結(jié)果

由式(2)給出的函數(shù)f在點E0處的Jacobi矩陣為:

下面關(guān)于第一和第二Lyapunov系數(shù)的計算將全部沿用文獻［4－5］中的記號.與函數(shù)f對應(yīng)的各個多重線性對稱函數(shù)依次為: B(X，Y)=(x2y3+x3y2，2x1y1，0)，C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).

和:

定理1 系統(tǒng)(1)在平衡點E0處的第一Lyapunov系數(shù)為

證明 因為函數(shù) C(X，Y，Z)=(0，0，0)，所以:G21=〈p，B(q－，h20)+2B(q，h11)〉，其中復(fù)向量h11和h20的定義和計算方法見文獻［4］中第27頁.通過計算得到:

可見，當(dāng)0＜c＜c1或 c＞c2時 l1(a0，c)＞0;當(dāng) c1＜c＜c2時 l1(a0，c)＜0.

為了驗證Hopf分岔的橫截條件，把系統(tǒng)(1)看作僅依賴于參數(shù)a，則在臨界值a=a0=0處的復(fù)特征值的實部 η =η(a)滿足因而在Hopf點處的橫截條件成立.證畢.

系統(tǒng)(1)的分支圖如圖1所示，其中Mi和Ni(i=1，2，…，6)分別是參數(shù)平面(a，c)上點(0，c1)和(0，c2)附近的典型點，曲線 C1和C2對應(yīng)半穩(wěn)定極限環(huán).點Mi和Ni(i=1，2，…，6)處的限制在中心流形上的相圖如圖2所示，其中紅色表示穩(wěn)定，藍色表示不穩(wěn)定，綠色表示半穩(wěn)定.

當(dāng)a=a0=0且c=c1或c=c2時，第一Lyapunov系數(shù)等于零，此時系統(tǒng)(1)發(fā)生退化Hopf分岔，需利用第二Lyapunov系數(shù)的符號來判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性.

定理2 當(dāng)a=a0=0且c=c1時，系統(tǒng)(1)的第二Lyapunov系數(shù)為:l2(a0，c1)= －

當(dāng)a=a0=0且c=c2時，系統(tǒng)(1)的第二Lyapunov系數(shù)為:

圖1 系統(tǒng)(1)的分支圖Fig.1 Bifurcation diagram of system(1)

證明 沿用文獻［4］中的記號及其相應(yīng)的計算式，由:C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).可以算得:

其中復(fù)向量h11的值已在定理1的證明中給出，h21，h30，h22和h31的計算方法與h11類似，由于其表達式過于冗長，此處不一一列出.第二Lyapunov系數(shù)的定義式為:

將式(4)和式(5)代入式(6)中，得:l2(a0，c1)=＞0.

可見，此時系統(tǒng)(1)的分岔圖與圖1和圖2所示的分岔圖拓撲等價.由定理2可知，在參數(shù)平面(a，c)上存在一個區(qū)域S，當(dāng)參數(shù)在此區(qū)域內(nèi)取值時系統(tǒng)(1)有一個穩(wěn)定的極限環(huán)和一個穩(wěn)定的平衡點共存，文獻［3］中系統(tǒng)對應(yīng)的參數(shù)值a=0.01和c=4便屬于這個區(qū)域.

圖2 系統(tǒng)(1)限制在中心流行上的流的相圖Fig.2 Phase portraits of system(1)for the flow restricted tothe center manifold

［1］ Sprott J C.Some simple chaotic flow［J］.Physical Review E，1994，50(2):647 －650.

［2］ Wang X，Chen G.A chaotic system with only one stable equilibrium［J］.Commun Nonlin Sci Numer Simulat，2012，17:1264 －1272.

［3］ Sprott J C，Wang X，Chen G.Coexistence of point，periodic and strange attractors［J］.Int J Bifurcation and Chaos，2013，23(5):1350093 －1 －5.

［4］ Kuznetsov Y A.Elements of Applied Bifurcation Theory，second edition［M］.New York:Springer－Verlag，1997:91－104.

［5］ Sotomayor J，Mello L F，Braga D C.Bifurcation analysis of the Watt governor system［J］.Comp Appl Math，2007，26:19 －44.