等腰三角形一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用

周衛(wèi)國(guó)

等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高是由等腰三角形定義導(dǎo)出的一個(gè)重要性質(zhì)，它的證明方法包括截長(zhǎng)補(bǔ)短法和面積法.本文就這個(gè)性質(zhì)的證明及應(yīng)用略談淺見.

等腰三角形是一種特殊的三角形，因此它具備一般三角形不具備的特殊性質(zhì)，譬如等腰三角形最典型的一個(gè)特性，就是在這個(gè)三角形中有兩條邊相等.我們運(yùn)用等腰三角形的這個(gè)特性可以進(jìn)一步研究探討，從而得到如下一個(gè)性質(zhì).

一、性質(zhì)

等[WTBX]腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

三、性質(zhì)的兩個(gè)推論

推論1：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

推論2：等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于一邊上的高.

上述兩結(jié)論的證明仍然可以用上面的面積法證明，這里略去證明過(guò)程.

四、性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)于等腰三角形的這個(gè)性質(zhì)和推論，在解決某些填空或選擇題是可以直接應(yīng)用，在解決某些解答題時(shí)需要先進(jìn)行性質(zhì)的證明.

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可知△AOD是等腰三角形，所以本題即求其底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和，結(jié)合原始結(jié)論知這里的EG+EH就等于Rt△ADC中AC邊上的高，由此可以迅速得到本題的答案是2.4.

應(yīng)用2：如圖3，在正方形ABCD的對(duì)角線BD上取BE=BC，連接CE，P是CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC，PR⊥BD，Q、R是垂足.求證：PQ+PR=12BD.

分析：本題初次入手感覺(jué)很困難，但如果根據(jù)BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，因?yàn)镻Q⊥BC，PR⊥BD，則PQ+PR即為底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和，結(jié)合性質(zhì)可以知道PQ+PR=CO，而CO又是等腰直角△BCD斜邊上的高，所以CO=12BD，由此PQ+PR=12BD得證.

五、反思

教者在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的研究，充分挖掘基本圖形的性質(zhì)，發(fā)揮習(xí)題功能，深入剖析，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)相關(guān)重要結(jié)論，為解決其他問(wèn)題提供思路，找到解決問(wèn)題的突破口.作為教者要不斷給學(xué)生提供創(chuàng)造性因素，開展嘗試和探究，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造”的過(guò)程，這樣才能有利于發(fā)展和提高學(xué)生的解題能力及觸類旁通的能力.

[南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校（211102） ]