一種基于主動視覺的非線性攝像機(jī)自標(biāo)定

禹旺勛 YU Wang-xun；王愛菊 WANG Ai-ju

（①昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院工學(xué)系，昆明 650106；②云南師范大學(xué)商學(xué)院會計(jì)學(xué)院，昆明 650106）

（①Department of Engineering，Oxbridge College，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650106，China；②Department of Accounting，Yunnan Normal University Bussiness School，Kunming 650106，China）

0 引言

攝像機(jī)標(biāo)定是從二維圖像獲取三維信息的必不可少的步驟。空間物體表面某點(diǎn)的三維幾何位置與其在圖像中對應(yīng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系由幾何模型決定，通過試驗(yàn)和計(jì)算獲得攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)的過程稱為攝像機(jī)標(biāo)定。傳統(tǒng)的標(biāo)定方法是通過結(jié)構(gòu)的物體（如標(biāo)定塊，標(biāo)定板等）在圖像中的投影計(jì)算攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)。但是這種方法必須要有標(biāo)定物，在很多實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。近年來，攝像機(jī)自標(biāo)定技術(shù)以其應(yīng)用的靈活性得到了很多研究者的重視，但自標(biāo)定方法最大的不足是魯棒性差。這主要是由于自標(biāo)定方法不論何種形式出現(xiàn)，均是基于絕對二次曲線（absolute conic）和絕對二次曲面（absolute quadric）的方法，需要求解復(fù)雜的多元非線性方程來計(jì)算攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)，從而導(dǎo)致運(yùn)算速度和結(jié)果的精度都不理想。而基于主動視覺的攝像機(jī)自標(biāo)定可以克服這個缺點(diǎn)，它是通過控制攝像機(jī)做某些特定的運(yùn)動來獲取圖像從而標(biāo)定攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)。一般來說，攝像機(jī)的模型參數(shù)可以線性的求解，因而算法的魯棒性較高。但是線性模型一般不能準(zhǔn)確的描述真實(shí)攝像機(jī)的幾何成像關(guān)系，因此對基于主動視覺的非線性攝像機(jī)自標(biāo)定的研究具有十分重要的意義。因此，本文提出一種基于主動視覺的非線性攝像機(jī)自標(biāo)定方法。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 線性攝像機(jī)模型 攝像機(jī)的線性模型為針孔模型?？臻g點(diǎn)的物理坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)之間關(guān)系如下：

設(shè)空間中某一點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別是（Xw,Yw,Zw）T與（Xc,Yc,Zc）T，存在如下關(guān)系：

空間任一點(diǎn)P在圖像上的投影位置p，由透視投影得到如下關(guān)系式：

用齊次坐標(biāo)與矩陣表示上述透視投影關(guān)系：

將式（1）與（2）代入（4）式，得到以世界坐標(biāo)系表示的P點(diǎn)坐標(biāo)與其投影點(diǎn)p的坐標(biāo)(u,v)的關(guān)系：

其中，（u0,v0）為主點(diǎn)坐標(biāo)；α=f/dx為圖像軸的尺度因子；β=f/dy為圖像軸的尺度因子；s=s′f為畸變因子；H 為3×4矩陣，稱為投影矩陣；矩陣K稱為內(nèi)部參數(shù)矩陣；[R t]攝像機(jī)的外部參數(shù)矩陣。

1.2 非線性攝像機(jī)模型 攝像機(jī)的非線性模型，是指成像過程不服從小孔模型。攝像機(jī)的非線性模型可使用下述公式來描述：

其中r2=u2+v2，式中的k1,k2,k3,k4稱為非線性畸變參數(shù)。線性模型參數(shù)的線性內(nèi)參數(shù)α,β,u0,v0,s與非線性模型的非線性內(nèi)參數(shù)k1,k2,k3,k4一起構(gòu)成了攝像機(jī)的所有內(nèi)參數(shù)。

1.3 主點(diǎn)坐標(biāo)的確定 純軸向運(yùn)動是指攝像機(jī)沿光軸方向做平移運(yùn)動，純軸向運(yùn)動特有的性質(zhì)使其能夠應(yīng)用于攝像機(jī)自標(biāo)定中。根據(jù)Ma[4]提出的定理知道，當(dāng)攝像機(jī)作純軸向運(yùn)動時，因?yàn)楣廨S方向就是攝像機(jī)運(yùn)動方向，所以對應(yīng)點(diǎn)連線交點(diǎn)就是運(yùn)動方向與圖像平面的交點(diǎn)，所以對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)就是攝像機(jī)主點(diǎn)。

水平平移運(yùn)動是指攝像機(jī)在作平移運(yùn)動時，平移向量為（Xc,0,Zc）；垂直平移運(yùn)動是指攝像機(jī)作平移運(yùn)動時，平移向量為（0,Yc,Zc）。

設(shè) 空 間內(nèi)任意兩點(diǎn) X1=(Xwl，Ywl，Zwl，1)T，X2=(Xw2，Yw2，Zw2，1)T，對應(yīng)點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)e。X1在攝像機(jī)作水平平移前后通過投影矩陣H1，H2投影到圖像平面上，投影點(diǎn)為m11=H1X1，m12=H2X1同樣可以得到 X2通過投影矩陣 H1，H2投影到圖像平面上的投影點(diǎn)m21,m22。mij表示第i個空間點(diǎn)在第j幅圖像上的投影點(diǎn)。則m11,m12確定了第一幅圖像上關(guān)于X1的對應(yīng)點(diǎn)連線，該直線可以表示為m11×m12。同樣，m21,m22確定了第一幅圖像上關(guān)于X2的對應(yīng)點(diǎn)連線，該直線可以表示為m21×m22。則對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為e=(m11×m12)×(m21×m22)=(a,b,1)，化簡后b的值恰好等于v0。即通過一次水平平移運(yùn)動可以確定主點(diǎn)的v0值。同理可證在攝像機(jī)的畸變因子為零時，通過一次垂直平移運(yùn)動可以確定主點(diǎn)u0的值。

2 非線性內(nèi)參數(shù)自標(biāo)定

2.1 非線性內(nèi)參數(shù)約束 在線性模型下，控制攝像機(jī)作n組兩正交運(yùn)動，每組正交運(yùn)動的FOE點(diǎn)，表示為eij(i=1,…,n;j=1,2)，其中i表示第幾組正交運(yùn)動，j表示該組正交運(yùn)動的第幾次運(yùn)動。如果攝像機(jī)作純平移運(yùn)動，則為攝像機(jī)光心到對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)方向。利用每次運(yùn)動前后由圖像對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)可以計(jì)算出相應(yīng)的eij。

設(shè)已求出eij在圖像平面上的坐標(biāo)為（），則由式（1）和式（3），可以得到eij在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

令 h=s′dy，上式兩邊同除以 f2得

于是，求解非線性內(nèi)參數(shù)問題等價于求解下述優(yōu)化問題

2.2 求解非線性內(nèi)參數(shù)算法 在本文中，將使用變度量法中的DFP技術(shù)來求解非線性最小問題[5]。為了敘述方便，將式（11）的變量改寫為 X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)。

其中，(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)=(α,β,h,u0,v0,k1,k2,k3,k4)為非線性的內(nèi)參數(shù)向量；則式（11）應(yīng)寫為

利用DFP算法對式（12）進(jìn)行求解，從而得出非線性內(nèi)參數(shù)的解。

3 實(shí)驗(yàn)

圖1為用于非線性攝像機(jī)自標(biāo)定的其中的兩組正交運(yùn)動下的圖像，其中十字點(diǎn)被取為圖像間的對應(yīng)點(diǎn)。利用OpenCV中的角點(diǎn)檢測函數(shù)，檢測出一組正交運(yùn)動下的兩幅圖像的點(diǎn)對應(yīng)圖像坐標(biāo)，從而計(jì)算出FOE點(diǎn)，然后根據(jù)文中所述的基于主動視覺的自標(biāo)定方法，計(jì)算出的非線性的攝像機(jī)所有內(nèi)參數(shù)如表1所示。

表1

圖1 正交運(yùn)動下的兩組圖像

4 結(jié)論

由于線性模型攝像機(jī)不能準(zhǔn)確地描述真是攝像機(jī)的幾何成像關(guān)系，因此對非線性模型的攝像機(jī)自標(biāo)定的研究有很重要的意義。文中探討了一種基于主動視覺的非線性攝像機(jī)自標(biāo)定方法，通過真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明文中提出自標(biāo)定方法是可行的，精度較高，有一定的實(shí)用價值。

[1]邱茂林,馬頌德,李毅.計(jì)算機(jī)視覺中攝像機(jī)定標(biāo)綜述[J].自動化學(xué)報，2000,26(1)：47-48.

[2]W.Faig.Calibration of close-range photogrammetry systems:Mathematical formulation.Photogrametric Eng.Remote Sensing,41(12):1479-1486,1975.

[3]馬頌德,張正友.計(jì)算機(jī)視覺-計(jì)算理論與算法基礎(chǔ)[M].北京科學(xué)出版社,1998.

[4]Ma S D.A self-calibration technique for active vision system[J].IEEE Trans on Robotics and Automation,1996,12(1):114-120.

[5]吳福朝.計(jì)算機(jī)視覺中的數(shù)學(xué)方法[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[6]Tsai R Y.An efficient and accurate camera calibration technique for 3D machine vision.In:proc.CV PR’96.364-374.

[7]Hu Zhan-Yi,Wu Fu-Chao.A review on some active vision based camera calibration techniques[J].Chinese Journal of Computer,2002,25(11)：1149-1156.

[8]吳福朝,李華,胡占義.基于主動視覺的攝像機(jī)自標(biāo)定方法的研究[J].自動化學(xué)報，2001,27（6）：736-746.

[9]禹旺勛,王愛菊,劉云濤.基于主動視覺的攝像機(jī)線性自標(biāo)定方法.價值工程，2013，32（8）：258-259.