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    關(guān)于丟番圖方程(px+qy=2z)(200<max{p,q}<300)

    2014-09-30 09:28:50周小娥
    關(guān)鍵詞:取模海南大學(xué)素?cái)?shù)

    周小娥

    (海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南???70228)

    設(shè)a,b,c是正整數(shù),指數(shù)丟番圖方程

    的全部整數(shù)解是丟番圖方程求解中的一個(gè)十分重要的研究課題[1-2].中外學(xué)者對(duì)方程(1)的研究主要集中在2種特殊情形:(1)a,b,c是商高數(shù)組,此時(shí)方程(1)與著名的Jesmanowicz猜想有關(guān);(2)a,b,c取不同素?cái)?shù).

    1958年NAGELL首先給出了max{a,b,c}≤7時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.此后直到1976年國(guó)外數(shù)學(xué)家僅給出了max{a,b,c}≤17時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.1984年孫琦、周小明給出了max{a,b,c}≤19時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.1985年楊曉卓給出了max{a,b,c}≤23時(shí)方程(1)的全部非負(fù)整數(shù)解.上述結(jié)果都是將方程(1)化為一個(gè)個(gè)具體的丟番圖方程進(jìn)而求解得到的,用此方法很難將max{a,b,c}推進(jìn)到100.1986—1990年曹珍富[3-5]把方程(1)化為2個(gè)指數(shù)丟番圖方程

    通過(guò)先對(duì)p,q進(jìn)行一些定性分析,使得求解速度得到很大提高,并得到了29≤max{a,b,c}≤97時(shí)2個(gè)方程的全部非負(fù)整數(shù)解.1991年曹珍富等[6]又給出了當(dāng)100<max{a,b,c}<200時(shí)丟番圖方程px-qy=2z的全部正整數(shù)解.2013年文獻(xiàn)[7]給出了丟番圖方程px-qy=2當(dāng)200<max{a,b,c}<300時(shí)的全部正整數(shù)解,其中p,q為素?cái)?shù).雖然先對(duì)p,q進(jìn)行一些定性分析,可使求解速度得到很大提高,但是在200<max{p,q}<300時(shí),計(jì)算量仍然非常大.若借助計(jì)算機(jī),則計(jì)算時(shí)間將大大減少[8-9].筆者借助計(jì)算機(jī),用初等方法和高等方法的結(jié)果給出200<max{p,q}<300時(shí)方程(3)的全部非負(fù)整數(shù)解.

    1 引理及證明

    為了求出指數(shù)丟番圖方程

    的所有非負(fù)整數(shù)解,由于方程(4)中p,q的對(duì)稱(chēng)性,只需給出方程(4)當(dāng)1<p<q<300時(shí)的所有正整數(shù)解與y=0當(dāng)?shù)姆秦?fù)整數(shù)解.先給出下面2個(gè)引理.

    引理 1 設(shè)(p,q,x,y,z)是方程(4)的任一解,且

    則滿足1≤x0,y0≤36,4≤z0≤39 的所有(p,q,x0,y0,z0)由表1 和表2 給出.

    證明 由于考慮的是方程(4)的正整數(shù)解,則顯然有z≥4.假設(shè)x,y同時(shí)為偶數(shù),則方程(4)可化為

    對(duì)上述方程取模4,得2≡0(mod 4),這不可能.故x,y不可能同時(shí)為偶數(shù).

    設(shè) m≡min{4,z0},n≡min{3,z0}. 則對(duì)于任意的奇素?cái)?shù) a≠3,有

    于是當(dāng) p=3,200<q<300時(shí),有

    當(dāng)3<p<200,200<q<300時(shí),有

    編寫(xiě)了由變量p,q,x0,y0,z0的5重循環(huán)構(gòu)成的簡(jiǎn)單UBASIC程序,分別在

    的范圍內(nèi),對(duì)式(5)和(6)在計(jì)算機(jī)上檢驗(yàn)得到由表1和表2給出的(p,q,x0,y0,z0).其中表1中的(p,q,x0,y0,z0)是方程(4)滿足1 <p<q<300 的正整數(shù)解,表2 中的(p,q,x0,y0,z0)不是方程(4)的解,稱(chēng)之為方程(4)的非解的同余解.證畢.

    表1 方程(4)滿足1<p<q<300的正整數(shù)解

    表2 方程(4)滿足1<p<q<300的非解的同余解

    引理2[10]對(duì)給定的不同奇素?cái)?shù)p,q,方程(3)至多有一組正整數(shù)解.

    2 定理及證明

    定理1 方程(4)的滿足1<p<q<300的全部正整數(shù)解(p,q,x0,y0,z0)由表1給出.

    證明 假設(shè)(p,q,x,y,z)是方程(4)的解,由引理 1,令

    則方程(4)可化為

    分2種情形來(lái)證明.

    (1)(p,q,x0,y0,z0)為表 1 中任一組數(shù). 此時(shí),由引理 2 有 i=j=k=0.

    (2)(p,q,x0,y0,z0)為表2 中任一組數(shù). 依次用 s[t](1≤t≤6)表示奇素?cái)?shù)17,97,193,257,577,769,再分別用 p[t],q[t],r[t]表示 p36,q36,236對(duì)模 s[t]的最小正剩余,依次對(duì)式(7)取模 s[t]可得

    由費(fèi)馬小定理知,對(duì)奇素?cái)?shù) p,(a,p)=1 時(shí) ap-1≡1(mod p). 因?yàn)?57 -1=4·64,769 -1=3·4·64,于是 p36,q36對(duì)模17,97,193,257,577,769 的次數(shù)均不超過(guò) 64. 因此,只要在 1≤i,j,k≤64 的范圍內(nèi),對(duì)模s[1],…,模 s[6]檢驗(yàn)同余式(8)是否均成立. 對(duì)表2 中任一組數(shù)(p,q,x0,y0,z0),經(jīng)計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的(i,j,k)存在 . 由此可知相應(yīng)的(p,q,x,y,z)不是方程(4)的解 .

    綜合(1)與(2),定理1得證.

    注:UBASIC是適合數(shù)論研究的一種軟件.UBASIC可計(jì)算的整數(shù)范圍從-65 536542到65 536542,因而同余式(5),(6)和(8)可以方便的在計(jì)算機(jī)上得到檢驗(yàn).

    定理2 當(dāng)y=0時(shí),方程(4)的非負(fù)整數(shù)解除了以下5種情形外無(wú)其他解

    證明 由題意可知,只需證明當(dāng)x>1時(shí),方程

    無(wú)解.

    假設(shè)x為偶數(shù),則方程(9)可化為(p2)x/2+1=2z.對(duì)方程(9)取模4,得2≡0(mod 4),這不可能,故x為奇數(shù),因此方程(9)可化為

    于是 p+1=2k,2≤k≤z. 由于1 <p<300 且 p為素?cái)?shù),可推出 p{3,7,31,127}.

    當(dāng)p=3時(shí),顯然z>2,對(duì)方程3x+1=2z取模8,得3+1≡0(mod 8),這不可能.

    當(dāng) p=7 時(shí),顯然 z>3,對(duì)方程7x+1=2z取模48,得8≡zz(mod 48),而 zz≡32(mod 48),矛盾.

    當(dāng) p=31 時(shí),顯然 z>5,對(duì)方程 31x+1=2z取模 960,得 32≡2z(mod 960),而 2z≡64,128,256,512(mod 960),矛盾.

    當(dāng) p=127 時(shí),顯然 z>7,對(duì)方程127x+1=2z取模16 128,得 128≡2z(mod 16 128),而 2z≡256,512,1 024,2 048,4 096,8 192(mod 16 128),矛盾. 證畢.

    [1]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

    [2]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2013.

    [3]曹珍富.關(guān)于 Diophantus 方程 ax+by=cz(Ⅱ)[J].科學(xué)通報(bào),1987,32(3):237.

    [4]曹珍富.方程 x2+2m=yn和 Hugh Edgar問(wèn)題[J].科學(xué)通報(bào),1986,31(7):555 -556.

    [5]曹珍富.關(guān)于方程 axm-byn=2[J].科學(xué)通報(bào),1990,35(7):558 -559.

    [6]曹珍富,佟瑞洲,王鎮(zhèn)江.關(guān)于指數(shù)Diophantus方程的一個(gè)猜想[J].自然雜志,1991,14(11):872-873.

    [7]周小娥,鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程 px- qy=2[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,31(2):100 -102,105.

    [8]劉靜,鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程2x+2y+3z11u=3v11w[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(6):723-726.

    [9]陳小燕,鄧謀杰.關(guān)于丟番圖方程1+5x11y+2z5u11v=2w[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,32(1):23-27.

    [10]CAO Zhenfu,CHU C I,SHIU Waichee.The exponential Diophantine equation AX2+BY2= λkZand its applications[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2008,12(5):1015 -1034.

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