改進(jìn)的Winkler地基樁土相互作用模型①

唐劍華， 劉振興

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院地下建筑與工程系，上海 200092;2.巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué))，上海 200092)

0 引言

本文在傳統(tǒng)的Winkler地基基礎(chǔ)上，引進(jìn)剪力基床系數(shù)Kz來(lái)考慮樁側(cè)摩阻力，剪力基床系數(shù)通過(guò)半無(wú)限彈性體中的Mindlin解求得.從樁的彈性理論出發(fā)，考慮樁頂?shù)募泻奢d和樁側(cè)摩阻力，通過(guò)對(duì)典型單元的受力分析推導(dǎo)樁的撓曲線微分方程，并采用差分法求解該微分方程.

1 基本假設(shè)及微分方程

1.1 基本假設(shè)

根據(jù)以上分析，為建立樁的撓曲線微分方程可作如下假設(shè):

(1)樁及樁周土體均處于彈性工作狀態(tài).

圖1 典型單元體示意圖

(2)樁是柔性樁，樁身均勻，各截面相等.

(3)基于Winkler地基模型把樁視為彈性地基梁，且樁土之間的位移協(xié)調(diào).

1.2 樁身?yè)锨€微分方程

如圖1所示考慮長(zhǎng)度為d z微分單元體，兩端作用，兩端作用有彎矩M、剪力H及軸力N，樁側(cè)有土抗力q、側(cè)摩阻力ps，單元體的橫向位移為d u.

對(duì)圖1典型單元體下端中點(diǎn)取矩有:

從圖1以上數(shù)據(jù)可以看出，與全球系統(tǒng)重要性銀行相比，當(dāng)前四大行的資本充足率均低于G-SIBs平均資本充足率(16.32%)，四大行面臨資本金的制約。資本充足率指標(biāo)決定了商業(yè)銀行必須轉(zhuǎn)變發(fā)展方式，由原來(lái)的“信貸依賴癥”、“粗放發(fā)展癥”，向內(nèi)涵式集約化追求質(zhì)量和效益的方式轉(zhuǎn)變。國(guó)際上大銀行，通過(guò)較高的盈利能力留存補(bǔ)充資本，促進(jìn)貸款投放，形成了資本的良性循環(huán)機(jī)制。雖然通過(guò)發(fā)行普通股等方式可以補(bǔ)充資本金，一定程度上緩解資本的壓力，但僅僅依靠融資方式補(bǔ)充資本既受制于監(jiān)管政策，又取決于資本市場(chǎng)的容量，因此，以RAROC為核心，通過(guò)改善資產(chǎn)結(jié)構(gòu)、提升資本使用效率是解決問(wèn)題的根本途徑。

式中kh為樁側(cè)土基床反力系數(shù)，單位為kN/m2，本文采用vesic[4]提出的方法來(lái)確定 .該方法的特點(diǎn)是將基床系數(shù)與樁的抗彎剛度、土體的彈性參數(shù)和土的泊松比聯(lián)系起來(lái)[5].即:

式中:Es為土體的彈性模量，單位為kPa;v為土的泊松比;EpIp為樁的抗彎剛度，單位為kN·m2;d為樁的直徑，單位為m.對(duì)于樁側(cè)摩阻力Ps，可定義Ps=kzw，kz可定義為剪切基床系數(shù)，kz的單位為kPa，kz的確定方法將在下節(jié)詳述.

1.3 邊界條件的確定

對(duì)于頂端自由的樁，樁頂?shù)臋M向集中力H，軸向力N，彎矩M.故有

對(duì)于樁端，除了剛性短樁以外，通常認(rèn)為樁底的彎矩作用效應(yīng)是可以忽略的[6，7].因此，樁端邊界條件為

圖2 樁側(cè)表面的積分圖形

2 基床系數(shù)的確定

如圖2所示將樁等分成n段，根據(jù)polous[8]的思想，按照mindlin解答的基本思路可求出樁側(cè)任意一點(diǎn)的剪力與沉降的關(guān)系.由圖2可得第i個(gè)單元樁側(cè)土的沉降:

式中:w是土體的沉降，h是單元i中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，ρI是位移系數(shù)，可由半無(wú)限彈性體中的Mindlin解給出，Es是土體的彈性模量.c是樁側(cè)摩阻力所在單元的縱坐標(biāo).對(duì)(16)式運(yùn)用積分第一中值定理并考慮到位移系數(shù)在c=h處的奇異性[8]，化簡(jiǎn)可得到(16)式.

式(17)中Ps(h)和Es(h)沿著樁身隨著深度變化而變化.Iv(h)可由(18)式確定.

式(18)中的 ρI可由 Mindlin解[9]給出

式中 z1=h － c，z2=h+c，r=2R sin(θ/2)，

由(17)式可得

式(20)中kz(h)=Es(h)/d Iv(h)，經(jīng)上述分析可得到剪力基床系數(shù)kz.

3 有限差分解

利用有限差分法，將微分方程(10)、(11)、

(12)、(15)離散得到代數(shù)方程.

式中δh=L/n，離散后的代數(shù)方程是非線性的代數(shù)方程組，可采用Newton－Raphson方法求解.

圖3 樁頂作用水平力

圖4 豎向基床系數(shù)分布圖

4 算例驗(yàn)證

算例1:為說(shuō)明計(jì)算方法的實(shí)用性，本文與Poulos的彈性理論法[8]對(duì)比，如圖3所示，計(jì)算時(shí)樁長(zhǎng)與直徑比為L(zhǎng)/d=25，樁的柔度系數(shù)為kR=EpIp/EsL4，土的泊松比 v為0.5，樁頂自由，樁頂作用水平力.本文方法與Poulos的分析一致，在樁身剛度較小的時(shí)候，本文方法得到的樁身彎矩.

由本文方法可得到剪力基床系數(shù)Kz隨深度的分布.圖4是豎向基床系數(shù)Kz的分布圖.從樁頂?shù)綐渡恚琄z呈非線性的分布，隨著深度的增加，Kz先減小，后逐漸增大，且在靠近樁端的部分，Kz增加的較快.此外，由圖4還可知道，隨著泊忪比v的增大，剪力基床系數(shù)減小，但泊忪比v對(duì)剪力基床系數(shù)的影響較小.

圖5 樁身彎矩

圖6 樁身水平位移

算例2:計(jì)算參數(shù)如下:取樁長(zhǎng)與直徑比 L/d=25，土的泊松比v=0.25，樁土彈性模量比Ep/Es=1000，樁頂作用的水平力和軸力分別為H=πGsd2，N=0.2H，0.5H，H，Gs為土體的剪切模量.

從圖5中可以看出本文方法得到的彎矩比polous得到的彎矩偏大，這是因?yàn)楸疚目紤]了側(cè)摩阻力的影響.從圖5中還可知道，軸向荷載對(duì)樁身彎矩的影響主要集中在樁身上部Z/L=0～0.4的范圍內(nèi).Z/L約等于0.2處，彎矩取得最大之.隨著N/H的增大，最大彎矩逐漸增大.當(dāng)N=0.5H時(shí)，最大彎矩增加10.4%;當(dāng)N=H時(shí)，最大彎矩增大32.8%.

從圖6中可看出，當(dāng)N/H的值較小的時(shí)候，N/H的值對(duì)樁身?yè)隙鹊挠绊戄^小.當(dāng)N/H的值較大的時(shí)候，隨著N/H的增大，p－Δ效應(yīng)顯著，樁身?yè)隙蕊@著增大.樁身的側(cè)向撓度主要集中在Z/L=0～0.6范圍內(nèi).

5 結(jié)語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)的Winkler地基基礎(chǔ)上，引進(jìn)豎向基床系數(shù)Kz來(lái)考慮樁側(cè)摩阻力，并得到了豎向基床系數(shù)隨深度的分布圖.隨著深度的增加，豎向基床系數(shù)顯著地增大.本文在引進(jìn)豎向基床系數(shù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算表明，忽略側(cè)摩阻力會(huì)使樁身彎矩偏小，在設(shè)計(jì)中會(huì)帶來(lái)潛在的風(fēng)險(xiǎn).

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