基于多類型受擾軌跡的電力系統(tǒng)低頻振蕩分析

郝思鵬，楚成彪，張仰飛，闞建飛

（南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167）

0 引言

電力系統(tǒng)低頻振蕩直接影響互聯(lián)系統(tǒng)的運(yùn)行，基于線性化模型的特征根方法物理概念清晰，提供的信息量豐富，但難以反映非線性的影響?？紤]二階項(xiàng)的小干擾分析可以在一定程度上計(jì)及非線性影響，但難以推廣至大系統(tǒng)[1-4]。系統(tǒng)的受擾軌跡可以包含非線性影響，軌跡獲取受系統(tǒng)規(guī)模影響較小，隨著廣域測(cè)量系統(tǒng)（WAMS）引入，可以不依賴系統(tǒng)模型，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行，為低頻振蕩分析提供了重要的受擾軌跡[5]。

基于軌跡分析低頻振蕩，主要包括平穩(wěn)振蕩特性分析和非平穩(wěn)振蕩特性分析，目前非平穩(wěn)振蕩特性分析主要基于單一軌跡，常用方法包括窗口傅里葉脊[6]、小波脊[7]、HHT[8-9]等；平穩(wěn)振蕩特性分析適用于單一軌跡也適用于多機(jī)受擾軌跡，常用方法是Prony算法，該算法計(jì)算簡(jiǎn)單，但抗干擾性能較差，并且需要選定合適的模型階數(shù)[10-11]。目前，確定Prony算法階數(shù)常見(jiàn)的有行列式法和奇異值分解法等，這類方法主要用來(lái)區(qū)分有效數(shù)據(jù)空間和噪聲空間，無(wú)法對(duì)獲取振蕩模式信息準(zhǔn)確度進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)于存在一定非線性的信號(hào)，用這類方法確定算法的階數(shù)，可能造成過(guò)度擬合。電力系統(tǒng)受擾軌跡存在多種類型曲線[12-16]，傳統(tǒng)方法采用單一的發(fā)電機(jī)功角曲線、轉(zhuǎn)速曲線或聯(lián)絡(luò)線功率曲線進(jìn)行振蕩分析，忽略了不同類型曲線的關(guān)系。

本文基于多類型受擾軌跡內(nèi)在聯(lián)系，建立各振蕩模式的幅值和相位偏差評(píng)價(jià)指標(biāo)，判斷該模式的可信度；進(jìn)一步建立綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)Prony算法的分析結(jié)果給出評(píng)價(jià)依據(jù)，以判斷階數(shù)選擇的合理性。

1 多信號(hào)的Prony算法

Prony算法是用e指數(shù)函數(shù)線性組合來(lái)擬合等間距采樣的一段軌跡，其指數(shù)函數(shù)為復(fù)指數(shù)時(shí)，可以直接提取振蕩的模式和模態(tài)。將Prony算法應(yīng)用于多信號(hào)，即用一組相同的e指數(shù)信號(hào)對(duì)多條等間距采樣的信號(hào)曲線進(jìn)行擬合，其表達(dá)式為：

其中，Akm為信號(hào)k第m個(gè)振蕩模式的幅值；fm為第m個(gè)振蕩模式頻率；αm為第m個(gè)振蕩模式衰減因子；θkm為信號(hào)k第m個(gè)振蕩模式的初相；p為指數(shù)函數(shù)的階數(shù)；n 為樣本的個(gè)數(shù)；Δt為時(shí)間間隔；x?k（n）為擬合的結(jié)果。

Prony算法既可以獲取振蕩的模式信息，也可以獲取各機(jī)組參與某一振蕩模式的模態(tài)。

2 多類型信號(hào)的分析

2.1 多機(jī)系統(tǒng)的振蕩曲線

低頻振蕩的本質(zhì)是機(jī)組間相對(duì)運(yùn)動(dòng)，一般采用機(jī)組功角曲線、機(jī)組轉(zhuǎn)速曲線、機(jī)組出力或聯(lián)絡(luò)線功率曲線進(jìn)行分析。多機(jī)系統(tǒng)中，機(jī)組功角曲線和轉(zhuǎn)速曲線一般采用相對(duì)慣量中心（或角度中心）顯示。由于機(jī)組功角存在初始相位差，多機(jī)系統(tǒng)的功角曲線一般包含直流分量，而處于同步運(yùn)行的機(jī)組相對(duì)轉(zhuǎn)速曲線一般不包含直流分量。由于每臺(tái)機(jī)組功角曲線和轉(zhuǎn)速曲線包含相同的振蕩模式信息，設(shè)其由不同的振蕩模式疊加而成，表達(dá)式為：

其中，δi（t）為第 i臺(tái)機(jī)組相對(duì)慣量中心（或角度中心）功角；δi0為第i臺(tái)機(jī)組功角的直流分量；Aj為第j個(gè)振蕩模式的振幅；σj為第j個(gè)振蕩模式阻尼系數(shù)；ωj為第j個(gè)振蕩模式頻率；φj0為第j個(gè)振蕩模式初相；vi（t）為第i臺(tái)機(jī)組相對(duì)慣量中心（或角度中心）轉(zhuǎn)速；Bj為轉(zhuǎn)速中第j個(gè)振蕩模式的振幅；φj0為轉(zhuǎn)速中第j個(gè)振蕩模式初相。

2.2 不同類型曲線的關(guān)系

電力系統(tǒng)是物理系統(tǒng)，仿真或?qū)崪y(cè)獲取的不同類型信號(hào)之間存在內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)際系統(tǒng)中，機(jī)組功角和轉(zhuǎn)速曲線間存在導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即：

由式（4）可知，機(jī)組第j個(gè)振蕩模式轉(zhuǎn)速和功角振幅大小的比值和初始相位差由對(duì)應(yīng)的第j個(gè)振蕩模式的阻尼和頻率決定，即：

式（5）和（6）顯示，不同類型信號(hào)振蕩模態(tài)和振蕩模式間存在聯(lián)系，這一內(nèi)在聯(lián)系為振蕩模式信息準(zhǔn)確性驗(yàn)證提供了考核指標(biāo)，其僅根據(jù)對(duì)應(yīng)的模式和模態(tài)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，不依賴真值，適用于電力系統(tǒng)仿真和實(shí)測(cè)的受擾軌跡。依托式（5）和（6），構(gòu)建第j個(gè)振蕩模式的振幅偏差和相位偏差百分?jǐn)?shù)，如式（7）和（8）所示。

獲取的每個(gè)振蕩模式的準(zhǔn)確度可通過(guò)對(duì)應(yīng)的ηjAmplitude、ηjPhase反映，數(shù)據(jù)越大，表示該模式越不可信。

2.3 不同類型曲線的振幅處理

不同類型的曲線由于量綱不同，振幅差異較大，容易導(dǎo)致某一類型的信號(hào)被其他信號(hào)掩蓋，需要進(jìn)行加權(quán)處理。為了便于比較，建立不同類型信號(hào)的平均能量，并對(duì)其進(jìn)行歸算。設(shè)同類型信號(hào)有q條，采樣點(diǎn)為n個(gè)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行隔直處理后，建立同類型信號(hào)的平均能量，如式（9）所示。

其中，xk（i）為采樣值。

對(duì)不同類型的信號(hào)振幅進(jìn)行加權(quán)處理，以某一類型曲線為參照，其他類型曲線的數(shù)值除以2種不同類型曲線平均能量的比值，實(shí)現(xiàn)信號(hào)振幅的預(yù)處理。

3 主導(dǎo)模式識(shí)別及綜合評(píng)價(jià)

3.1 主導(dǎo)模式識(shí)別

考慮到噪聲和非線性的影響，信號(hào)處理方法獲取的振蕩模式信息，能量占比較大的信號(hào)具有較高的可信度。對(duì)于高階Prony算法獲取的振蕩模式，需要對(duì)提取的模式信息進(jìn)行排序，獲取主導(dǎo)振蕩模式。主導(dǎo)振蕩模式不僅和振蕩的初始振幅相關(guān)還和其阻尼相關(guān)，以包絡(luò)線構(gòu)成面積的平方為該模式的振蕩能量。對(duì)于單一曲線，第j個(gè)模式的振蕩能量為：

其中，Δt為采樣步長(zhǎng)。

總振蕩能量的計(jì)算式為：

主導(dǎo)振蕩模式根據(jù)單個(gè)模式振蕩能量占總能量的百分比進(jìn)行排序，第j個(gè)振蕩模式占總能量的百分?jǐn)?shù)計(jì)算式為：

對(duì)于多機(jī)受擾軌跡，振蕩模式的能量包含在所有振蕩曲線中，第j個(gè)振蕩模式占總能量的百分比計(jì)算式為：

根據(jù)振蕩能量占比對(duì)振蕩模式進(jìn)行排序，并設(shè)立閾值，能量占比超過(guò)閾值的模式為主導(dǎo)振蕩模式。

3.2 綜合評(píng)價(jià)

對(duì)于具有多個(gè)主導(dǎo)振蕩模式的信號(hào)，需要建立綜合指標(biāo)以反映Prony算法辨識(shí)結(jié)果的可信度。多機(jī)系統(tǒng)中，每個(gè)機(jī)組中都有多個(gè)振蕩模式ηjAmplitude和ηjPhase，需要建立綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)反映Prony算法輸出結(jié)果的可信度。綜合指標(biāo)需要反映每個(gè)振蕩模式的能量占比、振幅偏差及相位偏差。構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)如式（14）和（15）所示。

其中，ηj為第 j個(gè)主導(dǎo)振蕩模式的能量百分比；ηjAmplitude、ηjPhase分別為第j個(gè)主導(dǎo)振蕩模式振幅和相位偏差百分比，對(duì)于多機(jī)系統(tǒng)其數(shù)值取各個(gè)機(jī)組對(duì)應(yīng)參數(shù)的平均值。

4 多類型曲線振蕩特性分析

4.1 線性信號(hào)分析

設(shè) y=6e-0.5tsin（10t）+2e-0.1tsin（20t），導(dǎo)數(shù)為 y′=60.08e-0.5tsin（10t+1.52）+40.00e-0.1tsin（20t+1.57），采樣步長(zhǎng)為0.05 s，采樣時(shí)間為5 s。由于信號(hào)振幅相差較大，根據(jù)振幅處理方法，以y為參照，對(duì)y′振幅進(jìn)行處理，y′信號(hào)除以13.77，如圖1所示。

圖1 預(yù)處理后的多類型信號(hào)Fig.1 Pre-processed multi-type signal

對(duì)于不加噪聲的信號(hào)，4階以上Prony算法都可以獲取準(zhǔn)確的振蕩模式信息。對(duì)信號(hào)分別加入白噪聲，信噪比分別為5dB、10dB和20dB。利用Prony算法提取主導(dǎo)振蕩模式，以振蕩能量占比超過(guò)2%為標(biāo)準(zhǔn)，提取主導(dǎo)振蕩模式，并根據(jù)式（7）和（8）分析主導(dǎo)振蕩模式幅值和相位對(duì)應(yīng)的偏差，結(jié)果如表1所示。

由表1可知，提取的主導(dǎo)振蕩模式信息越準(zhǔn)確，對(duì)應(yīng)的ηjAmplitude、ηjPhase偏差系數(shù)越小，可見(jiàn)，建立的指標(biāo)能用于評(píng)價(jià)辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性。噪聲對(duì)Prony算法的輸出結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定影響，信噪比小的信號(hào)幅值和相位偏差較大，高階Prony算法有利于過(guò)濾白噪聲，使主導(dǎo)振蕩模式結(jié)果更準(zhǔn)確。分析信噪比為5 dB和10 dB的信號(hào)發(fā)現(xiàn)，隨著Prony算法階數(shù)的提高，20階模型和40階模型計(jì)算精確度沒(méi)有明顯提高，可見(jiàn)在滿足要求的情況下，過(guò)高的模型階數(shù)無(wú)意義。

表1 主導(dǎo)振蕩模式識(shí)別結(jié)果及評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 1 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes

有些情況下，低階模型對(duì)結(jié)果影響較大，主要是因?yàn)镻rony算法基于線性預(yù)測(cè)，采樣過(guò)密的低階模型基于曲線的每個(gè)小片段進(jìn)行擬合，若此時(shí)信號(hào)含有較大的噪聲，則會(huì)導(dǎo)致輸出結(jié)果失真。以上述曲線為例，若將采樣步長(zhǎng)降為0.02 s，10階模型，信噪比取10 dB，則無(wú)法獲取頻率較低的振蕩模式信息，出現(xiàn)丟根，20階及以上模型則可獲取2個(gè)主導(dǎo)振蕩模式信息。

4.2 系統(tǒng)仿真分析

以Kundur 4機(jī)系統(tǒng)為例，參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，SSAT軟件基于線性化模型，計(jì)算獲得3個(gè)機(jī)電相關(guān)特征根為 -0.0398±j3.0864、-0.0385±j6.5657、-0.0404±j6.7348。其中模式1為區(qū)域振蕩模式，為1、2號(hào)機(jī)對(duì)3、4號(hào)機(jī)，另外2個(gè)為本地振蕩模式，模式2為1號(hào)機(jī)對(duì)2號(hào)機(jī)，模式3為3號(hào)機(jī)對(duì)4號(hào)機(jī)。

利用國(guó)網(wǎng)電科院開(kāi)發(fā)的Fastest軟件進(jìn)行仿真，在3號(hào)機(jī)機(jī)端施加三相短路故障擾動(dòng)，擾動(dòng)持續(xù)時(shí)間分別為0.01 s、0.2 s，分別模擬小擾動(dòng)和大擾動(dòng)，仿真步長(zhǎng)為0.05 s，持續(xù)時(shí)間10 s，輸出發(fā)電機(jī)相對(duì)功角曲線和發(fā)電機(jī)頻率曲線，并將頻率曲線轉(zhuǎn)換為發(fā)電機(jī)相對(duì)速度曲線。用多機(jī)Prony算法計(jì)算系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式及ηjAmplitude和ηjPhase等參數(shù)，結(jié)果如表2和表3所示。

由于擾動(dòng)施加于3號(hào)機(jī)，1、2號(hào)機(jī)之間的局部振蕩模式未能激發(fā)。表2顯示，以能量占比超過(guò)2%為閾值，20階模型分解出3個(gè)主導(dǎo)振蕩模式，其中5.7919±j4.7467模式能量占比較低，對(duì)應(yīng)的ηjAmplitude和ηjPhase最大，顯示該模式最不可信，其余2個(gè)模式偏差也較大，說(shuō)明可信度也較低。40階和80階Prony算法能夠較為準(zhǔn)確地獲取2個(gè)主導(dǎo)振蕩模式，由于1、2號(hào)機(jī)對(duì)局部振蕩模式參與度較低，1、2號(hào)機(jī)的ηjAmplitude相對(duì)較大。進(jìn)一步計(jì)算綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表4所示，顯示20階的 Prony算法 ηAmplitudeΣ和ηPhaseΣ偏差均超過(guò)10%，綜合可信度不高。40階和80階模型綜合指標(biāo) ηAmplitudeΣ和 ηPhaseΣ較小，顯示高階 Prony算法提取的結(jié)果具有較高的可信度。由于擾動(dòng)較小，提取的系統(tǒng)振蕩模式接近于線性化模型特征根結(jié)論。

擾動(dòng)持續(xù)時(shí)間為0.2 s時(shí)，除20階模型的可信度較低外，表3顯示，40階和80階模型結(jié)論的可信度也低于擾動(dòng)持續(xù)時(shí)間0.01 s的結(jié)果。進(jìn)一步將算法的階數(shù)提高至90，出現(xiàn)一個(gè)能量占比超過(guò)3%的模式，其ηjAmplitude和ηjPhase明顯偏大，其余模式ηjAmplitude和ηjPhase也部分出現(xiàn)增大趨勢(shì)。計(jì)算綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表 5 所示，90 階的 ηAmplitudeΣ和 ηPhaseΣ大于 80 階模型，顯示信號(hào)過(guò)度擬合，可見(jiàn)對(duì)于包含一定非線性的信號(hào)，過(guò)高的模型階數(shù)并不利于提高結(jié)果的精度。大擾動(dòng)下，由于受擾軌跡的非線性較強(qiáng)，Prony算法提取的信息和線性化模型的特征根存在較大差異，系統(tǒng)的振蕩特性偏離特征根結(jié)論。

表2 擾動(dòng)持續(xù)0.01 s時(shí)的主導(dǎo)振蕩模式識(shí)別結(jié)果及評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 2 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s

表3 擾動(dòng)持續(xù)0.2 s時(shí)的主導(dǎo)振蕩模式識(shí)別結(jié)果及評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 3 Results of dominant oscillation mode identification and evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s

表4 擾動(dòng)持續(xù)0.01 s時(shí)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 4 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s

表5 擾動(dòng)持續(xù)0.2 s時(shí)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 5 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s

給受擾軌跡添加白噪聲，信噪比取為10 dB，再提取系統(tǒng)的綜合指標(biāo)，如表6、表7所示。

對(duì)比添加噪聲前后的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)持續(xù)時(shí)間0.01 s的小擾動(dòng)，添加白噪聲后，同階的Prony算法計(jì)算精度下滑，但對(duì)于持續(xù)時(shí)間0.2 s的擾動(dòng)，精度反而有所提高，這是因?yàn)榉蔷€性較強(qiáng)的信號(hào)添加一定強(qiáng)度的白噪聲有助于信號(hào)的平滑處理，有利于主導(dǎo)振蕩模式的獲取，這在改進(jìn)HHT方法里也得到證實(shí)[8]。

表6 加入白噪聲后，擾動(dòng)持續(xù)0.01 s時(shí)的綜合指標(biāo)值Table 6 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.01 s with white noise

表7 加入白噪聲后，擾動(dòng)持續(xù)0.2 s時(shí)的綜合指標(biāo)值Table 7 Comprehensive evaluation indexes when perturbation lasts for 0.2 s with white noise

5 多類型曲線的低頻振蕩分析框架

算例顯示綜合指標(biāo)具有較高的可信度，可以根據(jù)綜合指標(biāo)選取合適的模型階數(shù)進(jìn)行多機(jī)Prony算法分析?，F(xiàn)有仿真軟件和廣域測(cè)量系統(tǒng)可以獲取多種類型曲線，構(gòu)建基于多類型曲線的工程實(shí)用算法架構(gòu)，如圖2所示。

圖2 所提方法的實(shí)現(xiàn)流程Fig.2 Flowchart of proposed method

在對(duì)輸入的多類型曲線進(jìn)行振幅折算后，設(shè)置Prony算法的初始階數(shù)、每次增加的階數(shù)及最高階數(shù)。設(shè)置Prony算法的綜合指標(biāo)定值，然后進(jìn)行Prony分析，去除非振蕩模式后，計(jì)算各振蕩模式的能量百分比，識(shí)別主導(dǎo)振蕩模式。計(jì)算各機(jī)組主導(dǎo)振蕩模式的ηjAmplitude和ηjPhase，反映主導(dǎo)振蕩模式的可信度。 在此基礎(chǔ)上計(jì)算綜合指標(biāo) ηAmplitudeΣ、ηPhaseΣ反映 Prony算法的可信度，若不滿足精度要求，則增加Prony算法階數(shù)繼續(xù)運(yùn)算，若Prony算法達(dá)到最大階數(shù)仍不滿足要求，則輸出 ηAmplitudeΣ、ηPhaseΣ為最小值的計(jì)算結(jié)果。

6 結(jié)論

電力系統(tǒng)低頻振蕩信息存在于多種類型曲線中，傳統(tǒng)通常選擇某一類型曲線進(jìn)行信息提取，忽略了不同類型曲線間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)于分析結(jié)果的精確度難以評(píng)判。本文提出基于多種類型曲線提取振蕩信息，利用不同類型曲線內(nèi)在關(guān)系，建立振蕩模式準(zhǔn)確度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。為消除不同量綱信號(hào)間振幅差異過(guò)大問(wèn)題，給出了不同類型信號(hào)的振幅折算方法?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)主要關(guān)注主導(dǎo)振蕩模式，給出了主導(dǎo)振蕩模式識(shí)別方法，并在此基礎(chǔ)上建立了綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，反映Prony算法的可信度。算例表明，提出的指標(biāo)體系具有工程應(yīng)用價(jià)值，能反映提取信息的準(zhǔn)確度，并可依據(jù)指標(biāo)選擇合適的Prony算法階數(shù)。