基于貝葉斯理論的疊前多波聯(lián)合反演彈性模量方法

侯棟甲，劉洋＊，胡國(guó)慶，魏修成，陳天勝

1中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

2中國(guó)石油大學(xué)（北京）CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

3新疆油田勘探開(kāi)發(fā)研究院，克拉瑪依 834000

4中國(guó)石化勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083

1 引言

隨著油氣資源勘探程度的增加，勘探目標(biāo)已由構(gòu)造型油氣藏轉(zhuǎn)向巖性油氣藏，巖性識(shí)別及油氣檢測(cè)顯得尤為重要.相對(duì)于疊后地震數(shù)據(jù)反演而言，疊前反演保留了地震反射振幅隨偏移距變化特征，能夠得到密度、縱波速度、橫波速度、泊松比等多種彈性參數(shù)，因而能更可靠地揭示地下儲(chǔ)層的物性及含油氣性（Downton，2005）.由于疊前反演問(wèn)題都是高維的和非適定的，因此獲得可靠穩(wěn)定的解對(duì)疊前反演至關(guān)重要.多波地震勘探技術(shù)的出現(xiàn)為提高反演結(jié)果的精度、提高巖性識(shí)別和油氣預(yù)測(cè)的可靠性提供了支持.隨著多波地震勘探技術(shù)的發(fā)展，充分發(fā)揮多波資料含有豐富巖性信息的優(yōu)勢(shì)，利用多波資料反演地層巖性參數(shù)已成為一項(xiàng)重要的研究課題（趙邦六，2007）.

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)多波資料疊前聯(lián)合反演做了大量的研究.在國(guó)外，Stewart（1990）首次給出了實(shí)際的縱、橫波速度聯(lián)合反演方法，他將Smith和Gidlow（1987）提出的用于縱波的加權(quán)疊加方法推廣到聯(lián)合反演，獲得到了縱波速度比和橫波速度比等彈性參數(shù).Larsen等（1999）在Stewart（1990）研究的基礎(chǔ)之上做了更進(jìn)一步的研究，提出了同時(shí)反演縱波波阻抗和橫波波阻抗的方法.Jin（1999）分析了縱、橫波聯(lián)合反演的穩(wěn)定性，并指出單一縱波反演存在不穩(wěn)定.Margrave等（2001）利用加權(quán)疊加的方法從PP波和PS波振幅資料反演出波阻抗比和泊松比.Zhang等（2003）對(duì)Pikes Peak油田的多波地震數(shù)據(jù)體進(jìn)行了聯(lián)合反演，得到了良好的應(yīng)用效果.Downton和Lines（2004）考慮到地震子波的影響引入了地震褶積模型，利用PP波資料做了基于貝葉斯原理的三參數(shù)反演方法研究.Veire和Landr?（2006）利用奇異值分解技術(shù)進(jìn)行了帶限的縱、橫波聯(lián)合三參數(shù)反演，并且給出了實(shí)際數(shù)據(jù)的應(yīng)用效果.在國(guó)內(nèi)，陳天勝等（2006）提出了一種基于方向加速度最優(yōu)方法的速度比值掃描的縱、橫波聯(lián)合反演方法.印興耀等（2007，2008a，2008b）提出了疊前三參數(shù)反演的新方法，該方法在反演過(guò)程中引入貝葉斯理論，并假設(shè)待求參數(shù)服從改進(jìn)的Cauchy分布以改善反演效果.張春濤等（2010）通過(guò)PP波PS波AVO聯(lián)合二參數(shù)反演進(jìn)行了波阻抗反演研究.李錄明等（2010）進(jìn)行了各向異性介質(zhì)的三維縱波、橫波疊前聯(lián)合反演方法研究及應(yīng)用.胡國(guó)慶等（2011）利用縱波和轉(zhuǎn)換波進(jìn)行聯(lián)合反演來(lái)估算密度比和速度比，在反演過(guò)程中利用貝葉斯理論加入先驗(yàn)信息，改善反演的不適定性.魏超等（2011）提出一種反向加權(quán)系數(shù)的方法來(lái)提高非線性AVO反演的精度.邴萍萍等（2011）提出利用支持向量機(jī)來(lái)求解AVO非線性反演問(wèn)題，獲得高精度的巖性參數(shù).宗兆云等（2012a，2012b）提出一種反演楊氏模量和泊松比的方法來(lái)識(shí)別頁(yè)巖氣“甜點(diǎn)”.

Yin等（2012）提出了一種利用縱波資料、基于貝葉斯理論來(lái)反演密度比和模量比的方法.鑒于模量比與流體因子有關(guān)，可以更好地指示油氣；基于速度比和模量比之間的關(guān)系，將Zoeppritz方程的近似形式Aki-Richards公式中的速度比替換為模量比，可以得到與模量比有關(guān)的反射系數(shù)公式，從而來(lái)反演密度比等參數(shù).本文在Yin等（2012）研究的基礎(chǔ)上，提出了一種聯(lián)合縱波和轉(zhuǎn)換波反演密度比和模量比的方法，利用多波資料聯(lián)合反演密度比、剪切模量比、體積模量比三參數(shù).在反演過(guò)程中引入貝葉斯理論，假定先驗(yàn)信息服從高斯分布，待求參數(shù)服從改進(jìn)的Cauchy分布，并去除待求參數(shù)之間的相關(guān)性.理論模型數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果表明該方法可以有效提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性、精度和抗噪能力.

2 基本原理

2.1 AVO近似方程

根據(jù)地震波傳播理論，當(dāng)縱波非垂直入射到一個(gè)波阻抗界面時(shí)，會(huì)產(chǎn)生反射縱波、反射轉(zhuǎn)換橫波、透射縱波、透射轉(zhuǎn)換橫波四種波.反射系數(shù)和透射系數(shù)可以用Zoeppritz方程來(lái)精確表述（Zoeppritz，1919），在上下層介質(zhì)的密度和速度差異不太大的情況下，可以將Zoeppritz方程近似簡(jiǎn)化為Aki-Richards公式（Aki和Richards，1980），縱波反射系數(shù)和轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)可分別表述為以下形式：

其中，rpp表示縱波反射系數(shù)，rps表示轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)，

根據(jù)文獻(xiàn)Yin等（2012）的分析，在小角度入射的情況下，公式（7）和（8）具有較高的精度，其與精確解的誤差可以忽略不計(jì).

2.2 多波聯(lián)合反演方程

為了從地震記錄中反演出密度比和模量比，應(yīng)該先建立多波聯(lián)合反演方程.首先利用最小二乘原理構(gòu)建多波聯(lián)合反演目標(biāo)函數(shù)（Veire和Landr?，2006）：

PP波記錄經(jīng)過(guò)反褶積、疊前偏移等之后的結(jié)果，rpp、rps分別表示PP波和PS波反射系數(shù)序列，i、j分別表示PS波和PP波資料道序號(hào)，M表示參加反演的轉(zhuǎn)換波道數(shù)，N表示參加反演的縱波道數(shù)，η（0≤η≤1）是轉(zhuǎn)換波加權(quán)因子，通過(guò)分析PS波和PP波資料的品質(zhì)可以確定加權(quán)因子大小，品質(zhì)好的資料加權(quán)系數(shù)相應(yīng)較大.為使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將目標(biāo)函數(shù)對(duì)待求參數(shù)求導(dǎo)，并令其為零，可得

其中G是一個(gè)3×3的矩陣，D是一個(gè)3維列向量，其元素分別為

X是一個(gè)3維列向量，

由于待求參數(shù)之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的，因此需要應(yīng)用三者之間的協(xié)方差矩陣來(lái)去除參數(shù)之間的相關(guān)性.首先將待反演參數(shù)的協(xié)方差矩陣表示為

協(xié)方差矩陣的主對(duì)角線上的元素表示每一個(gè)隨機(jī)變量的方差，非對(duì)角線上的元素是兩個(gè)變量的協(xié)方差.對(duì)協(xié)方差矩陣（21）進(jìn)行奇異值分解可得

利用分解的結(jié)果，將方程（10）進(jìn)行如下變換：

變換后待求參數(shù)之間是相互獨(dú)立的，則可得

一般來(lái)說(shuō)，在給定初值的情況下，采用合適的反演算法循環(huán)迭代求解方程（24），即可得到＾X，通過(guò)轉(zhuǎn)換就能得到待求參數(shù)X.但為了使結(jié)果更可靠，反演更穩(wěn)定，利用貝葉斯方法將估計(jì)的先驗(yàn)信息加入反演公式中，以克服反演問(wèn)題的不適定性.

2.3 基于貝葉斯理論的反演

基于貝葉斯理論，假設(shè)不同測(cè)量條件得到的測(cè)量結(jié)果的高斯分布是獨(dú)立的，利用乘積準(zhǔn)則得到似然函數(shù)的解為

其中，δer為誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，M+N為地震記錄的總道數(shù).

對(duì)于三參數(shù)反演的情況，改進(jìn)的Cauchy分布描述待求參數(shù)具有更高的分辨率（Alemie和Sacchi，2012），故采用（26）式來(lái)描述待求參數(shù)的分布：

根據(jù)貝葉斯理論，待求參數(shù)的后驗(yàn)概率分布為

對(duì)式（28）右邊取對(duì)數(shù)可得目標(biāo)函數(shù)為

其中，λ為常數(shù)加權(quán)因子，Q是對(duì)角加權(quán)矩陣：

應(yīng)用預(yù)條件共軛梯度法迭代求解非線性方程組（30），即可以得到要反演的參數(shù)，但要得到最終的結(jié)果還需做如下轉(zhuǎn)化：

對(duì)實(shí)際地震資料進(jìn)行疊前反演之前，需要對(duì)疊前地震數(shù)據(jù)進(jìn)行保幅處理，包括多次波衰減、幾何擴(kuò)散校正、振幅補(bǔ)償、地表一致性反褶積、保幅疊前偏移等，并假設(shè)處理后層間多次波、各向異性的影響可以忽略不計(jì).偏移距道集要通過(guò)共角度偏移或射線追蹤方法轉(zhuǎn)換為角道集.Buland和More（2003）用模型證明，偏移距道集到角道集之間的轉(zhuǎn)換誤差可以忽略不計(jì).

3 模型數(shù)據(jù)測(cè)試及實(shí)際資料反演

3.1 模型參數(shù)及模型數(shù)據(jù)測(cè)試

將某口井的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)從深度域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域，將轉(zhuǎn)換后的密度和速度作為地層模型參數(shù)，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行平滑處理即可得到初始模型.地層模型參數(shù)如圖1（a，b，c）所示，分別為地層模型的密度、橫波速度、縱波速度，其中藍(lán)線表示地層模型參數(shù)的真實(shí)值，綠線表示經(jīng)過(guò)平滑處理的結(jié)果，將其作為初始模型.

采用圖1所示的地層模型參數(shù)真實(shí)值，依據(jù)Snell定律，將炮檢距通過(guò)射線追蹤轉(zhuǎn)換為入射角.利用精確的Zoeppritz方程計(jì)算出縱波反射系數(shù)和轉(zhuǎn)換波反射系數(shù).制作合成記錄的主要參數(shù)為：偏移距為60m，道間距為60m，一共40道；子波為主頻為40Hz的Ricker子波；時(shí)間采樣率為1ms.通過(guò)褶積模型得到經(jīng)過(guò)動(dòng)校正的多波疊前道集數(shù)據(jù)如圖2（a，b）所示，分別為轉(zhuǎn)換波剖面和縱波剖面.截取反射時(shí)間為500～800ms的反射層作為反演目的層段.對(duì)于模型數(shù)據(jù)而言，考慮到兩種資料所受的影響因素是相同的，品質(zhì)是等同的，故在進(jìn)行聯(lián)合反演時(shí)，將縱、橫波加權(quán)系數(shù)均取為0.5.

圖1 地層模型參數(shù).（a）密度；（b）橫波速度；（c）縱波速度Fig.1 Stratum model parameters.（a）Density；（b）S-wave velocity；（c）P-wave velocity

對(duì)合成地震記錄，分別采用縱波反演、縱波和轉(zhuǎn)換波聯(lián)合反演方法來(lái)估算三參數(shù).縱波反演的流程和方法與聯(lián)合反演是一致的，將轉(zhuǎn)換波加權(quán)因子η取為0即可.初始模型采用圖1綠線所示的結(jié)果，通過(guò)射線追蹤計(jì)算角度.反演的結(jié)果如圖3、4、5所示，分別為密度比、剪切模量比、體積模量比，其中第一列的藍(lán)線表示縱波和轉(zhuǎn)換波聯(lián)合反演的結(jié)果，第二列的黑線表示單獨(dú)利用縱波反演的結(jié)果，第三列的紅線表示待反演參數(shù)的真實(shí)值，最后一列表示反演結(jié)果的絕對(duì)誤差，其中藍(lán)線表示聯(lián)合反演結(jié)果的誤差，黑線表示縱波反演結(jié)果的誤差.從反演結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)來(lái)看，聯(lián)合反演結(jié)果的誤差要明顯小于單一縱波反演，精度明顯提高，且聯(lián)合反演的條件數(shù)減小，因而反演過(guò)程更加穩(wěn)定，降低了反演的不適定性.

圖2 合成地震記錄.（a）轉(zhuǎn)換波剖面；（b）縱波剖面Fig.2 Synthetic data.（a）S-wave section；（b）P-wave section

圖3 密度比.（a）聯(lián)合反演；（b）縱波反演；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.3 Density contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

我們利用公式（1）和（2），采用聯(lián)合反演的方法計(jì)算出密度比、橫波速度比、縱波速度比，然后分別利用公式（5）和（6）換算出剪切模量比、體積模量比，其中剪切模量比通過(guò)密度比和橫波速度比得到，體積模量通過(guò)密度比和縱波速度比得到.通過(guò)該方法得到的密度比精度明顯低于本文聯(lián)合反演的結(jié)果，且在換算模量比時(shí)會(huì)將密度比和速度比的誤差累加，導(dǎo)致?lián)Q算出的結(jié)果精度降低.結(jié)果如圖6、7、8所示，分別為直接反演出的密度比、換算出的剪切模量比和體積模量比，其中各圖中的（a）表示換算出的參數(shù)結(jié)果，（b）是參數(shù)真實(shí)值，（c）是兩者之間的誤差.由圖可見(jiàn)，相對(duì)聯(lián)合反演的結(jié)果而言，通過(guò)替換的方法得到的結(jié)果誤差總體較大.為了定量比較二者之間的誤差，我們計(jì)算了誤差能量.聯(lián)合反演的密度比誤差能量為0.1093，直接反演的密度比誤差能量為0.1990，聯(lián)合反演的剪切模量比誤差能量為0.0696，轉(zhuǎn)換得到的剪切模量比誤差能量為0.3479，聯(lián)合反演的體積模量比誤差能量為0.0474，轉(zhuǎn)換得到的體積模量比誤差能量為0.1065.可見(jiàn)聯(lián)合反演的結(jié)果其誤差能量要比轉(zhuǎn)換的結(jié)果小.

圖4 剪切模量比.（a）聯(lián)合反演結(jié)果；（b）縱波反演結(jié)果；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.4 S-wave molulus contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

圖5 體積模量比.（a）聯(lián)合反演；（b）縱波反演；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.5 P-wave modulus contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

3.2 含有噪聲的合成數(shù)據(jù)測(cè)試

對(duì)合成的地震數(shù)據(jù)加入隨機(jī)噪聲，將信噪比設(shè)為2，加入噪聲的地震記錄如圖9（a，b）所示，分別為轉(zhuǎn)換波剖面和縱波剖面.分別采用縱波反演方法、縱波與轉(zhuǎn)換波聯(lián)合反演方法來(lái)估算三參數(shù).反演的結(jié)果如圖10、11、12所示，分別為密度比、剪切模量比、體積模量比，各條線的意義與圖3、4、5中相同.由圖可見(jiàn)，在信噪比較低的情況下，聯(lián)合反演依然能較好地估算出地層模型參數(shù).從反演結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)來(lái)看，聯(lián)合反演的誤差要明顯小于單一縱波反演，抗噪性能和精度明顯優(yōu)于常規(guī)縱波反演.

3.3 實(shí)際資料反演

實(shí)際數(shù)據(jù)為某工區(qū)多波地震資料.圖13（a，b）為抽取的經(jīng)過(guò)動(dòng)校正之后的疊前轉(zhuǎn)換波數(shù)據(jù)道集和縱波數(shù)據(jù)道集.在反演之前先進(jìn)行縱波和轉(zhuǎn)換波在時(shí)間域內(nèi)的匹配：利用速度分析獲得的縱波和轉(zhuǎn)換波速度資料，根據(jù)轉(zhuǎn)換波反射時(shí)間與縱波反射時(shí)間之間的關(guān)系，將轉(zhuǎn)換波資料從轉(zhuǎn)換波時(shí)間域轉(zhuǎn)換到縱波時(shí)間域.將縱波反射時(shí)間為300～1100ms的層位作為反演的目標(biāo)層位.根據(jù)實(shí)際資料的品質(zhì)，在聯(lián)合反演時(shí)，縱波加權(quán)系數(shù)為0.7，轉(zhuǎn)換波加權(quán)系數(shù)為0.3.在此剖面上有一口井，該井測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)作為待求參數(shù)的先驗(yàn)信息，并用于驗(yàn)證反演效果.

圖6 密度比.（a）直接計(jì)算的結(jié)果；（b）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（c）誤差Fig.6 Density contrast.（a）Calculated result；（b）Real value；（c）Error

圖7 剪切模量比.（a）轉(zhuǎn)換計(jì)算的結(jié)果；（b）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（c）誤差Fig.7 S-wave molulus contrast.（a）Converted result；（b）Real value；（c）Error

圖8 體積模量比.（a）轉(zhuǎn)換計(jì)算的結(jié)果；（b）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（c）誤差Fig.8 P-wave modulus contrast.（a）Converted result；（b）Real value；（c）Error

對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)分別采用縱波反演方法、縱波和轉(zhuǎn)換波聯(lián)合反演方法來(lái)估算三參數(shù).反演結(jié)果如圖14、15所示，分別為聯(lián)合反演和縱波單獨(dú)反演的結(jié)果.由圖可見(jiàn)，聯(lián)合反演對(duì)目標(biāo)層位刻畫(huà)更清晰.表1給出了在井點(diǎn)位置處400～800ms內(nèi)聯(lián)合反演和單獨(dú)反演結(jié)果與實(shí)際井?dāng)?shù)據(jù)的誤差均方根能量，可見(jiàn)聯(lián)合反演精度高于縱波反演，與實(shí)際井?dāng)?shù)據(jù)的結(jié)果也較吻合.

表1 井位處反演結(jié)果誤差比較Table 1 Error comparison of inversion results at the well location

圖9 加入噪聲的合成地震記錄 （SNR＝2）.（a）轉(zhuǎn)換波剖面；（b）縱波剖面Fig.9 Synthetic data with noise（SNR＝2）.（a）S-wave section；（b）P-wave section

圖10 密度比.（a）聯(lián)合反演；（b）縱波反演；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.10 Density contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

圖11 剪切模量比.（a）聯(lián)合反演；（b）縱波反演；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.11 S-wave modulus contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

圖12 體積模量比.（a）聯(lián)合反演；（b）縱波反演；（c）由模型參數(shù)計(jì)算的真實(shí)值；（d）誤差比較Fig.12 P-wave modulus contrast.（a）Joint inversion result；（b）PP inversion result；（c）Real value；（d）Error comparison

4 結(jié)論

本文發(fā)展了一種基于貝葉斯理論的多波聯(lián)合疊前反演密度比和模量比的方法.該方法具有以下幾個(gè)方面的特點(diǎn)：

（1）反演的密度比、剪切模量比、體積模量比三參數(shù)具有重要的地質(zhì)意義，可以更好地識(shí)別巖性以及指示油氣；

（2）相對(duì)于常規(guī)縱波反演方法，聯(lián)合反演方法精度更高、穩(wěn)定性更好、抗噪能力更強(qiáng)；

（3）在反演過(guò)程中引入貝葉斯理論和加入井約束先驗(yàn)信息，降低了反演多解性，改善了反演不適定性.

模型數(shù)據(jù)測(cè)試和實(shí)際資料應(yīng)用驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性.

圖13 經(jīng)過(guò)動(dòng)校正的實(shí)際疊前地震數(shù)據(jù).（a）轉(zhuǎn)換波道集；（b）縱波道集Fig.13 Real prestack seismic data after NMO.（a）S-wave data set；（b）P-wave data set

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