深內(nèi)部地球結(jié)構(gòu)對內(nèi)核平動振蕩本征周期的影響

江穎，徐建橋，孫和平

1中國科學院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢 430077

2中國科學院大學，北京 100049

1 引言

地球簡正模觀測和研究是了解地球全球動力學過程和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).一方面，地球的一切受迫運動實際上是各種簡正模“共振”運動以特定方式的疊加；另一方面，地球簡正模運動綜合反映了地球內(nèi)部介質(zhì)分布及內(nèi)部圈層耦合的特征，其觀測與研究是認識地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)、物理參數(shù)分布和主要圈層耦合機制的重要依據(jù)（Wahr，1981）.地球固態(tài)內(nèi)核的平動振蕩是地球的基本簡正模之一，對于非自轉(zhuǎn)、球?qū)ΨQ地球模型，簡并的Slichter模是周期最長的一階球型振蕩模，由Slichter（1961）首先指出其出現(xiàn)的可能性，又稱Slichter模.與傳統(tǒng)的地球自由振蕩簡正模不同，Slichter模不以彈性應(yīng)力為恢復(fù)力，而是以重力（液核流體的浮力）作為主要恢復(fù)力，其本征周期大約為幾個小時（徐建橋等，2005）.Slichter?？赡苁怯缮畈看蟮卣鸺ぐl(fā)的，大地震發(fā)生伴隨著的地幔一階球型擾動將導(dǎo)致核幔邊界的相應(yīng)形變，由可壓縮的流體外核傳遞到內(nèi)外核邊界，進而激發(fā)Slichter模；也可能是由于液核物質(zhì)在內(nèi)外核邊界上的非對稱結(jié)晶導(dǎo)致內(nèi)核質(zhì)心的微小變化，地球重力場將驅(qū)動內(nèi)核在其平衡位置附近平動振蕩.Slichter模的觀測與研究是認識地球受迫運動和內(nèi)部動力學過程的基礎(chǔ)，是了解地球大尺度內(nèi)部結(jié)構(gòu)、特別是內(nèi)外核相互作用及其機理的重要依據(jù).

Slichter模的本征周期（頻率）可能與地球深內(nèi)部構(gòu)造和圈層結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，許多科學家基于不同的地球模型研究了Slichter模的本征周期（Slichter，1961；徐建橋等，2005；Busse，1974；Smith，1976；Rogister，2003；Dahlen，1968；Dahlen and Sailor，1979；Rieutord，2002；Smylie and Rochester，1981）.Busse（1974）假設(shè)固態(tài)球形內(nèi)核位于以剛性同心球面為邊界的自轉(zhuǎn)、均勻、不可壓縮、非黏性流體中心，研究了內(nèi)核平動振蕩，并發(fā)現(xiàn)本征周期與內(nèi)外核密度差（ΔρICB）之間存在非常強的依賴關(guān)系.Smith（1976）利用彈性引力運動方程廣義球諧函數(shù)展開法，基于DG597模型計算了地球平動振蕩的本征周期并且理論上研究了自轉(zhuǎn)微橢地球固態(tài)內(nèi)核平動振蕩問題.Smith（1976）的數(shù)值結(jié)果表明液態(tài)外核的分層和固體內(nèi)核的彈性特征對內(nèi)核平動的本征周期的影響比較顯著.Rogister（2003）將本征位移的無窮耦合鏈分別截取3項和5項，基于PREM模型和1066A模型解算Slichter模的本征周期，并得出了兩種截斷方式在4位有效數(shù)字上保持相同的精度.Rogister（2003）提出如果固體內(nèi)核處于外核中的剛性平動振蕩，那么主要的恢復(fù)力是內(nèi)核的浮力，并且指出內(nèi)外核密度差對本征周期的影響非常大.Dahlen采用“二階擾動”理論研究了自轉(zhuǎn)、橢球地球的簡正模，詳細討論了由于自轉(zhuǎn)和橢率的譜峰分裂特征并計算得出簡并的Slichter模的本征周期（Dahlen，1968；Dahlen and Sailor，1979）.Rieutord（2002）假設(shè)核幔邊界和固體內(nèi)核均為剛性的，研究了Slichter模，并探討了ICB附近流體的黏性對內(nèi)核平動振蕩（包括譜峰分裂和品質(zhì)因子）的影響.Smylie和Rochester（1981）采用有限元方法，在“亞地震波”近似的假設(shè)下，引入位移勢函數(shù)，建立液核運動變分原理，分別基于CORE11和1066A地球模型計算了核模.其他一些科學家得到的Slichter模的本征周期的結(jié)果都相近（Slichter，1961；徐建橋等，2005；Busse，1974；Smith，1976；Rogister，2003；Dahlen，1968；Dahlen and Sailor，1979），Rieutord（2002）可能是忽略了內(nèi)核的形變，導(dǎo)致結(jié)果和其他科學家的結(jié)果差異較大.目前存在的主要問題是由于對深內(nèi)部地球結(jié)構(gòu)的了解遠遠不夠，相比于地震簡正模，Slichter模的本征周期的計算結(jié)果相差較大，這種差異主要來自于地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的哪些因素有待進一步澄清.

本文基于球?qū)ΨQ、非自轉(zhuǎn)、彈性和各向同性地球模型（SNREI），討論地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的差異對Slichter模的本征周期的影響.分別計算內(nèi)外核密度差、核幔邊界密度差、地核和地幔內(nèi)P波、S波波速對其本征周期的影響，探討內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同差異對Slichter模的影響有多大，進而更好地了解地球深內(nèi)部結(jié)構(gòu)，更為基于超導(dǎo)重力儀的實際觀測資料檢測Slichter模提供理論依據(jù)（Xu etal.，2010；Smylie，1992；Smylie etal.，1992；Smylie，1999；Rochester and Peng，1993；Peng，1997；Courtier etal.，2000；Rosat etal.，2003；孫和平等，2004；Rosat etal.，2006；Guo etal.，2006；Ding and Shen，2013；Shen and Ding，2013；Jiang etal.，2013；Hinderer etal.，1995）.

2 地球內(nèi)部物理參數(shù)的變化對Slichter模本征周期的影響

地球內(nèi)核平動振蕩的運動滿足相互耦合的Navier彈性平衡方程、Poisson方程和彈性本構(gòu)方程，采用Alterman等人（1959）的基本變量代換，即可簡化成6階線性常微分方程組

式中，y＝（y1，y2，y3，y4，y5，y6）T為本征函數(shù)解向量，其中y1、y3分別表示徑向、橫向位移，y2、y4分別表示徑向、橫向應(yīng)力，y5、y6分別表示引力位擾動和引力擾動.基于PREM模型（含海洋），采用龍格庫塔數(shù)值積分法，獲得Slichter模的本征周期為5.420047h，而基于PREM模型（固體地球）得到的計算結(jié)果為5.42005h，兩者相差很小，與其他方法得出的結(jié)果相差不大.

2.1 地球內(nèi)部密度分布差異對Slichter模本征周期的影響

為研究地球內(nèi)部密度分布差異對Slichter模本征周期的影響，我們首先討論內(nèi)外核密度差對其本征周期的影響.在PREM模型中，內(nèi)核中密度（ρIC）是半徑的二次方程，外核中密度（ρOC）和下地幔中密度（ρM）是半徑的三次方程：

其中x為距地心距離，R（6371km）為地球半徑，r為歸一化半徑.

在內(nèi)外核邊界的密度突跳為：

為了計算內(nèi)外核密度差對Slichter模本征周期的影響，基于PREM模型，保持地核和地幔的總質(zhì)量不變，并且使核幔邊界的密度差保持不變，只改變地球內(nèi)外核邊界的密度差.在（2）式中改變常數(shù)項和，而保持常數(shù)不變（地核內(nèi)部密度的梯度分布不變），計算出內(nèi)外核的密度差及相應(yīng)的Slichter模本征周期.計算結(jié)果如圖1實線和表1所示，從計算結(jié)果可以看出：Slichter模本征周期對內(nèi)外核邊界的密度跳躍非常敏感，隨著密度差的增加，以類似于雙曲線的特征減小.當內(nèi)外核密度差減小到200kg·m-3時，周期增大66.44%，當內(nèi)外核密度差增大到1000kg·m-3時，周期減小21.48%.在1066A模型中，內(nèi)外核邊界密度差為868kg·m-3，而PREM模型中內(nèi)外核邊界密度差為597.3kg·m-3，相對于PREM模型來說，兩者相差45.321%，基于兩個模型計算出的Slichter模本征周期相差15.148%.盡管PREM和1066A兩個地球模型在地球內(nèi)部波速（Lamé參數(shù)）和密度梯度結(jié)構(gòu)存在比較大的差異，但有趣的是，當內(nèi)外核邊界密度差減小到1066A模型提供的數(shù)值時，得到的Slichter模周期與基于1066A獲得的結(jié)果（4.599h）非常接近，差異僅有3.762%.這就意味著Slichter模本征周期與地球內(nèi)部介質(zhì)的精細結(jié)構(gòu)關(guān)系不大，但對于內(nèi)核邊界的密度差非常敏感，其觀測與研究可作為約束該參數(shù)的重要依據(jù).

在核幔邊界的密度差異為：

為了計算核幔邊界對其本征周期的影響，我們保證地核和地幔的總質(zhì)量不變，同時使內(nèi)外核密度差保持不變，只改變核幔邊界的密度差，在（2）式中改變常數(shù)項和，而保持常數(shù)不變（即整個地球內(nèi)部的密度梯度分布保持不變），計算出核幔邊界的密度差及相應(yīng)的Slichter模本征周期.計算結(jié)果如圖1虛線和表1所示，從計算結(jié)果可以看出：Slichter模本征周期隨著核幔邊界密度差的增大而緩慢增大，核幔邊界密度差比內(nèi)外核邊界密度差對Slichter模本征周期的影響小得多.在1066A模型中核幔邊界的密度差為4386kg·m-3，而PREM模型中核幔邊界密度差為4336.9kg·m-3，相對于PREM模型來說，兩者相差1.132%.當核幔邊界密度差減小到1066A模型提供的數(shù)值時，得到的Slichter模周期與基于1066A獲得的結(jié)果（4.599h）非常接近，差異僅有0.037%.主要原因是內(nèi)核平動振蕩的運動是地球內(nèi)核在液態(tài)外核中運動，主要恢復(fù)力為地球引力，在靜力平衡狀態(tài)下地球的引力等于液核的浮力，所以對內(nèi)外核邊界的密度更敏感.

圖1 內(nèi)外核密度差和核幔邊界密度差對Slichter模本征周期的影響Fig.1 Relationship between the eigenperiod of the Slichter mode and the density contrast across the ICB／CMB

表1 地球內(nèi)部密度分布差異與Slichter模本征周期的變化Table 1 Differences of interior density and the changes of the Slichter mode′s eigenperiod

2.2 地核中P波波速對Slichter模本征周期的影響

為了研究地震波速對Slichter模本征周期的影響，我們首先討論在地核中的P波波速變化對Slichter模本征周期的影響.在PREM模型中，內(nèi)核中P波波速（VPI）是半徑的二次方程，外核中P波波速（VPO）是半徑的三次方程：

其中，Q為變化因子.

首先討論在內(nèi)核中P波波速對Slichter模本征周期的影響，由式（5）改變變化因子Q，使保持不變，依次調(diào)整的大小來計算不同變化因子Q而引起的速度變化，并計算相應(yīng)的周期變化，結(jié)果如圖2（PIC對應(yīng)的線型）所示；在外核中，改變變化因子Q，使和保持不變依次調(diào)整的大小來計算不同變化因子Q而引起的速度變化，并計算相應(yīng)的周期變化，結(jié)果如圖2（POC對應(yīng)的線型）所示；用相同的方法，得出在整個地核中P波波速改變相應(yīng)的Slichter模本征周期的變化，如圖2實線所示.在地震學的研究中，一般認為地球內(nèi)部波速異常的變化范圍是±5%，為了方便討論我們將這個范圍擴大一倍，因此令變化因子Q在0.9～1.1范圍內(nèi)變化.由結(jié)果可知，隨著P波波速的變化因子增大計算得到的Slichter模本征周期緩慢減小.由表2清晰可知，當內(nèi)、外核P波波速變化因子相同時，內(nèi)核P波波速變化引起Slichter模本征周期的變化百分比要略小于外核P波波速變化造成的影響.當波速同樣都增加5%時，內(nèi)核中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.019%，外核中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.687%，地核中P波波速的增加使計算得到的周期減小2.650%；當波速同樣都增加10%時，內(nèi)核中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.852%，外核中P波波速的增加使計算得到的周期減小3.227%，地核中P波波速的增加使計算得到的周期減小4.885%；反之，當波速同樣都減小5%時，內(nèi)核中P波波速的減小使計算得到的周期增加1.271%，外核中P波波速的減小使計算得到的周期增大1.847%，地核中P波波速的減小使計算得到的周期增大3.194%；當波速同樣都減小10%時，內(nèi)核中P波波速的減小使計算得到的周期增加2.892%，外核中P波波速的減小使計算得到的周期增加3.865%，地核中P波波速的減小使計算得到的周期增大7.124%.對Slichter模來說，地球內(nèi)核的運動近似一個剛性的運動.當它在液態(tài)外核中運動時，由于流體壓力的變化，使其形狀有微小的變形，同時，由于內(nèi)核和外核都是可壓縮的，內(nèi)核在其平衡位置附近的運動導(dǎo)致ICB附近介質(zhì)的微小的體膨脹，從而使得它們的密度也發(fā)生微小的擾動，因此對Slichter模本征周期有影響.

圖2 地核內(nèi)P波波速變化因子與Slichter模本征周期的變化Fig.2 Relationship between the scale factor for P-wave velocity in core and eigenperiod of the Slichter mode

表2 P／S波波速變化因子與Slichter模本征周期的變化Table 2 The scale factor for P／S-wave velocity and changes of the Slichter mode′s eigenperiod

2.3 地核中S波波速對Slichter模本征周期的影響

在PREM模型中，內(nèi)核中S波波速（VSI）是半徑的二次方程，外核中S波波速為0：

討論在內(nèi)核中S波波速對Slichter模本征周期的影響，改變變化因子Q，使保持不變，依次調(diào)整的大小來計算不同變化因子Q而引起的速度變化，并計算相應(yīng)的周期變化，結(jié)果如圖3虛線所示.同樣考慮到實際情況，變化因子Q的變化范圍為0.9～1.1，當?shù)睾酥蠸波波速變化因子增大時，Slichter模本征周期增大，但是幅度非常小.當波速增加5%時，S波波速的增加使計算得到的周期只增加0.160%；當波速增加10%時，S波波速的增加使計算得到的周期只增加0.335%；反之，當波速減小5%時，S波波速的減小使計算得到的周期只減小0.147%；當波速減小10%時，S波波速的減小使計算得到的周期只減小0.282%.由表2可以清晰看出，當?shù)睾酥蠵波和S波波速變化因子相同時，P波波速變化引起Slichter模本征周期的變化比S波造成的影響要大一個數(shù)量級.

圖3 地核內(nèi)P波和S波波速變化因子與Slichter模本征周期的變化Fig.3 Relationship between the scale factor for P／S-wave velocity in core and eigenperiod of the Slichter mode

2.4 地幔中P／S波波速對Slichter模本征周期的影響

利用PREM模型，采用相同的方法，只改變地幔中地震波的波速，來討論地幔中地震波的變化對Slichter模本征周期的影響.由圖4得出，隨著P波波速變化因子的增大，Slichter模本征周期減?。欢S著S波波速變化因子的增大，Slichter模基本上沒有什么變化，更接近于一條直線.由表2知，地幔中地震波波速的變化對Slichter模本征周期的影響非常小，不足0.003%，P波波速變化引起的Slichter模本征周期的變化比S波波速變化的影響略大一點.當波速同樣都增加5%時，地幔中P波波速的增加使計算得到的周期減小0.880×10-3%，而S波波速的增加使計算得到的周期減少0.142×10-3%；當波速同樣都增加10%時，地幔中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.433×10-3%，而S波波速的增加使計算得到的周期增加0.043×10-3%；反之，當波速同樣都減少5%時，地幔中P波波速的減少使計算得到的周期增加1.150×10-3%，而S波波速的減少使計算得到的周期增加0.227×10-3%；當波速同樣都減少10%時，地幔中P波波速的減少使計算得到的周期增加2.626×10-3%，而S波波速的減少使計算得到的周期增加0.596×10-3%.地球內(nèi)核平動主要表現(xiàn)為地核中的徑向形變，地幔中形變非常小，這也是地幔中地震波速的改變對其本征周期影響較小的主要原因.地球內(nèi)核平動振蕩的運動局限在內(nèi)核附近，相對來說地幔結(jié)構(gòu)對它的影響很微弱，幾乎可以忽略不計.

圖4 地幔中P波和S波波速變化與Slichter模本征周期的變化Fig.4 Relationship between the scale factor for P／S-wave velocity in mantle and eigenperiod of the Slichter mode

3 結(jié)語及討論

Slichter模是地球的基本簡正模之一，其觀測與研究是我們了解地球深內(nèi)部構(gòu)造，特別是內(nèi)外核邊界附近密度結(jié)構(gòu)的重要依據(jù).通過上述討論可以得出以下結(jié)論：

（1）在地核中，隨著P波波速的變化因子增大計算得到的Slichter模本征周期緩慢減?。划敳ㄋ偻瑯佣荚黾?%時，內(nèi)核中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.019%，而外核中P波波速的增加使計算得到的周期減小1.687%；當波速同樣都減小5%時，內(nèi)核中P波波速的減小使計算得到的周期增加1.271%，而外核中P波波速的減小使計算得到的周期增大1.847%；內(nèi)、外核P波波速分布異常對Slichter模周期的影響基本相當.

（2）由于液核中S波波速為零，內(nèi)核主要是平動運動，因此剪切力的影響非常小.在地核中，當S波波速變化因子增大時，Slichter模本征周期增大，但是幅度非常小.當波速增加5%時，S波波速的增加使計算得到的周期只增加0.160%；當波速減小5%時，S波波速的減小使計算得到的周期只減小0.147%.當?shù)睾酥蠵波和S波波速變化因子相同時，P波波速變化引起Slichter模本征周期的變化比S波造成的影響要大一個數(shù)量級.總體來說，由于內(nèi)核平動振蕩的運動特殊性，地震波的變化對Slichter模的影響非常微弱，之所以有影響是因為內(nèi)核發(fā)生微小形變，在現(xiàn)有的觀測條件下是可以不考慮的.

（3）在地幔中，隨著P波波速變化因子的增大，Slichter模本征周期減??；而隨著S波波速變化因子的增大，Slichter模本征周期先減小后增大.地幔中地震波波速的變化對Slichter模本征周期的影響非常小，P波波速變化引起的Slichter模本征周期的變化比S波波速變化的影響略大一點.地球內(nèi)核平動主要表現(xiàn)為地核中的徑向形變，地幔中形變非常小，這也是地幔中地震波速的改變對其本征周期影響較小的主要原因.相對于局限在內(nèi)核附近的內(nèi)核平動振蕩，地幔的結(jié)構(gòu)對它的影響微弱，不足0.003%，因此幾乎可以忽略不計.

（4）數(shù)值結(jié)果表明計算得到的Slichter模本征周期隨著內(nèi)外核邊界密度差的增加以類似于雙曲線的特征減小，當內(nèi)外核密度差減小到200kg·m-3時，周期增大66.44%，當內(nèi)外核密度差增大到1000kg·m-3時，周期減小21.48%；Slichter模本征周期隨著核幔邊界密度差的增大而緩慢增大；1066A模型相對于PREM模型在ICB和CMB的密度差分別相差45.321%和1.132%，但是密度差減小到1066A模型提供的數(shù)值時，得到的Slichter模周期與基于1066A獲得的結(jié)果（4.599h）非常接近，差異分別只有3.762%和0.037%；也就是說Slichter模本征周期與地球內(nèi)部介質(zhì)的精細結(jié)構(gòu)關(guān)系不大，但對于內(nèi)核邊界的密度差非常敏感.主要原因是內(nèi)核平動振蕩是地球內(nèi)核在液態(tài)外核中運動，Slichter模以地球引力為恢復(fù)力，以流體浮力作為驅(qū)動，因此對內(nèi)外核邊界的密度跳躍非常敏感.

由于人們對于地球深內(nèi)部的了解還遠遠不夠，想要采用現(xiàn)有地球模型準確推算Slichter模周期不是很現(xiàn)實.對Slichter模的觀測，有助于約束地球3D結(jié)構(gòu)，特別是內(nèi)外核密度跳躍.盡管已有不少學者致力于探測Slichter模（包括三重分裂）（Xu etal.，2010；Smylie，1992；Smylie etal.，1992；Smylie，1999；Rochester and Peng，1993；Peng，1997；Courtier etal.，2000；Rosat etal.，2003；孫和平等，2004；Rosat etal.，2006；Guo etal.，2006；Ding and Shen，2013；Shen and Ding，2013；Jiang etal.，2013；Hinderer etal.，1995），但尚未出現(xiàn)普遍公認的觀測結(jié)果.本工作有助于更加深入地了解地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從影響Slichter模本征周期的因素入手，得到更精準的地球模型，為基于超導(dǎo)重力儀的實際觀測資料檢測Slichter模提供理論依據(jù).

致謝 感謝比利時Liege大學的Carlo Denis教授和法國科研中心（CNRS）斯特拉斯堡地球物理研究所的Yves Rogister教授提供有關(guān)地球簡正模的理論計算軟件.

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附中文參考文獻

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