Mathematica與基礎(chǔ)物理教學(xué)

柴連明 高偉

摘要：基于創(chuàng)新教育和教學(xué)手段現(xiàn)代化這兩個(gè)主題，本文通過(guò)基礎(chǔ)物理教學(xué)中幾個(gè)典型實(shí)例闡述了將數(shù)學(xué)軟件Mathematica與基礎(chǔ)物理教學(xué)相結(jié)合的的一種新型基礎(chǔ)物理教學(xué)模式。我們發(fā)現(xiàn)，將Mathematica軟件和基礎(chǔ)物理教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，能幫助學(xué)生建立直觀的物理圖像，更好地理解物理概念，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。

關(guān)鍵詞：Mathematica軟件;基礎(chǔ)物理;教學(xué)模式1引言

基礎(chǔ)物理課程指物理本科專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)理論課，具體包括力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)和原子物理等課程。 學(xué)生對(duì)這些課程的學(xué)習(xí)效果不僅影響著對(duì)更深層次理論物理課程的理解和掌握，并且直接關(guān)系著物理專(zhuān)業(yè)學(xué)生培養(yǎng)的基本質(zhì)量，這點(diǎn)在擴(kuò)招后的新升本院校中表現(xiàn)的尤為重要?；A(chǔ)物理問(wèn)題的解決一般涉及到許多高等數(shù)學(xué)方面的計(jì)算，而在求解時(shí)，一般都是采用手工推算的方法，這對(duì)于復(fù)雜的力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等問(wèn)題的求解不僅耗時(shí)費(fèi)力，且容易出錯(cuò)。另外，即使能夠得到解析結(jié)果，卻往往不能得到直觀的物理圖像。這些課程通常是與高等數(shù)學(xué)同步開(kāi)設(shè)(如力學(xué)、熱學(xué))或者剛結(jié)束不久（如電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理），導(dǎo)致學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)尚未來(lái)得及進(jìn)一步深化，就已經(jīng)進(jìn)入了如何使用的問(wèn)題。對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與使用的同步或者間隔太短往往很大程度成為了抑制了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)物理理解的瓶頸。隨著信息技術(shù)的普及，在21世紀(jì)初很多高校開(kāi)始將一些計(jì)算機(jī)軟件引入基礎(chǔ)物理教學(xué)，試圖改變教學(xué)中存在的以上矛盾。然而，目前國(guó)內(nèi)在這方面的進(jìn)展并不理想，問(wèn)題的癥結(jié)在于：一方面需要遴選出適合現(xiàn)代化教學(xué)的理論物理內(nèi)容，另一方面缺乏表現(xiàn)和顯示這些內(nèi)容的合適手段，因?yàn)檎业揭婚T(mén)與理論物理教學(xué)結(jié)合得較好的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言并非易事。在理論物理研究者中，C語(yǔ)言和Fortran 語(yǔ)言已經(jīng)應(yīng)用得較為普遍，但對(duì)初學(xué)者而言，這些語(yǔ)言不容易上手，要想熟練地應(yīng)用它們需要有一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。隨后也有很多人提出將Matlab軟件引入基礎(chǔ)物理教學(xué)[1]。很多教學(xué)實(shí)踐已經(jīng)證明，在不涉及數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題情況下，Matlab程序代碼式的語(yǔ)言不但沒(méi)有讓學(xué)生避開(kāi)復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算的困擾，反而為他們?cè)鎏砹撕芏喑绦蛟O(shè)計(jì)方面的麻煩，教學(xué)結(jié)果只能是事倍功半。Mathematica軟件是美國(guó)Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，具有數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖像處理的強(qiáng)大功能，使用非常方便．它具有豐富的內(nèi)部函數(shù)，僅需輸入簡(jiǎn)單的命令就可以快速地進(jìn)行解方程、微分、積分和解微分方程等計(jì)算，而這些運(yùn)算又往往是在基礎(chǔ)物理學(xué)生中阻攔學(xué)生的主要問(wèn)題。同時(shí)，它還有友好的圖形界面，只需輸入簡(jiǎn)短的語(yǔ)句就可以繪出精美的二維和三維圖形。Mathematica軟件和其他數(shù)學(xué)軟件相比，更加小巧（Mathematica4.0安裝后容量?jī)H一百兆比特，而Matlab則達(dá)到1G比特），功能卻毫不遜色。因此，Mathemetica在科研和教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用[2]．筆者在基礎(chǔ)物理教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果將Mathematica軟件引入基礎(chǔ)物理教學(xué)，不但可以有效地解決許多原本要用復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)手工推導(dǎo)的問(wèn)題，而且運(yùn)算結(jié)果也可以通過(guò)Mathematica作圖和動(dòng)畫(huà)得到直觀的體現(xiàn)，更加有助于學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的理解。

2應(yīng)用舉例

2.1 李薩如圖像

對(duì)于不同頻率的兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以合成各種奇特的平面曲線。研究表明，如果兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，例如1:1,1：2,1:3,2:3,3:5等，則合成運(yùn)動(dòng)的軌道是穩(wěn)定的曲線，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也具有周期性，這種質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道圖形稱(chēng)為利薩茹圖形[3]。如兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程分別為其中m，n代表整數(shù)?？梢杂肕athematica命令在計(jì)算機(jī)上繪出兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖。并且可以用動(dòng)畫(huà)命令顯示繪圖的整個(gè)過(guò)程。取A=1，ω0=1，下面圖1繪出頻率比m:n=5:4，α=π/20時(shí)分別在t=π/2,π, 3π/2,2π的李薩如圖。命令語(yǔ)句則很簡(jiǎn)單，并且與手寫(xiě)的數(shù)學(xué)表達(dá)式形式相似：

接著鍵入執(zhí)行

即可按GIF形動(dòng)畫(huà)文件的格式將動(dòng)畫(huà)圖片保存到名為lisaru.gif的文件中。該文件可使用著名的看圖軟件ACDSee查看其動(dòng)畫(huà)效果。

類(lèi)似地，也可以繪出其他頻率比的利薩茹圖形，不同頻率比的圖形各不相同．由于圖形花樣與分振動(dòng)頻率比有關(guān)，因此可以通過(guò)利薩茹圖形的花樣判斷二個(gè)分振動(dòng)的頻率比; 通過(guò)頻率比可由已知頻率測(cè)量未知頻率，這在電學(xué)測(cè)量技術(shù)中占重要地位，可達(dá)到很高的精確度。

2駐波

振幅相同、而傳播方向相反的兩列簡(jiǎn)諧相干波疊加得到的振動(dòng)稱(chēng)為駐波[3]。假設(shè)一列波沿 軸正方向傳播，另一列沿著 軸負(fù)方向傳播，它們的波方程可表示如下

其中A、ω和K分別為振幅、角頻率和波數(shù)。當(dāng)這兩列波相遇會(huì)形成駐波。圖2給出了當(dāng)在不同時(shí)刻駐波的波形圖，在Mathematica的界面中雙擊任意一個(gè)圖，即可出現(xiàn)駐波的動(dòng)畫(huà)效果，這更有利于學(xué)生理解駐波這種特殊的波動(dòng)行為。命令格式如下

3LCR電路暫態(tài)過(guò)程

在階躍電壓的作用下，從開(kāi)始發(fā)生變化到逐漸趨于穩(wěn)態(tài)的過(guò)程叫做暫態(tài)過(guò)程[4]。下面我們以暫態(tài)過(guò)程中典型的LCR電路放電過(guò)程為例，了解Mathematica處理該過(guò)程的簡(jiǎn)便性。

放電過(guò)程中系統(tǒng)的控制方程為

其中其中u，L、C和R分別為極板間電壓、電感、電容和電阻值。我們假設(shè)L=1亨，R=300歐姆，初始電壓e=20伏，以下是Mathematica求解過(guò)程：

輸入語(yǔ)句：

得到方程的解為

然后輸入語(yǔ)句

可以畫(huà)出該函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像fig1。同理，容易得到R=2000Ω對(duì)應(yīng)的圖像fig2。為了方便比較，可以將兩個(gè)圖像用命令放在一張圖中，如圖3。

R=2000Ω

類(lèi)似的，也很容易得到LRC電路充電過(guò)程的暫態(tài)曲線，由于篇幅限制，在此不做討論。

4氫原子角向概率密度分布

圖4表示了幾種典型情況下氫原子的角向概率密度分布曲線，結(jié)果與教材[5]中完全一致，但執(zhí)行語(yǔ)句只需要下面很簡(jiǎn)單幾條。

3小結(jié)

通過(guò)以上的例子我們感受到，較之其他計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，用Mathematica編程確實(shí)簡(jiǎn)潔明了。而將Mathematica軟件和基礎(chǔ)物理教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，不但能直觀地演示物理圖像，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。其牢牢把握住創(chuàng)新教育和教學(xué)手段現(xiàn)代化這兩個(gè)主題，因此利用Mathematica輔助教學(xué)是一項(xiàng)極有意義的工作。本文只是應(yīng)用了Mathematica計(jì)算和繪畫(huà)兩方面的功能，Mathematica還有許多豐富的功能有待利用。希望更多的高校教師能掌握并運(yùn)用Mathematica 軟件，共同促進(jìn)基礎(chǔ)物理教學(xué)思想和教學(xué)模式的現(xiàn)代化。

[參考文獻(xiàn)]

[1]管靖,彭芳麟,胡靜,等.理論力學(xué)教學(xué)現(xiàn)代化———“理論力學(xué)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)”課程的探索[J ].基礎(chǔ)物理，2001，(8):38-40.

[2]張志涌.精通Mathematica[M].北京:航空航天大學(xué)出版社，2000:115.

[3]漆安慎,杜嬋英.力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，1997:5.

[4]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社，1985:6第二版.

[5]王永昌.近代物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2006:5.