函數(shù)題中參數(shù)取值范圍的確定方法例談

楊培紹

一、問題的提出

函數(shù)題中求參數(shù)的取值范圍是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，常用的解題方法是分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值；但如果解析式中含ex、lnx或sinx等，則新函數(shù)的最值可能難以計(jì)算，導(dǎo)致無法做下去.下里例談幾種確定參數(shù)取值范圍的方法.

二、問題的解決

1.普遍方法——分離參數(shù)法

【例1】已知函數(shù)f（x）=x2+bx+a·lnx的圖像過點(diǎn)（1，1）.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若g（x）=f（x）+21x在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）易得f（x）=x2+a·lnx，

∴g（x）=x2+a·lnx+21x，

∴g′（x）=2x+a1x-21x2=2x3+ax-21x2，

∵g（x） 在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，則有以下兩種情況.

①如果g（x）單調(diào)遞增，則2x3+ax-2≥0a≥-2x3+21x在[1，+∞）上恒成立，

令F（x）=-2x2+21x，易知F（x）在[1，+∞）上遞減.

∴F（x）max=F（1）=-2+211=0，∴a≥0.

②如果g（x）單調(diào)遞減，同理可求得a≥0.

綜上：a的取值范圍是[0，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：通法容易理解掌握，若新函數(shù)的最值易求，則此通法為上策.

2.結(jié)構(gòu)變形——運(yùn)用整合思想法

【例2】（2012年全國新課標(biāo)卷第16題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinx1x2+1的最大值為M，最小值為m，則M+m=.

解析：若對(duì)y=f（x）求導(dǎo)，再利用單調(diào)性求最值將陷入繁冗的運(yùn)算中，無果而終，仔細(xì)觀察其表達(dá)式，將其結(jié)構(gòu)變形，得f（x）=2x+sinx1x2+1+1，F(xiàn)（x）=2x+sinx1x2+1是奇函數(shù)，至此，問題很容易就可以解決.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)式的一門科學(xué)，善于利用數(shù)學(xué)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)解決問題是具備較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.

3.移項(xiàng)轉(zhuǎn)化——畫基本函數(shù)的圖像解決

【例3】（2012年大綱卷第20題）

圖1設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）略討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）∵ax+cosx≤1+sinx，

設(shè)h（x）=ax-1，

φ（x）=sinx-cosx=2sin（x-π14），

∵ax+cosx≤1+sinxax-1≤sinx-cosxh（x）≤φ（x），

從圖1知，若h（x）≤φ（x）（x∈[0，π]）成立，

則問題轉(zhuǎn)化為求a≤kBD即可.

故ax-1≤sinx-cosx21πx-1≤sinx-cosx，

∵h(yuǎn)（0）=-1，φ（0）=-1，h（π）=π·a-1，φ（π）=1，

圖2下面只要證明：21πx-1≤sinx-cosx即可.

設(shè)F（x）=sinx-cosx-21πx+1，

∴F′（x）=cosx+sinx-21π，

設(shè)cosx0+sinx0-21π=0，

當(dāng)00；

當(dāng)x0

∴F（x）max=F（x0），又F（0）=0，F(xiàn)（π）=0，

∵F（x）≥0，

∴21πx-1≤sinx-cosx，

∴a≤21π.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”在解題中應(yīng)結(jié)合圖像通過移項(xiàng)、重組等方式將問題轉(zhuǎn)化為常見的、熟悉的函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等）.通過圖像研究函數(shù)問題是具備較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.

4.圖像轉(zhuǎn)化

【例4】已知函數(shù)f（x）=2x-1（x>0）

-x2-2x（x≤0），若函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

圖3解析：函數(shù)y=f（x）圖像如圖3所示，令f（x）-m=0得f（x）=m有三個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=m兩個(gè)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，由圖知0

點(diǎn)評(píng)：遇到與抽象函數(shù)、超越函數(shù)、超越方程、超越不等式、分段函數(shù)等有關(guān)的問題，應(yīng)盡量由題意轉(zhuǎn)化為圖像進(jìn)行解決，類似的問題如2012年高考題：當(dāng)0

5.猜想轉(zhuǎn)化——得到目標(biāo)再試證

【例5】（2008年全國卷22）已知函數(shù)f（x）=sinx12+cosx.

（1）略；

（2）如果x≥0時(shí)，f（x）≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：思路1分離參數(shù)得a≥sinx1x（2+cosx），然后求右式的最大值，思路符合常規(guī)想法，但再做下去就難了.

思路2先猜想轉(zhuǎn)換，得到目標(biāo)再證，設(shè)F（x）=sinx1x（2+cosx），∵x→0時(shí)，sinx≈x，F(xiàn)（x）→113，x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→0.猜測(cè)F（x）在[0，+∞）是遞增函數(shù)，∴a≥113.

下證：（1）a≥113時(shí)，f（x）≤ax對(duì)x≥0恒成立；

（2）當(dāng)a<113時(shí)，fx≤ax不是對(duì)一切x≥0成立.

下略.

點(diǎn)評(píng)：先猜再證，目標(biāo)明確就有證題方向了.

6.放縮轉(zhuǎn)化——丟ex、lnx或sinx

【例6】（2013年遼寧卷）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

（1）求證：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

設(shè)F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

設(shè)G（x）=x212+2cosx，

則G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上遞減，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上遞減，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

當(dāng)a+3≤0時(shí)，即a≤-3時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，

下證：當(dāng)a+3>0時(shí)，即a>-3時(shí)，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

設(shè)I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）時(shí)，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上遞減，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此時(shí)，f（x0）

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-3].

點(diǎn)評(píng)：遇到含有或lnx或sinx，若題目隱含有可放縮的條件（如（1）是為（2）做放縮提供條件），則放縮丟掉或lnx或sinx，使解析式更簡，然后使問題迎刃而解.

三、結(jié)束語

問題是數(shù)學(xué)的核心，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是要學(xué)會(huì)分析問題，然后解決問題.解決問題中，轉(zhuǎn)化（化歸）問題是關(guān)鍵，學(xué)生解決不了問題的原因大多是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的運(yùn)用不熟練，不能舉一反三.歸根結(jié)底是不會(huì)轉(zhuǎn)化（化歸）問題.本文列舉了求參數(shù)取值范圍的多種轉(zhuǎn)化（化歸）方法，旨在拋磚引玉，讓大家對(duì)這一問題有更多的解決方案以及做進(jìn)一步的研究.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）

【例6】（2013年遼寧卷）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

（1）求證：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

設(shè)F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

設(shè)G（x）=x212+2cosx，

則G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上遞減，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上遞減，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

當(dāng)a+3≤0時(shí)，即a≤-3時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，

下證：當(dāng)a+3>0時(shí)，即a>-3時(shí)，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

設(shè)I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）時(shí)，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上遞減，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此時(shí)，f（x0）

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-3].

點(diǎn)評(píng)：遇到含有或lnx或sinx，若題目隱含有可放縮的條件（如（1）是為（2）做放縮提供條件），則放縮丟掉或lnx或sinx，使解析式更簡，然后使問題迎刃而解.

三、結(jié)束語

問題是數(shù)學(xué)的核心，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是要學(xué)會(huì)分析問題，然后解決問題.解決問題中，轉(zhuǎn)化（化歸）問題是關(guān)鍵，學(xué)生解決不了問題的原因大多是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的運(yùn)用不熟練，不能舉一反三.歸根結(jié)底是不會(huì)轉(zhuǎn)化（化歸）問題.本文列舉了求參數(shù)取值范圍的多種轉(zhuǎn)化（化歸）方法，旨在拋磚引玉，讓大家對(duì)這一問題有更多的解決方案以及做進(jìn)一步的研究.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）

【例6】（2013年遼寧卷）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

（1）求證：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

設(shè)F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

設(shè)G（x）=x212+2cosx，

則G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上遞減，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上遞減，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

當(dāng)a+3≤0時(shí)，即a≤-3時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，

下證：當(dāng)a+3>0時(shí)，即a>-3時(shí)，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放縮丟e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

設(shè)I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）時(shí)，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上遞減，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此時(shí)，f（x0）

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-3].

點(diǎn)評(píng)：遇到含有或lnx或sinx，若題目隱含有可放縮的條件（如（1）是為（2）做放縮提供條件），則放縮丟掉或lnx或sinx，使解析式更簡，然后使問題迎刃而解.

三、結(jié)束語

問題是數(shù)學(xué)的核心，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是要學(xué)會(huì)分析問題，然后解決問題.解決問題中，轉(zhuǎn)化（化歸）問題是關(guān)鍵，學(xué)生解決不了問題的原因大多是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的運(yùn)用不熟練，不能舉一反三.歸根結(jié)底是不會(huì)轉(zhuǎn)化（化歸）問題.本文列舉了求參數(shù)取值范圍的多種轉(zhuǎn)化（化歸）方法，旨在拋磚引玉，讓大家對(duì)這一問題有更多的解決方案以及做進(jìn)一步的研究.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）