菲涅耳雙棱鏡干涉實驗的誤差改進

姚雪 都進學 王全武

(重慶科技學院數(shù)理學院，重慶 401331)

利用光的干涉、衍射原理進行光波波長測量實驗時，通常誤差較小，一般能控制在3%以內(nèi)。目前菲涅爾雙棱鏡干涉測鈉黃光的波長實驗實驗誤差卻偏大，一般只能控制在5%以內(nèi)。本次研究目的是提高測量精度，降低實驗誤差，改該實驗效果。

1 菲涅耳雙棱鏡干涉實驗測波長原理

菲涅耳雙棱鏡干涉實驗測波長作為大學物理的基本光學實驗之一，簡單易懂，實驗現(xiàn)象良好。菲涅耳雙棱鏡干涉實驗是利用雙棱鏡界面的兩次折射，將單縫s發(fā)生的光波陣面分成沿不同方向傳播的兩束光，這兩束光相當于由虛光源s1、s2發(fā)生的兩束相干光，在它們相重疊的空間區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生干涉。該區(qū)域中均可得到明暗交替的干涉條紋。實驗原理如圖1所示。

圖1 菲涅耳雙棱鏡干涉實驗原理圖

圖2 菲涅耳雙棱鏡干涉實驗簡化光路圖

根據(jù)干涉理論Δ=Kλ，為亮條紋，因此可推得亮條紋位置滿足以下關(guān)系:

暗條紋位置則滿足關(guān)系:

由式(1)、(2)可看出，任何兩條相鄰的亮條紋(或暗條紋)之間的距離即干涉條紋間距為:

所以計算光波波長的原理公式為:

只需要測出l、D和σx，就能根據(jù)式(4)來計算光波波長。

2 菲涅耳雙棱鏡干涉實驗測波長的不足

計算光波波長的原理公式非常經(jīng)典，簡單可測。大多數(shù)高校在該實驗中采用一次成像法計算l，平值法測σx，對D采用了近似相等的取值，無疑增大了系統(tǒng)誤差。

(1)D采用近似間接測法。以狹縫平面代替虛光源平面，以狹縫底座上的標線代替狹縫平面位置，用狹縫平面與觀察屏的距離代替D。這種近似方法存在狹縫與虛光源并不共面的系統(tǒng)誤差。即使D自身足夠大時，狹縫平面與虛光源平面相差很小，所含系統(tǒng)誤差可忽略。但狹縫與其底座上的標線也不共面。另外觀察屏位置無法直接測量，具體計算D時，用狹縫平面與目鏡距離減去廠家所設(shè)目鏡到觀察屏距離，進行間接計算，同樣會增大其系統(tǒng)誤差。

(2)l的數(shù)值一般采用一次成像法計算。即保持狹縫、雙棱鏡和測微目鏡位置不動，在雙棱鏡和觀察屏之間放上透鏡L，調(diào)節(jié)L使得在讀數(shù)顯微鏡中出現(xiàn)清晰的像 s′1、s′2，記下縫、雙棱鏡、透鏡 L 以及測微目鏡的位置。測出 s′1、s′2之間的距離 l′。根據(jù)透鏡成像光路得，故只要求出 a、b 值，讀數(shù)顯微鏡測出l′，就可算出l。此方法簡單，但同樣用狹縫到透鏡距離代替物距a，使a、b的值仍然存在較大的近似性，導致l的測量出現(xiàn)誤差。

(3)測量干涉條紋間距σx，采取連續(xù)讀出8σx或者10σx的寬度，然后求出平均值的方法計算。滿足D＞4f時，干涉條紋清晰可見，但光強原因?qū)е铝炼容^暗，在連續(xù)數(shù)多條條紋間距時非常容易出錯，會導致較大的系統(tǒng)誤差。

3 實驗優(yōu)化措施

針對以上產(chǎn)生誤差的原因，通過大量翻閱資料并進行推算，找出減小誤差的具體理論計算公式及相應的測量方法。

(1)兩虛光源間的距離l以及虛光源到屏的距離D理論計算公式推導。圖3所示為凸透鏡二次成像的光路圖，其中透鏡處于I位置時成像物距為u1，像距為v1，處于Ⅱ位置時成像物距為u2，像距為v2，透鏡焦距為f，透鏡I、Ⅱ位置的距離為D1。下面利用二次成像推導的虛光源間距離l的計算公式。

圖3 二次成像光路圖

當透鏡處于Ⅰ位置成像時，有:

根據(jù)空氣中的高斯公式得:

當透鏡處于位置Ⅱ成像時，有u2=D-v2，根據(jù)空氣中的高斯公式可得二次成像時的焦距:

同一透鏡焦距f相同，由式(5)、(6)可得

對于虛光源s1，結(jié)合式(7)，有

對于虛光源s2，有:

由式(8)、(9)兩式相乘可得:

下面利用以上結(jié)論推導D確切計算公式

由式(8)、(9)兩式相除可得:

結(jié)合式(7)(10)可得

由此可見，采用二次成像法，只要測出 l1，l2，D1，便能較為準確地求出l和D。

3.2 逐差法計算σx

條紋間距為等間距，實驗中都能調(diào)出15個左右的條紋間距。為了克服連續(xù)多個條紋間距容易數(shù)錯的問題，我們可以采用逐差法計算以減小誤差。具體做法是:克服回程差后，向著同一個方向每2個條紋讀一次其位置坐標，連續(xù)讀出6組數(shù)據(jù)，記為k1，k2，k3，…，k6。用逐差法計算:

4 實驗數(shù)據(jù)實例對比分析

當調(diào)試好滿足條件的干涉條紋后，固定狹縫、雙棱鏡、測微目鏡的位置分別分別為133.00、122.30、32.63 cm。二次成像的透鏡位置分別為76.25、47.78 cm。虛光源間距離l以及條紋間距σx的測量數(shù)據(jù)分別如表1、表2、表3。

表1 二次成像法測量數(shù)據(jù) mm

顯然，根據(jù)改進前的計算方法，由表1、表2可得:

表3 逐差法測量條紋間距σx mm

根據(jù)改進后的推導公式及二次成像法，由表1、表3可得:

根據(jù)改進后的公式和方法多次進行測量，數(shù)據(jù)對比分析發(fā)現(xiàn)誤差均較改進前小，并且改進后誤差基本能控制在1%以內(nèi)。由此可見，該方法對減小誤差有一定的參考意義。

5 結(jié)論

(1)采用二次成像法，可直接用讀數(shù)顯微鏡較準確地測量l1、l2，根據(jù)公式計算兩虛光源間距離l，從而可提高l的精確度。

(3)多次讀數(shù)，用逐差法計算σx，可有效降低讀數(shù)誤差。

將以上理論分析應用到實驗當中，測出l、D和σx，代入原理公式計算出光波的波長。經(jīng)多次測量，相對誤差均可以控制在1%以內(nèi)。

實驗中，在二次成像法成放大像時測量像距，遇到了困難，像找不到。分析發(fā)現(xiàn)其原因，D大于4f雖然都能二次成像，但當D過大，會導致成放大像時兩虛光源成像的距離l2過大，超出了讀數(shù)顯微鏡的范圍，不便測量。D過小，兩次成像的透鏡距離過小，不便測量，且增大了D1的誤差。經(jīng)過反復實驗發(fā)現(xiàn)，D只略大于4f就行了。當透鏡焦距等于190 mm時，狹縫和顯微鏡的距離為100～110 cm時效果較好，不會出現(xiàn)上述問題。

［1］葛松華，唐亞明.菲涅耳雙棱鏡干涉實驗中虛光源位置的討論［J］.大學物理實驗，2011(2):56－57.

［2］唐海燕.大學物理實驗［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2010:192－196.

［3］洪麗.菲涅耳雙棱鏡干涉實驗中凸透鏡的成像［J］.海南師范學院學報，2007(1):48－49.