以學生經(jīng)歷數(shù)學化過程為目標設計教學活動

張苾菁

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“兒童與其說是學習數(shù)學，不如說是學習數(shù)學化。”這個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經(jīng)意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至會出現(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數(shù)學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。數(shù)學化分為兩個層次，橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化。橫向數(shù)學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數(shù)學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學活動其實就是實現(xiàn)了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數(shù)學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數(shù)學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數(shù)學的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數(shù)學的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學化的過程。橫向數(shù)學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數(shù)交換位置還是兩個數(shù)，原來三個數(shù)結合以后還是三個數(shù)，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個數(shù)變成了四個數(shù)，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數(shù)學語言來表述。這是學生從橫向數(shù)學化走向縱向數(shù)學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數(shù)，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數(shù)學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數(shù)，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學符號研究數(shù)學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數(shù)學活動，逼著學生用數(shù)學的方法思考問題，表達數(shù)學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學化深入的結果。這才是數(shù)學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數(shù)學的抽象性，實現(xiàn)數(shù)學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數(shù)學化生成生活與數(shù)學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數(shù)學化生成抽象數(shù)學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數(shù)學思維。在我們的數(shù)學課堂教學中,橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化應該是同時存在的，學生在經(jīng)歷數(shù)學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數(shù)學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數(shù)學問題研究時的數(shù)學化立場。如果說從生活走向數(shù)學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數(shù)學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數(shù)學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數(shù)學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數(shù)學課的數(shù)學味會更濃郁。?

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荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“兒童與其說是學習數(shù)學，不如說是學習數(shù)學化?！边@個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經(jīng)意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至會出現(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數(shù)學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。數(shù)學化分為兩個層次，橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化。橫向數(shù)學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數(shù)學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學活動其實就是實現(xiàn)了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數(shù)學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數(shù)學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數(shù)學的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數(shù)學的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學化的過程。橫向數(shù)學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數(shù)交換位置還是兩個數(shù)，原來三個數(shù)結合以后還是三個數(shù)，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個數(shù)變成了四個數(shù)，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數(shù)學語言來表述。這是學生從橫向數(shù)學化走向縱向數(shù)學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數(shù)，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數(shù)學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數(shù)，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學符號研究數(shù)學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數(shù)學活動，逼著學生用數(shù)學的方法思考問題，表達數(shù)學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學化深入的結果。這才是數(shù)學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數(shù)學的抽象性，實現(xiàn)數(shù)學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數(shù)學化生成生活與數(shù)學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數(shù)學化生成抽象數(shù)學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數(shù)學思維。在我們的數(shù)學課堂教學中,橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化應該是同時存在的，學生在經(jīng)歷數(shù)學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數(shù)學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數(shù)學問題研究時的數(shù)學化立場。如果說從生活走向數(shù)學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數(shù)學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數(shù)學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數(shù)學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數(shù)學課的數(shù)學味會更濃郁。?

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荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“兒童與其說是學習數(shù)學，不如說是學習數(shù)學化?！边@個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經(jīng)意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現(xiàn)出的整體性和連貫性不足，甚至會出現(xiàn)為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數(shù)學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。數(shù)學化分為兩個層次，橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化。橫向數(shù)學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數(shù)學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據(jù)這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數(shù)學活動其實就是實現(xiàn)了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數(shù)學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經(jīng)驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數(shù)學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數(shù)學的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數(shù)學的現(xiàn)實性進行橫向數(shù)學化的過程。橫向數(shù)學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數(shù)并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數(shù)交換位置還是兩個數(shù)，原來三個數(shù)結合以后還是三個數(shù)，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數(shù)的個數(shù)發(fā)生了變化，由形式上的三個數(shù)變成了四個數(shù)，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘以及兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數(shù)的特征和數(shù)與數(shù)之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數(shù)不變，只變化乘數(shù)，為的就是聚焦乘數(shù)的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現(xiàn)在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數(shù)不變，只變化加數(shù)，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經(jīng)形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數(shù)、變化加數(shù)的過程中，結合具體情境所體現(xiàn)的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數(shù)學語言來表述。這是學生從橫向數(shù)學化走向縱向數(shù)學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數(shù)？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數(shù)，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現(xiàn)等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數(shù)分別乘上這個數(shù)，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現(xiàn)的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數(shù)學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數(shù)據(jù)，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現(xiàn)在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數(shù)，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數(shù)學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數(shù)學符號研究數(shù)學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數(shù)學活動，逼著學生用數(shù)學的方法思考問題，表達數(shù)學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數(shù)學化深入的結果。這才是數(shù)學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數(shù)學的抽象性，實現(xiàn)數(shù)學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數(shù)學化生成生活與數(shù)學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數(shù)學化生成抽象數(shù)學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數(shù)學思維。在我們的數(shù)學課堂教學中,橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化應該是同時存在的，學生在經(jīng)歷數(shù)學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數(shù)、四個數(shù)的和與一個數(shù)相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數(shù)學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數(shù)學問題研究時的數(shù)學化立場。如果說從生活走向數(shù)學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數(shù)學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數(shù)學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數(shù)學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數(shù)學課的數(shù)學味會更濃郁。?

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