幾類一階常微分方程及其解法

肖菊霞

摘 要： 針對(duì)四類一階常微分方程，分別是變量可分離或可化為變量可分離的一階常微分方程；一階線性微分方程；全微分方程；有冪級(jí)數(shù)解的一階微分方程，對(duì)其先概括要點(diǎn)，再選取例題，逐層剖析，從而教給學(xué)生一種解題的規(guī)律.

關(guān)鍵詞： 變量可分離 一階線性微分方程 全微分方程 冪級(jí)數(shù)解

引言

含有自變量、未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.通過解微分方程，可以得到所需的函數(shù).微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁，是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系，其形式千變?nèi)f化.微分方程的解有時(shí)候可以通過觀察法直接得到，絕大部分微分方程的解用觀察法是很難得到的，只有部分類型的微分方程可以通過特定的方法求出來.因此，在學(xué)習(xí)微分方程的內(nèi)容時(shí)，應(yīng)熟練掌握可求解的微分方程的類型.微分方程類型不同，其解法也大不一樣.

1.變量可分離或可化為變量可分離的一階常微分方程

1.1如果一階微分方程可寫成g（y）dy=f（x）dx，則稱為可分離變量微分方程.此時(shí)，兩邊積分，得：

？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx+C為微分方程的通解.

例1：求（y+1）■■+x■=0的通解.

解：原方程分離變量，得：（y+1）■dy=-x■dx，

兩端積分得■（y+1）■=-■x■+C，

故而原方程的通解為：3x■+4（y+1）■=C■（C■=12c）.

1.2如果一階微分方程可寫成■=f（ax+by+c），

令u=ax+by+c，則■=a+b■，從而■=■（■-a），

代入原方程，得到du=（bf（u）+a）dx，再利用可分離變量微分方程求解，得到原函數(shù)后用u=ax+by+c代換即可得到原方程的通解.

例2：求y′=sin■（x-y+1）的通解.

解：令u=x-y+1，則■=1-■，從而■=■-1，

代入原方程，得到：■=dx，

解得tanu=x+C，故所求通解為tan（x-y+1）=x+C.

1.3如果一階微分方程可寫成■=φ（■），稱為一階齊次方程，此時(shí)

令y=ux，則■=u+x■，

代入原方程，得到：u+x■=φ（u），即■=■，然后用可分離變量微分方程求解，得到原函數(shù)后用u=■代換即可得到原方程的通解.

例3：求y′=■+tan■的通解.

解：令y=ux，則■=u+x■，

代入原方程，得到：u+x■=u+tanu，即■=■，

兩邊積分，得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|，即sinu=xC，

故所求通解為sin■=xC.

1.4如果一階微分方程可寫成■=f（■），其中c■，c■不全為零，且■≠■，

則可通過解方程組a■x+b■y+c■=0a■x+b■y+c■=0，解得x=x■y=y■.

做變量替換x=X+x■y=Y+y■，則■=■，

代入原方程，得■=f（■），此為齊次方程，在得到原函數(shù)后，變量替換即可得到原方程的通解.

例4：求■=f（■）的通解.

解：令x+y+4=0x-y-6=0，解得x=1y=-5.

做變量替換x=X+1y=Y-5，則■=■，代入原方程，得■=f（■），

令Y=uX，則原方程化為■du=■，

其解為：arctanu-■ln（1+u■）=ln|CX|.

代回原變量得通解：arctan（■）-■ln（1+（■）■）=ln|C（x-1）|.

2.一階線性微分方程

2.1一階線性齊次方程■+p（x）y=0的通解為y=Ce■.

2.2一階線性非齊次方程■+p（x）y=Q（x）的通解為：

y=e■（？蘩Q（x）e■dx+C）.

例5：求■+y=cosx的通解.

解：這里p（x）=1，Q（x）=cosx

代入上面公式，可知方程解為：

y=e■（？蘩cosxe■dx+C）=e■（？蘩cosxe■dx+C）

=e■（■+C）=■+Ce■

2.3伯努利（Bernoulli）方程■+p（x）y=Q（x）y■，解法是令z=y■，

代回原方程，得到：■+（1-n）p（x）y=（1-n）Q（x），此方程為一階線性非齊次方程，求出通解后，用z=y■代回，就可得到原方程的通解.

例6：求■-3xy=xy■的通解.

解：此方程為伯努利方程，令z=y■，則■=-y■■，代入原方程，得：

■+3xz=-x，

其通解為z=e■（？蘩-xe■dx+C）=e■（？蘩-xe■dx+C）

=e■（-■e■+C）=-■+Ce■，

用z=y■代入上式，得原方程的通解為：y■=-■+Ce■.

3.全微分方程

若微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dx=0 （1）的左端恰好是某二元函數(shù)的全微分，即du（x，y）=P（x，y）dx+Q（x，y）dy，則方程稱為全微分方程.全微分方程的通解為u（x，y）=C；而當(dāng)P（x，y），Q（x，y）在單連通區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且■=■時(shí)，方程（1）為全微分方程，此時(shí)微分方程通解為：

u（x，y）=？蘩■■P（x，y）dx+Q（x，y）dy

=■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■P（x，y■）dx+？蘩■■Q（x，y）dy

=■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■Q（x■，y）dy+？蘩■■P（x，y）dx

=C

其中（x■，y■）為單連通區(qū)域D內(nèi)任意一點(diǎn).

例7：求xy■dx+x■y=0的通解.

解：這里P（x，y）=xy■，Q（x，y）=x■y

顯然在整個(gè)xoy面上，P（x，y），Q（x，y）都有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且■=■=2xy，

取x■=0，y■=0，則原方程的通解為：

u（x，y）=？蘩■■xy■dx+x■ydy==？蘩■■0dx+？蘩■■x■ydy=■=C.

4.有冪級(jí)數(shù)解的一階微分方程

在微分方程■=f（x，y） （2）中，若（x■，y■）在f（x，y）的定義域內(nèi)，且f（x，y）是（x-x■），（y-y■）的多項(xiàng)式：

f（x，y）=a■+a■（x-x■）+a■（y-y■）+…+a■（x-x■）■（y-y■）■

則微分方程的通解可展開為x-x■的冪級(jí)數(shù)：

y=a■+a■（x-x■）+a■（x-x■）■+…+a■（x-x■）■+… （3）

其中a■，a■，…，a■，…為待定系數(shù)，將（3）代入（2）中，恒等式兩端x-x■同次冪的系數(shù)相等，就可得到常數(shù)a■，a■，…，a■，…的值，以這些常數(shù)為系數(shù)的級(jí)數(shù)（3）在收斂區(qū)間內(nèi)就是方程（2）的解.

例8：試用冪級(jí)數(shù)求微分方程y′=xy+x+1的通解.

解：記f（x，y）=xy+x+1，則（0，0）在其定義域內(nèi)，且f（x，y）是x，y的多項(xiàng)式，故而微分方程存在冪級(jí)數(shù)形式的通解，記為y=∑■■a■x■，

代入原方程，得到：∑■■na■x■=∑■■a■x■+x+1，

比較等式兩端x的同次冪的系數(shù)，得到：

a■=12a■=a■+1（n+1）a■=a■，

從而得到a■=1 a■=■a■=■ a■=■，

由于∑■■a■x■與∑■■a■x■的收斂域都為（-∞，+∞），故

y=∑■■a■x■+∑■■a■x■

=∑■■■x■+（a■+1）∑■■■-1 x∈（-∞，+∞）為微分方程的通解.

5.建議

在解一階常微分方程時(shí)，要將所求方程與相應(yīng)的方法對(duì)應(yīng)起來，從而正確地解決問題.具體地說，常常是根據(jù)所給方程的特點(diǎn)，設(shè)法做適當(dāng)變換，將其化為易于求解的方程類型.對(duì)于同一個(gè)方程，可能有不同的解法，我們要注意比較哪種解法更簡單，當(dāng)然，這需要仔細(xì)觀察及大量練習(xí).因此我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，要求學(xué)生要注意認(rèn)真審題，認(rèn)清方程的類型，還要掌握各種類型方程的具體解法.只有這樣，才能使學(xué)生熟練掌握解題技巧，提高應(yīng)變能力，開闊解題思路，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

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