全息數(shù)據(jù)外推與插值技術(shù)的極限學(xué)習(xí)機(jī)方法

孫超, 何元安, 商德江, 劉月嬋

(1.哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.船舶系統(tǒng)工程研究院，北京 100036)

近場(chǎng)聲全息技術(shù)[1-4](near-field acoustic holography ，NAH)是一種研究噪聲源識(shí)別和聲場(chǎng)輻射問(wèn)題的重要技術(shù)。通過(guò)測(cè)量聲源表面附近的聲場(chǎng)信息，逆向重建聲源表面的各種聲學(xué)量，進(jìn)而重建聲源外部三維聲場(chǎng)。該技術(shù)用于水下結(jié)構(gòu)振動(dòng)的非接觸探測(cè)和輻射噪聲測(cè)量，聲像清晰，噪聲特性分析詳盡，能夠識(shí)別主要激勵(lì)源，從而有效指導(dǎo)噪聲控制方案。因此，該技術(shù)發(fā)展很快，并被應(yīng)用于實(shí)際工程中。由于算法自身限制，通常要求全息測(cè)量孔徑至少為聲源尺寸2倍以上，以保證孔徑邊緣的聲壓得到足夠的衰減，從而減小孔徑有限性導(dǎo)致的誤差。另外，對(duì)于大尺寸或結(jié)構(gòu)復(fù)雜聲源所產(chǎn)生的聲場(chǎng)，測(cè)量時(shí)通常要布置較多測(cè)點(diǎn)，但需要大量的傳感器和采集設(shè)備，使測(cè)量工作量大大增加，在一定程度上也限制了NAH技術(shù)的應(yīng)用。近年來(lái)，局部近場(chǎng)聲全息技術(shù)(patch NAH)的興起在一定程度上突破了測(cè)量孔徑的限制，可以在小孔徑條件下實(shí)施NAH技術(shù)，從而為大尺寸聲源重建提供了可能。全息數(shù)據(jù)外推就是一種典型的局部近場(chǎng)聲全息技術(shù)，通過(guò)對(duì)較小測(cè)量孔徑內(nèi)的聲壓數(shù)據(jù)進(jìn)行外推，獲得了較大孔徑內(nèi)的聲壓數(shù)據(jù)近似值，間接地增大了測(cè)量孔徑，從而減小了有限孔徑效應(yīng)對(duì)全息重建精度的影響。國(guó)內(nèi)外都有相關(guān)學(xué)者對(duì)此問(wèn)題已進(jìn)行了較深入地研究，取得了較多成果[5-12]。

針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極限學(xué)習(xí)機(jī)算法(extreme learning machine，ELM)具有逼近非線性函數(shù)的能力，使其適用于解決信號(hào)處理過(guò)程中的分類(lèi)辨識(shí)和回歸擬合問(wèn)題。本文將其與NAH技術(shù)相結(jié)合，提出了一種基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的全息數(shù)據(jù)外推與插值技術(shù)。

1 極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)理論

常規(guī)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要有前饋、反饋和局部逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其中，單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其良好的學(xué)習(xí)性能在許多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。極限學(xué)習(xí)機(jī)ELM算法[13-15]是單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的新算法，該算法隨機(jī)產(chǎn)生輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值和隱含層神經(jīng)元的閾值。在訓(xùn)練過(guò)程中，只需要設(shè)定隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，便可獲得唯一最優(yōu)解。該方法與傳統(tǒng)訓(xùn)練方法相比具有學(xué)習(xí)速度快、泛化性能好等優(yōu)點(diǎn)。典型的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層和輸出層組成，輸入層與隱含層及隱含層與輸出層間由神經(jīng)元連接。設(shè)輸入層有n個(gè)神經(jīng)元，對(duì)應(yīng)n個(gè)輸入變量；隱含層有L個(gè)神經(jīng)元；輸出層有m個(gè)神經(jīng)元，對(duì)應(yīng)m個(gè)輸出變量，設(shè)輸入層與隱含層間的連接權(quán)值為w，隱含層與輸出層間的連接權(quán)值為β,隱含層神經(jīng)元閾值為b,則w、β、b可表示為

其中，wji為輸入層第i個(gè)神經(jīng)元與隱含層第j個(gè)神經(jīng)元間的連接權(quán)值,βjk為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元與輸出層第k個(gè)神經(jīng)元間的連接權(quán)值。設(shè)隱含層神經(jīng)元的激活函數(shù)為g(x)，則網(wǎng)絡(luò)輸出為

(1)

式中：Q為訓(xùn)練集的樣本數(shù)，wi=[wi1wi2…win]，xj=[x1jx2j…xnj]T為訓(xùn)練樣本，上式可表示為

(2)

H稱(chēng)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層輸出矩陣，表達(dá)式為

(3)

在此基礎(chǔ)上，由Huang等[20]提出的定理可知當(dāng)激活函數(shù)g(x)無(wú)限可微時(shí)，單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)w和b在訓(xùn)練前可以隨機(jī)選擇，且在訓(xùn)練過(guò)程中保持不變。隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值β可以通過(guò)求解下面方程組獲得

(4)

式中：h(x)為測(cè)試集的隱含層輸出矩陣。Huang等給出當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)遠(yuǎn)大于隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)有：

(5)

否則

(6)

(7)

式中:K(u,v)為核函數(shù)，通常采用徑向基核函數(shù)

(8)

對(duì)于參數(shù)C和γ，采用交叉驗(yàn)證方法尋找其最佳值，然后利用最佳參數(shù)訓(xùn)練模型。通過(guò)引入核函數(shù)，避免了選擇隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)和定義隱含層的輸出矩陣，進(jìn)一步提高了ELM的學(xué)習(xí)速度和泛化能力。本文即采用這種基于核函數(shù)的ELM對(duì)全息數(shù)據(jù)外推和插值問(wèn)題進(jìn)行研究。

2 基于ELM的全息數(shù)據(jù)外推與插值

如圖2所示，由測(cè)量區(qū)域S1中的測(cè)點(diǎn)聲壓外推區(qū)域S2-S1中的未測(cè)點(diǎn)聲壓，并保證預(yù)測(cè)值和盡可能接近真實(shí)值。將外推值與測(cè)量值組合獲得更大全息孔徑內(nèi)的聲場(chǎng)信息，相當(dāng)于間接增大了全息測(cè)量面。這樣，有效地減小了測(cè)量孔徑，降低工作量，并提高了重建精度。

圖2 全息數(shù)據(jù)外推示意圖

概括起來(lái)，基于ELM的數(shù)據(jù)外推主要為以下步驟:1)選取測(cè)量區(qū)域S1中的坐標(biāo)Xs、Ys和復(fù)聲壓作為訓(xùn)練樣本集，其中坐標(biāo)值為網(wǎng)絡(luò)的輸入值，而復(fù)聲壓的實(shí)部或虛部分別作為網(wǎng)絡(luò)輸出值，這樣就構(gòu)造出兩類(lèi)不同的網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行訓(xùn)練；2)根據(jù)需要外推的區(qū)域S2-S1確定位置坐標(biāo)(Xpn,Ypn)，n為預(yù)測(cè)的點(diǎn)數(shù)，同訓(xùn)練樣本集中的坐標(biāo)組成預(yù)測(cè)樣本集中的輸入值，輸入至前面訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的輸出值為要預(yù)測(cè)的目標(biāo)值，即擴(kuò)展后的全息面S2上的聲壓實(shí)部和虛部，并保持初始全息面S1上的數(shù)據(jù)不變；3)根據(jù)外推后全息數(shù)據(jù)進(jìn)行NAH計(jì)算，插值步驟與外推相似，插值區(qū)域?yàn)槿y(cè)量面S1測(cè)點(diǎn)間的插入點(diǎn)。

3 數(shù)值仿真

3.1 全息數(shù)據(jù)外推

首先驗(yàn)證該方法在解決全息數(shù)據(jù)外推問(wèn)題的有效性。設(shè)平面內(nèi)有2點(diǎn)聲源，坐標(biāo)分別為(0.2,0.2,0)和(-0.2,-0.2,0)，兩聲源強(qiáng)度比為2∶1。測(cè)量面位于z=0.1 m，尺寸0.3 m×0.3 m(-0.15 m≤x≤0.15 m,-0.15 m≤y≤0.15 m), 測(cè)點(diǎn)間隔0.025 m,包含13×13個(gè)測(cè)點(diǎn)。外推面0.5 m×0.5 m(-0.25 m≤x≤0.25 m,-0.25 m≤y≤0.25 m)包含21×21個(gè)測(cè)點(diǎn)。分析頻率為500、1 800、3 000 Hz。為了比較外推數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，定義外推誤差公式：

(9)

式中：pt為各點(diǎn)理論復(fù)聲壓，Pa;pe為外推得到的全息面復(fù)聲壓,Pa。結(jié)果見(jiàn)圖3。圖中白色方框?yàn)槌跏既y(cè)量孔徑，由于全息面較小，測(cè)量孔徑并未能完全覆蓋聲壓峰值位置。通過(guò)外推方法，聲場(chǎng)的輻射區(qū)域都被較好地恢復(fù)，外推結(jié)果與理論值基本一致。測(cè)量未得到的峰值區(qū)域得到了準(zhǔn)確恢復(fù)，并且峰值和位置和理論值很相似。外推誤差分別為7.91%、7.54%和12.43%。測(cè)量面的全息數(shù)據(jù)經(jīng)外推后共441個(gè)測(cè)點(diǎn)，與實(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)相比增加1.6倍，說(shuō)明本方法能夠有效增大測(cè)量孔徑的聲場(chǎng)外推方法。

(a) 500 Hz理論聲壓

(b) 500 Hz外推聲壓

(c)1 800 Hz理論聲壓

(d) 1 800 Hz外推聲壓

(e) 3 000 Hz理論聲壓

(f) 3 000 Hz外推聲壓

接下來(lái)采用四周為無(wú)限大障板上的簡(jiǎn)支平板作為研究對(duì)象，平板在空氣中受簡(jiǎn)諧力激勵(lì)。選取參數(shù)如下：鋼板長(zhǎng)寬均為0.6 m，厚度為0.006 m，密度為7.8×103kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2。選取板所在平面為z=0 m,全息面位置為z=0.06 m的平面。中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，激勵(lì)點(diǎn)位置在(-0.05 m,-0.04 m)，激勵(lì)力幅值為5 N，頻率分別為200、500、600、1 000 Hz。長(zhǎng)寬方向的測(cè)量間隔均為0.025 m。全息面上S1的尺寸為-0.2 m≤x≤0.2 m,-0.2 m≤y≤0.2 m;擴(kuò)展后的區(qū)域-0.3 m≤x≤0.3 m,-0.3 m≤y≤0.3 m。測(cè)量面S1共包含17×17個(gè)測(cè)點(diǎn)，擴(kuò)展面S2共包含25×25個(gè)測(cè)點(diǎn)。計(jì)算過(guò)程中信噪比為30 dB，其中白色矩形框?yàn)镾1中的仿真聲壓測(cè)量數(shù)據(jù)，采用ELM方法外推S2中的聲壓數(shù)據(jù)。測(cè)量面上復(fù)聲壓采用瑞利第一積分計(jì)算得出。另外，為分析本方法在較小測(cè)量孔徑下聲場(chǎng)外推精度，將全息測(cè)量孔徑減少為0.3 m×0.3 m (-0.15 m≤x≤0.15 m,-0.15 m≤y≤0.15 m)，測(cè)點(diǎn)間隔仍為0.025 m，擴(kuò)展后的區(qū)域?yàn)?.6 m×0.6 m (-0.3 m≤x≤0.3 m,-0.3 m≤y≤0.3 m)，即由13×13個(gè)測(cè)點(diǎn)外推25×25個(gè)測(cè)點(diǎn)。這里只給出600 Hz和1 kHz的仿真結(jié)果，見(jiàn)圖4和圖5，外推誤差詳見(jiàn)表1。

表1 不同全息孔徑數(shù)據(jù)外推誤差

能夠看到，通過(guò)聲場(chǎng)外推得到的聲壓分布峰值與理論值相比精度依然較高。不同頻率全息面的聲場(chǎng)外推結(jié)果與理論值吻合得較好。在較低頻率時(shí)，外推精度較高；當(dāng)頻率變大時(shí)，聲場(chǎng)分布變得復(fù)雜，精度有所下降。當(dāng)輸入的全息數(shù)據(jù)變少時(shí)，該方法的外推效果依然較好,全息數(shù)據(jù)經(jīng)外推后與實(shí)際測(cè)點(diǎn)相比增加了456個(gè)測(cè)點(diǎn)。但高頻時(shí)由于聲場(chǎng)信息獲取較少，外推精度有所下降。

(a) 600 Hz理論聲壓

(b) 600 Hz外推聲壓

(c)1 000 Hz理論聲壓

(d) 1 000 Hz外推聲壓

(a) 1 000 Hz測(cè)量聲壓幅值

3.2 采用外推數(shù)據(jù)重建聲場(chǎng)

在前面平板輻射聲場(chǎng)外推的基礎(chǔ)上，基于外推數(shù)據(jù)采用統(tǒng)計(jì)最優(yōu)近場(chǎng)聲全息(SONAH)進(jìn)行重建，并與基于初始測(cè)量值的重建效果和重建面的理論值相比較。全息面尺寸0.3 m×0.3 m，重建面位于z=0.02 m，大小0.6 m×0.6 m，其他參數(shù)不變。不同頻率得到的重建誤差見(jiàn)表2。

可以看到在不同頻率時(shí)，采用基于初始測(cè)量值的重建聲場(chǎng)和理論值相比誤差較大，而采用基于ELM數(shù)據(jù)外推得到的全息面數(shù)據(jù)進(jìn)行聲場(chǎng)重建效果較好，重建精度提高很多。隨著頻率升高，誤差逐漸變大，這是由于聲場(chǎng)外推的精度隨著頻率的升高而下降造成的，但仍比外推前的效果要好，表明該方法是一種有效的Patch NAH技術(shù)。

表2 不同全息孔徑數(shù)據(jù)外推誤差

3.3 全息數(shù)據(jù)插值

仍采用單點(diǎn)激勵(lì)無(wú)限大障板上的簡(jiǎn)支平板作為研究對(duì)象，測(cè)量參數(shù)和平板參數(shù)與上節(jié)相同。文中給出1 kHz時(shí)插值前后的聲壓幅值，見(jiàn)圖5所示,表3給出不同頻率時(shí)插值聲壓與理論聲壓的誤差。為了比較方法的有效性及插值點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)插值精度的影響，將全息面測(cè)點(diǎn)間隔設(shè)為0.05、0.1、0.15 m，插值后間隔0.025 m，即分別由13×13個(gè)、7×7個(gè)和5×5個(gè)的測(cè)點(diǎn)網(wǎng)格插值為25×25個(gè)虛擬網(wǎng)格。

表3 不同全息數(shù)據(jù)的插值精度

通過(guò)比較可知，基于ELM的插值方法在低頻時(shí)精度較高，與理論聲壓相比誤差很小；隨著頻率的升高，5×5個(gè)全息數(shù)據(jù)輸入時(shí)將導(dǎo)致方法失效，這是由于頻率升高，波長(zhǎng)變小，單位波長(zhǎng)內(nèi)采集到的聲場(chǎng)信息較少，而高頻時(shí)聲場(chǎng)更為復(fù)雜，需要更多的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)。當(dāng)輸入數(shù)據(jù)量增大時(shí)，插值精度顯著提高，誤差基本在10%以?xún)?nèi)，達(dá)到了預(yù)期效果。通過(guò)數(shù)值計(jì)算可知，該方法對(duì)于提高NAH采集效率進(jìn)而提高NAH的重建精度是很有效的。

3.4 采用插值數(shù)據(jù)重建聲場(chǎng)

采用上節(jié)7×7個(gè)測(cè)點(diǎn)，結(jié)合SONAH算法進(jìn)行全息重建，并與采用插值后25×25個(gè)虛擬測(cè)點(diǎn)重建的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。重建面位于z=0.02 m，其他參數(shù)不變。圖6給出f=500 Hz情況下重建聲壓幅值對(duì)比?？梢钥闯?，插值后的全息面精度和重建圖像的空間分辨率均明顯提高，4個(gè)不同頻率插值后的重建誤差分別為4.05%、17.64%、23.9%和31.54%。

(a) 插值前重建面聲壓幅值

(b) 插值后重建面聲壓幅值

(c)重建面理論聲壓幅值

3.5 基于ELM的有限空間聲場(chǎng)插值

基于ELM的聲場(chǎng)插值技術(shù)除了可以將自由聲場(chǎng)插值外，也可用于非自由聲場(chǎng)插值。應(yīng)用聲學(xué)有限元軟件ACTRAN對(duì)有限空間內(nèi)聲場(chǎng)進(jìn)行仿真，有限元模型為邊長(zhǎng)1 m的立方體網(wǎng)格,如圖7所示。

圖7 非自由聲場(chǎng)仿真

仿真過(guò)程中將其中一平面(圖7中上表面)始終設(shè)置為水-空氣界面，另外5個(gè)表面通過(guò)設(shè)置不同導(dǎo)納使其滿(mǎn)足阻抗邊界、絕對(duì)軟邊界和絕對(duì)硬邊界(反射系數(shù)分別為0.5、-1、1)。在立方體水域中聲場(chǎng)由3個(gè)同相相干點(diǎn)源產(chǎn)生，點(diǎn)源位置分別為(0.1,0,0)、(-0.1,0,0)和(0.4,0,0)，源強(qiáng)之比為1∶2∶1。全息面為半徑為0.25 m的柱面測(cè)量面，長(zhǎng)0.8 m，分析頻率100～3 000 Hz。按照下面4種不同測(cè)點(diǎn)情況對(duì)不同邊界條件聲場(chǎng)進(jìn)行插值：1)軸向間隔0.1 m，周向間隔18°；2)軸向間隔0.1 m，周向間隔36°；3)軸向間隔0.2 m，周向間隔18°；4)軸向間隔0.2 m，周向間隔36°。將每種測(cè)點(diǎn)均插值成為軸向間隔0.05 m，周向間隔18°的測(cè)量面，因此插值后每測(cè)量面有340個(gè)測(cè)點(diǎn)，將插值后的結(jié)果與理論值進(jìn)行對(duì)比得到插值誤差見(jiàn)圖8所示。

(a) 阻抗邊界

(b) 絕對(duì)軟邊界

(c)絕對(duì)硬邊界

可以看到，在2 500 Hz以下不同邊界的聲場(chǎng)插值誤差均小于6%，精度較高；隨著頻率的升高，誤差逐漸變大，這是由于隨著頻率的升高，聲波波長(zhǎng)逐漸變小，在單位波長(zhǎng)內(nèi)的測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)也逐漸變少，由于測(cè)點(diǎn)信息的不足導(dǎo)致了插值的精度有所下降。另外，從圖中也能發(fā)現(xiàn)軸向插值倍數(shù)對(duì)插值精度的影響較大，誤差隨著軸向插值倍數(shù)的增加而變大，而周向插值倍數(shù)則影響較弱。當(dāng)測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)為2)情況時(shí)，此時(shí)只有90個(gè)測(cè)點(diǎn)，通過(guò)插值得到了340個(gè)測(cè)點(diǎn)，且不同頻率的誤差都在5%以下。可見(jiàn)，通過(guò)聲場(chǎng)插值可以大大節(jié)省工作量，提高了工作效率。

(a) 阻抗邊界插值前聲壓幅值

(b) 阻抗邊界理論聲壓幅值

(c)阻抗邊界插值后聲壓幅值

(d) 絕對(duì)硬邊界插值前聲壓幅值

(e)絕對(duì)硬邊界理論聲壓幅值

(f) 絕對(duì)硬邊界插值后聲壓幅值

(g)絕對(duì)軟邊界插值前聲壓幅值

(h) 絕對(duì)軟邊界理論聲壓幅值

(i)絕對(duì)軟邊界插值后聲壓幅值

圖9給出了頻率在3 kHz時(shí)，測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)為條件4下的不同邊界條件全息面測(cè)量聲壓和插值后的聲壓及聲壓理論值的對(duì)比圖。可以明顯看出，通過(guò)插值得到了由于測(cè)點(diǎn)間隔較大而遺漏的聲場(chǎng)中的細(xì)節(jié)信息，從而有效提高了聲場(chǎng)的空間分辨率。

4 結(jié)論

本文通過(guò)仿真對(duì)影響外推與插值結(jié)果的參數(shù)進(jìn)行了分析，利用外推或插值后的全息數(shù)據(jù)進(jìn)行全息重建。通過(guò)分析得出如下結(jié)論：

1) 采用ELM技術(shù)對(duì)小孔徑測(cè)量面進(jìn)行數(shù)據(jù)外推，有效地增大了測(cè)量面孔徑。將外推得到的全息面數(shù)據(jù)進(jìn)行NAH重建，能夠有效提高聲場(chǎng)重建精度，解決了測(cè)量孔徑有限性造成的重建誤差問(wèn)題。

2) 在傳感器個(gè)數(shù)較少時(shí)，采用ELM技術(shù)對(duì)全息數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，可以得到由于測(cè)點(diǎn)間隔較大而遺漏的聲場(chǎng)中的細(xì)節(jié)信息，在不增加測(cè)點(diǎn)數(shù)量的情況下，提高了重建圖像空間的分辨率，從而節(jié)省了工作量，提高工作效率。

3) 基于ELM的聲場(chǎng)插值技術(shù)除了可以將自由空間聲場(chǎng)進(jìn)行插值外，還可應(yīng)用于非自由聲場(chǎng)環(huán)境中，對(duì)于不同邊界條件插值效果均較好，驗(yàn)證了該算法的正確性與穩(wěn)健性。

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