強迫激勵下CFRP斜拉索面內(nèi)分叉特性*

康厚軍,趙躍宇,朱志輝，解維東

(1.湖南大學 土木工程學院,湖南 長沙 410082; 2.中南大學 土木工程學院,湖南 長沙 410075)

CFRP(Carbon Fiber Reinforced Polymer)斜拉橋是近幾年來出現(xiàn)的一種具有相當發(fā)展前景的新型大跨度橋梁,國內(nèi)外已建成CFRP斜拉索斜拉橋6座.CFRP是一種增強型的碳纖維復合材料,被廣泛應用于航空航天和機械工程等領域.CFRP斜拉索能克服傳統(tǒng)鋼質(zhì)拉索的銹蝕、疲勞、極限長度小和承載效率低等問題,它輕質(zhì)(容重約為鋼材的1/5)、高強(彈性模量最高可達1 000 GPa,抗拉強度可達2 700 MPa[1])和耐腐蝕等特點,使得它作為斜拉索具有相當大的競爭力,并且隨著斜拉橋跨度的增大,這種優(yōu)勢將越來越明顯.

目前,國內(nèi)外對于CFRP斜拉索動力學特性的研究還比較少,主要基于各向同性假設的傳統(tǒng)拉索理論,利用有限元方法對其動力學問題開展研究.張新軍等[2]基于斜拉橋和懸索橋的有限元模型,研究了相同剛度的CFRP索和鋼索在兩種橋型中的空氣動力穩(wěn)定問題,發(fā)現(xiàn)CFRP索在懸索橋中由于其較大的扭轉頻率而具有更好的空氣動力穩(wěn)定性.張鶴和謝旭[3-4]基于各向同性假設,采用有限元方法研究了車輛荷載作用下大跨度斜拉橋中CFRP拉索的非線性振動行為,發(fā)現(xiàn)在車輛荷載下,CFRP斜拉索的振動比剛索大；在橫向風荷載作用下,CFRP拉索的橫向變形基本上與鋼索相同.后來,謝旭等[5]應用柔性拉索的非線性振動理論,研究了橫向脈動風荷載作用及支點激勵下的CFRP拉索非線性振動,研究結果表明,脈動風雖然導致拉索出現(xiàn)不規(guī)則的豎向和橫向水平振動,但不會改變拉索的參數(shù)振動特性.另外,Xiong等[6]和Fang等[7]利用有限元方法和實驗對CFRP斜拉橋的特征頻率和模態(tài)等基本動力學性能進行了研究.

對于CFRP拉索的非線性振動問題,目前國內(nèi)外的研究也主要基于傳統(tǒng)拉索的各向同性動力學理論.梅葵花等[8]建立了CFRP拉索的非線性參數(shù)振動模型,對相同條件下的CFRP拉索和鋼拉索,采用數(shù)值方法分析了頻率匹配比、拉索靜拉力、激勵幅值以及阻尼等因素對拉索參數(shù)振動特性的影響.吳曉等[9]對比研究碳纖維纜索懸索橋與鋼纜索懸索橋的豎向非線性自由振動,利用Galerkin方法及L-P法求出了懸索橋豎向非線性自振的近似解,研究表明溫度升高使懸索橋非線性自振頻率降低.Kang等[10]研究了在參數(shù)激勵下CFRP拉索和鋼質(zhì)拉索的主共振和亞諧波共振,發(fā)現(xiàn)CFRP拉索彈性模量取值不同,對拉索的非線性振動性能有較大的影響,可以改變拉索的軟硬彈簧特性,這有利于拉索的減振設計.

近幾年來,對CFRP斜拉索動力學特性的研究,開始考慮其材料各向異性的問題.李志江[11]采用各向異性的材料本構關系,考慮了彎曲剛度、剪切剛度和扭轉等因素影響,推導出了對 CFRP 材料斜拉索分析具有針對性而且計算精度較高的梁模型方程,研究了在外部激勵荷載作用下CFRP斜拉索主參數(shù)共振時的非線性動力學特性.該方面的研究工作才剛剛起步,還有待進一步揭示CFRP拉索的非線性動力學特性和機理,以期為大跨度索支撐橋梁的設計和建造提供理論支撐和有建設性的建議.

本文基于CFRP斜拉索的各向異性材料特性和斜拉索的基本力學性能,將其假定為橫向各向同性材料,建立了其非線性動力學控制偏微分方程.將風對拉索的渦激等作用簡化為簡諧強迫激勵,通過龍格-庫塔法對CFRP斜拉索在主共振和亞諧波共振時的動力學行為進行了研究.研究結果表明,在強迫激勵下CFRP斜拉索有較為豐富的非線性動力學行為.

1 CFRP斜拉索面內(nèi)運動方程

斜拉索在風、橋塔和橋面激勵作用下會產(chǎn)生大幅振動,給橋梁安全造成隱患.CFRP斜拉索由于其自重更輕、跨度更大,在風荷載作用下,其非線性動力學特性將可能更為突出.因此,對其非線性動力學特性開展深入系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實際意義.對CFRP斜拉索的研究,特做以下基本假設：截面滿足平截面假設、不考慮材料的非線性、將各向異性材料假定為橫向各向同性、在重力作用下垂度曲線近似為拋物線.由于抗彎剛度對拉索的模態(tài)頻率和相互作用(特別是高階模態(tài))有較大影響[12]，因此，在動力學運動控制微分方程的推導過程中,考慮了CFRP拉索抗彎剛度和溫度的影響.

根據(jù)應變和位移的關系以及應力應變關系,可以得到CFRP斜拉索的勢能為：

(1)

動能和外力做功分別為:

(2)

(3)

其中m為單位長度的質(zhì)量;μi為拉索的黏彈性阻尼;ρ拉索的密度;pi為在x,y和z方向的分布荷載.

圖1 CFRP斜拉索的靜動態(tài)構形

根據(jù)Hamilton變分原理,

(4)

可得到CFRP斜拉索的空間運動偏微分控制方程為:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

由于拉索運動時縱向變形遠小于其橫向變形,且在考慮拉索低階模態(tài)的橫向振動時,橫向模態(tài)和縱向振動模態(tài)不存在相互作用. 因此,忽略拉索的縱向慣性力、阻尼力和激勵力的影響,方程(7)可以改寫為：

(11)

考慮方程(10), 可以得到:

(12)

為研究拉索的面內(nèi)強迫振動問題,忽略面外橫向振動的影響和不考慮轉動慣量的影響,由方程(5)和(8)可以得CFRP斜拉索面內(nèi)運動的偏微分控制方程:

(13)

該方程通過退化處理可得到一般鋼質(zhì)拉索的非線性動力學運動控制微分方程．

2 無量綱化及Galerkin離散

引入以下無量綱量:

則方程(13)改寫為:

(14)

類似地,式(12)改寫為:

(15)

為研究CFRP斜拉索在強迫激勵下面內(nèi)一階模態(tài)的振動問題,這里采用Galerkin方法對上述方程(14)和(15)進行處理.

假定振動函數(shù):

v=φ(x)g(t)

(16)

則式(15)改寫為:

ε(t)=B1g(t)+B2g2(t)

(17)

其中

將式(15)和(16)代入式(14),并進行Galerkin積分有:

a3g3(t)+f(t)=0

(18)

其中

式(18)即為CFRP斜拉索在強迫激勵下的非線性振動常微分控制方程.

3 算例分析

以目前工程中最長拉索為基礎設計CFRP斜拉索,CFRP斜拉索材料根據(jù)相關研究其縱向彈性模量Ex可在100～1 000 GPa變化，本文取Ex=137 GPa, 橫向彈性模量為10.2 GPa．其余主要參數(shù)為:l=500 m,m=99.92 kg/m,A=0.001 718 9 m2,G=3.75 GPa,θ=22.5°,初始張拉力T0=570 t, 阻尼比取0.003. 進行無量綱參數(shù)分析時,在此基礎上根據(jù)工程實際做適當變化.采用龍格-庫塔法對常微分方程(18)求解,求得拉索在面內(nèi)橫向強迫激勵下響應的時間歷程圖、相圖、功率譜圖和分叉圖，從而對系統(tǒng)的非線性動力學特性進行研究. 為確保計算結果的正確，分叉圖經(jīng)過頻閃法和Poincare截面法兩種方法進行計算和相互驗證.

圖2為激勵幅值f=0.001時,CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應隨激勵頻率變化的分叉圖.從圖中可以看出，隨著激勵頻率的增大,系統(tǒng)經(jīng)歷了一個較為復雜的變化過程,總體表現(xiàn)為硬彈簧特性.當激勵頻率較小時(ω<0.026),系統(tǒng)表現(xiàn)出多周期小幅振動；在0.026<ω<0.175時,系統(tǒng)表現(xiàn)出單周期的穩(wěn)態(tài)振動,但在此激勵頻率區(qū)間出現(xiàn)多次跳躍,響應幅值并不一定隨著激勵頻率增大而增大,有時會逐漸變??；當激勵頻率大于0.118時,系統(tǒng)的響應幅值才隨激勵頻率的增大而增大,當激勵頻率達到0.305時,通過單周期運動轉換為多周期運動,同時響應幅值急劇減小,進入較為復雜的多周期運動；隨著激勵頻率的進一步增加,多周期運動通過一小段的雙周期運動過度為單周期運動,響應幅值進一步趨于零.

ω

圖3為激勵幅值f=0.002時,CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應隨激勵頻率變化的分叉圖.與圖2比較可以看出,由于激勵幅值的增加,系統(tǒng)的響應變得越來越復雜,但總體上仍表現(xiàn)為硬彈簧特性.系統(tǒng)大幅振動的頻率區(qū)間上限從0.305增大到0.343 5,當ω> 0.343 5時,系統(tǒng)進入混沌運動階段,最后通過一小段頻率帶的雙周期運動變?yōu)閱沃芷谶\動.

ω

圖4為激勵幅值分別為0.003,0.004,0.005時,CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應隨激勵頻率變化的分叉圖.從圖中可以看出,不同激勵幅值不能改變CFRP斜拉索的軟硬彈簧特性,仍就表現(xiàn)出硬彈簧特性.隨著激勵幅值的增加,系統(tǒng)的分叉行為變得越來越復雜,當激勵幅值達到0.005時,周期運動的頻率區(qū)間越來越小,單周期穩(wěn)態(tài)振動僅在0.118至0.130 5和0.137 5至0.229之間存在,其余頻率域均變?yōu)槎嘀芷谏踔粱煦邕\動,混沌運動的頻率區(qū)間變大.另外,拉索大幅響應的頻率區(qū)間隨激勵幅值的增加也隨之增大,同時響應的最大幅值也隨之變大.

圖5描述了在激勵幅值為0.005時不同激勵頻率下CFRP斜拉索的時間歷程、相圖和功率譜圖.從圖中可以看出,在不同的激勵頻率下,系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的運動狀態(tài),在激勵頻率為0.15時,系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài),形成連續(xù)譜成分,但以激勵頻率響應為主.當激勵頻率增大為0.17時,從相圖和時間歷程圖可以看出系統(tǒng)做單周期穩(wěn)態(tài)振動,但從功率譜圖可以看出,其中仍含有較少成分的其它周期運動,并且這些離散譜峰倍頻成分明顯,只是對振動的貢獻較小.這也說明結合多種方法分析系統(tǒng)的運動情況更為精確.激勵頻率增大到0.19時,系統(tǒng)表現(xiàn)出雙周期運動.但是，與此同時也可以從功率譜圖中觀察到倍頻成分,這些成分對振動的貢獻幾乎為零.

圖4 系統(tǒng)隨激勵頻率變化分叉圖

圖5 不同激勵頻率時系統(tǒng)的時間歷程、相圖和功率譜圖(f=0.005)

圖6為主共振時系統(tǒng)隨激勵幅值變化的分叉圖.可以看出,隨著激勵幅值的增加系統(tǒng)以單周期穩(wěn)態(tài)振動為主,只在部分幅值區(qū)間出現(xiàn)多周期運動,如:雙周期運動(0.000 74

圖7為亞諧波共振時系統(tǒng)隨激勵幅值變化的分叉圖. 比較圖6可以看出,CFRP斜拉索在強迫振動情況下的亞諧波共振的響應幅值幾乎都有一定程度的增大,但相對于發(fā)生參強激勵的情況(亞諧波共振的響應幅值比主共振有數(shù)量級的提高)要小很多.由此說明,CFRP強迫振動時亞諧波共振和主共振的響應幅值在同一量級.從圖7中可以看出,隨著激勵幅值的增加,單周期穩(wěn)態(tài)振動的響應幅值同時增大.當激勵幅值達到0.001 34時,系統(tǒng)的響應轉變?yōu)殡p周期穩(wěn)態(tài)運動,且響應幅值突然增大(響應出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象).當激勵幅值達到0.001 97時,雙周期穩(wěn)態(tài)運動再次轉變?yōu)閱沃芷谶\動.隨著激勵幅值的進一步增大,在0.004 058與0.004 203之間,由單周期運動轉變?yōu)?周期運動,同時振動幅值伴有跳躍現(xiàn)象.當激勵幅值大于0.004 203時,系統(tǒng)又回到穩(wěn)態(tài)的單周期運動.最后,當激勵幅值達到0.004 671時,系統(tǒng)轉變?yōu)?周期運動,直到激勵幅值達到0.003 24時,系統(tǒng)由4周期運動轉變?yōu)?周期運動,進一步增加激勵幅值,系統(tǒng)進入混沌運動.當激勵幅值大于0.005 4時,系統(tǒng)突然由混沌運動轉變?yōu)榉€(wěn)態(tài)的單周期運動.

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4 結 論

通過對CFRP斜拉索面內(nèi)強迫振動分叉行為的理論研究和算例分析,發(fā)現(xiàn)了豐富的非線性動力學現(xiàn)象,同時得到一些有意義的結論.

1)CFRP斜拉索面內(nèi)強迫振動亞諧波共振的振幅雖然相對主共振時有一定程度的增加,但相對于參強共振時的情況,亞諧波共振危險性有可能和主共振為同一個量級.

2)通過對CFRP斜拉索面內(nèi)響應隨激勵頻率變化的分叉行為分析,系統(tǒng)具有非常豐富的非線性動力學特性：觀察到了由倍周期分叉進入混沌的現(xiàn)象,最后混沌運動突然轉變?yōu)殡p周期運動,進而轉變?yōu)閱沃苓\動的現(xiàn)象.

3)當激勵頻率不變時,激勵幅值越大,對應同一激勵頻率區(qū)間系統(tǒng)的運動可能會越來越復雜,同一激勵頻率下的單周期運動可能變?yōu)殡p周期多周期甚至是混沌運動.

4)在同一激勵頻率下,隨著激勵幅值的增大,CFRP斜拉索的響應幅值并不一定隨著增大,可能在某一區(qū)間段響應幅值越來越小,最后可能通過跳躍行為,響應幅值突然有超過100%的增加.

5)亞諧波共振時,隨著激勵幅值的增加,發(fā)現(xiàn)CFRP斜拉索通過雙周期分叉使響應幅值發(fā)生跳躍的現(xiàn)象,最后又轉變?yōu)閱沃芷诜€(wěn)態(tài)運動.

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