壓縮感知信道估計(jì)中降低信道稀疏度的算法

龍 懇，王 真

(重慶郵電大學(xué)移動通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065)

多徑稀疏信道在理想情況下描述為線性時不變系統(tǒng)，它的脈沖響應(yīng)特點(diǎn)是具有較少的攜帶能量的抽頭系數(shù)，大部分的抽頭系數(shù)接近0。若能有效挖掘信道的稀疏結(jié)構(gòu)信息，利用較少的訓(xùn)練資源來進(jìn)行信道估計(jì)，提高頻譜資源利用率。因此考慮利用壓縮感知理論［1－2］來估計(jì)稀疏信道。

將壓縮感知與信道估計(jì)相結(jié)合，最主要有兩個:一是導(dǎo)頻與信道模型的設(shè)計(jì)問題，二是信道沖激響應(yīng)的重構(gòu)算法。國內(nèi)外已經(jīng)有許多學(xué)者發(fā)表了關(guān)于壓縮感知理論在單天線(SISO)、多天線(MIMO)、正交頻分復(fù)用(OFDM)及UWB等通信系統(tǒng)信道估計(jì)中的研究文獻(xiàn)，從不同的角度去探索信道的稀疏性，研究了各種不同重構(gòu)算法的性能問題［3－4］。

智能天線在無線通信中的應(yīng)用受到了越來越多的重視。隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展，可以利用智能天線提高頻譜利用率。與空間角度信息相關(guān)的波束賦形算法的研究中，獲得無線信道的衰落、時延等變量的統(tǒng)計(jì)特性的同時，還可以獲得有關(guān)角度的統(tǒng)計(jì)特性，如波到達(dá)角和波離角等。目前，基于子徑疊加的SCM信道模型將多徑的方向信息引入到信道沖擊響應(yīng)模型中，通過利用空間信息改善信道環(huán)境［5］。

考慮到智能天線的波束賦形可以降低多徑的影響，本文的主要思想是把智能天線與壓縮感知信道估計(jì)相結(jié)合，從而達(dá)到改造信道稀疏度的目的。

1 系統(tǒng)模型

眾多實(shí)驗(yàn)證據(jù)表明無線信道是稀疏的，即它的沖激響應(yīng)系數(shù)大部分為零或者接近零。傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法沒有充分利用信道內(nèi)在的稀疏特性，使得信道估計(jì)的準(zhǔn)確性不夠高。為此需要一種在稀疏信道條件下信道估計(jì)性能好的估計(jì)方法。壓縮感知的提出，為稀疏信道提供了理論背景。

壓縮傳感理論針對可稀疏表示的信號，能夠?qū)?shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)壓縮合二為一，將高維信號映射到低維空間，然后通過重構(gòu)算法來恢復(fù)信號。

假定發(fā)射天線數(shù)為M，接收天線數(shù)為N，L為主路徑數(shù)。在考察的時間內(nèi)，認(rèn)為MIMO信道為時不變信道，頻率選擇性衰落情形下的MIMO系統(tǒng)的信號模型［6］的表達(dá)式為

式中:x(k)=［x1(k)，x2(k)，…，xM(k)］T，為k時刻的發(fā)送信號矢量;y(k)=［y1(k)，y2(k)，…，yN(k)］T，為響應(yīng)的接收信號矢量;Hl為第l條路徑的信道轉(zhuǎn)移矩陣。

通常，MIMO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以分解為M個單輸入多輸出(SIMO)系統(tǒng)。則向量

表示從第m個發(fā)送天線到所有接收天線的信道沖激響應(yīng)。所以，接收信號可以表示為m個發(fā)送天線的信號

將接收的信號進(jìn)行傅里葉變換可得

式中:R為導(dǎo)頻選擇矩陣，F(xiàn)為導(dǎo)頻組成的向量，n為復(fù)加性高斯白噪聲。

1.大學(xué)生三角戀(多角戀)。三角戀一般指的是三個人之間的感情糾紛，而多角戀則指三人及以上的。三角戀或多角戀危機(jī)涉及到的面一般都比普通的戀愛危機(jī)要大，會導(dǎo)致三人及以上的感情糾葛，讓當(dāng)事人之間產(chǎn)生仇恨和報復(fù)的心理，破壞了同學(xué)之間的感情，甚至?xí)l(fā)生傷殘亡等惡劣事件。

進(jìn)一步定義，式(5)可以表示為

信道估計(jì)的目的就是由Ym和A得到hm。

考慮hm中有K個非零元素，其中K≤L，那么可以通過求解如下最小l1范數(shù)問題恢復(fù)［7］

式中:‖hm‖0計(jì)算hm中的非零元素。這是一個NP難題。然而，它可以用求解一個更加簡單的最小l1范數(shù)優(yōu)化問題替代。

這樣稀疏度為K的信號hm就可以從M維的測量投影值Ym中正確地恢復(fù)出來。

文獻(xiàn)［8］講述了重構(gòu)精確度和RIP之間的關(guān)系:若A滿足以 δK，δ2K，δ3K為參數(shù)的 RIP 特性，有 δK+δ2K+δ3K＜1，此時l1能夠準(zhǔn)確地重構(gòu)K個稀疏信號。δK是單調(diào)性的，對于任意兩個整數(shù)K≤K'，則有δK≤δK'。

式中:A是一個M×N矩陣。由于信號是K稀疏，若式(8)中的A滿足有限等距性質(zhì)，即

2 問題描述

當(dāng)信道多徑散射嚴(yán)重時，比如市區(qū)微蜂窩信道環(huán)境，信道多徑數(shù)量多，不具最有利于稀疏信道估計(jì)的特征。

壓縮感知信號正交匹配追蹤算法先假定一個可能解來估計(jì)稀疏度K，之后一步步地向前尋找最終解。

定理1:如果傳感矩陣在稀疏度為K和K'時滿足RIP，那么 δK≤ δK'，這種屬性稱為等距常數(shù)的單調(diào)性［7－9］。

定理2(高斯測量矩陣):假設(shè)s是稀疏度為m的信號，N個測量向 量x1，x2，…，xN，δ∈ (0，0．36)，N≥Kmln(d/δ)，那么OMP可以重構(gòu)信號的概率超過1－2δ［10］。

如何得到最佳稀疏度并保證信號的恢復(fù)精度，是本文關(guān)鍵。由文獻(xiàn)［3］可知，信道向量的稀疏~H的稀疏性度量可以表示為

式中:L為信道的長度向量;‖~Hm‖1為~Hm的一階范式;‖~Ηm‖2為~Hm的二階范式。由圖1仿真可知，波束賦形改造，可以用壓縮感知理論進(jìn)行信道估計(jì)。

3 解決問題

由于智能天線的波束賦形性能可以減少多徑的影響，抗多徑衰落，所以利用此方法對信道進(jìn)行改造，并給出了波束賦形后的信道估計(jì)的均方誤差仿真。

對于智能天線均勻線性陣列，假設(shè)以第一個天線陣元為參考陣元，θ為入射角，陣元間隔為d。天線陣列響應(yīng)組成的向量為

式中:M為陣列天線數(shù)目;Δφ=2π·sinθ·;d為相鄰天線間距;c為光速;λ為波長。

為了研究方便采用了零陷波束賦形方法。此方法需要知道信號的來波方向。在期望用戶信號方向上增益為1，在干擾信號方向上響應(yīng)為0，即形成零陷，以抑制干擾信號。

由于a(θ)不是方陣，a(θ)的逆矩陣不存在，則陣列權(quán)矢量為

假設(shè)基站端每個天線陣有M個陣元，基站端每個天線陣與接收端的天線形成相關(guān)信道，每條信道有N條徑。一個天線陣列的信道矩陣可以表示為

式中:表示從第i個智能天線陣列到接收端第n條徑的信道衰落。智能天線波束賦形改變H稀疏度后的矩陣~H包含了DOA信息，即

智能天線引入到系統(tǒng)仿真平臺所需信道的條件必須具備空間方向信息，本文仿真信道模型采用的3GPP的SCM模型。圖2為使用智能天線波束賦形改造信道后進(jìn)行信道估計(jì)的整個流程圖。

4 仿真及性能分析

信道主要參數(shù):收天線陣天線個數(shù)為1;發(fā)天線陣天線個數(shù)為8;基站聯(lián)合角度擴(kuò)展為8°。

MIMO系統(tǒng)的參數(shù):子載波總數(shù)N=512;導(dǎo)頻數(shù)P=32;系統(tǒng)調(diào)制方式是16QAM，循環(huán)前綴CP=16;稀疏度K=6;波束賦形后稀疏度K1=3;信道長度L=30;SNR∈［0，20］。

本文用MSE算法衡量信道估計(jì)的性能，MSE定義為

式中:A越小，信道估計(jì)誤差越小。從圖3的仿真結(jié)果中可以看出，波束賦形以后的MSE要比傳統(tǒng)采用OMP算法估計(jì)的優(yōu)約1 dB。圖4中顯示，導(dǎo)頻數(shù)為32波束賦形時的估計(jì)效果與長度為48時的幾乎一樣。換句話說，要想獲取相同的估計(jì)性能，波束賦形所需的訓(xùn)練序列數(shù)比單純用OMP少得多。這樣將節(jié)省更大的空間來傳送用戶數(shù)據(jù)，提高了系統(tǒng)的吞吐量。

5 小結(jié)

在MIMO系統(tǒng)中，信道表示不再只是一維的時域信道或者頻域信道，而是一個矩陣表示形式。本文利用智能天線波束賦形改造多徑信道稀疏度、壓縮感知，利用較少的訓(xùn)練符號準(zhǔn)確估計(jì)出信道系數(shù)。如何進(jìn)一步挖掘信道的稀疏性以尋找其最佳稀疏表示也是有待解決的問題。

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