屈曲板型準零剛度隔振器的設計和特性分析

2014-09-18 13:43徐道臨成傳望周加喜

湖南大學學報·自然科學版 2014年8期

徐道臨+成傳望+周加喜

收稿日期：20131103

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11072075，11102026）；湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主課題資助項目（71075004）

作者簡介：徐道臨（1958-），男，浙江寧波人，湖南大學教授，博士生導師

通訊聯(lián)系人，Email：dlxu@hnu.edu.cn

摘要：設計一款屈曲板型準零剛度隔振器，該隔振器由豎直的橡膠墊和屈曲的彈簧鋼板組合而成.為便于分析該隔振器的剛度特性，基于Abaqus軟件分析和Matlab擬合給出力與位移的近似表達式.通過理論分析，給出該系統(tǒng)出現(xiàn)準零剛度時，豎直橡膠墊需滿足的剛度條件.依據(jù)諧波平衡法研究了阻尼對系統(tǒng)動力學特性的影響，得到了系統(tǒng)的力傳遞率，并對其隔振性能進行了評估.結(jié)果表明，屈曲板型準零剛度隔振器能夠顯著提高低頻段的隔振效率；在適當?shù)淖枘崆闆r下，該準零剛度隔振系統(tǒng)沒有共振問題.

關(guān)鍵詞：準零剛度；屈曲板；振動分析；低頻隔振

中圖分類號：O322；O328文獻標識碼：A

Design and Characteristic Analysis of a Buckling Plate

Vibration Isolator with Quasizerostiffness

XU Daolin，CHENG Chuanwang， ZHOU Jiaxi

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha， Hunan410082， China）

Abstract：This paper presented the prototype of a buckling plate vibration isolator with the propitious characteristic of quasizero stiffness （QZS）. The isolator was devised by combining a rubber pad with a buckling steel plate. To facilitate the analysis of the characteristics of the QZS isolator， an approximate expression of force and displacement was formulated on the basis of Abaqus analysis and Matlab tool. Analytical result reveals the stiffness criterion of the supporting rubber for the QZS system. The force transmissibility of the vibration isolation systems was derived in the harmonic balance method （HB）， and the effects of the damping were investigated for the performance evaluation of the systems. The results show that the QZS isolator can outperform the linear system in low frequency domain， and there is no involvement of resonance when damping is set properly.

Key words：quasizerostiffness（QZS）；buckling of the plate；vibration analysis；lowfrequency vibration isolation

眾所周知，大多工程應用上的產(chǎn)品都受到了振動的破壞和影響[1].使用被動的減振器是我們常采用的減振方法[2].減振系統(tǒng)發(fā)揮作用的前提條件是，外界的激擾頻率必須大于系統(tǒng)2倍固有頻率[1-2].由于隔振系統(tǒng)的固有頻率與彈簧的剛度成正比，所以彈簧的剛度越小，隔振系統(tǒng)的固有頻率也就越小，隔振頻帶被拓寬，但同時會帶來很大的靜位移，使得隔振系統(tǒng)容易不穩(wěn)定[3-4].近幾十年來，人們嘗試用一種QZS隔振系統(tǒng)來解決這個弊端[5].QZS系統(tǒng)具有較低的動態(tài)剛度和較高的靜態(tài)剛度的特性，在靜平衡位置處的動剛度為零[1-2，6]，滿足系統(tǒng)低的靜位移和低的固有頻率的特性.

實現(xiàn)QZS特性通常是并聯(lián)正剛度與負剛度機構(gòu).準零剛度隔振系統(tǒng)的經(jīng)典設計形式是用兩根對稱傾斜的彈簧和豎直線性彈簧組合來實現(xiàn)[1-2，6].其他的形式包括周加喜等[7]利用4根斜彈簧和一根豎直彈簧組合.徐道臨等[8]采用氣動式可調(diào)彈簧來設計QZS系統(tǒng).Platus等[9]利用彈簧和受軸壓的梁進行組合設計.使用正倒擺并聯(lián)[10]；利用具有軟彈簧特性的高度變形的擠壓環(huán)[11-12].Carrella等[13-15]使用磁力彈簧的特性來設計QZS系統(tǒng).徐道臨等[16]使用磁性彈簧制作QZS系統(tǒng)，并用試驗證明其具有良好的低頻隔振效果.

綜合以上隔振器的設計特點，本文提出一種新穎的QZS隔振系統(tǒng)設計方案，該QZS隔振系統(tǒng)由一塊屈曲的彈簧鋼板（負剛度）和一塊豎直橡膠墊（正剛度）組成.另外，屈曲的彈簧鋼板和橡膠墊之間裝配簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，可調(diào)節(jié)，使用方便.

本文將給出該新型隔振系統(tǒng)的詳細設計方案.首先，基于Abaqus軟件分析和Matlab仿真，給出QZS隔振系統(tǒng)力與位移的近似表達式與系統(tǒng)的剛度曲線.其次，通過理論計算，找出系統(tǒng)準零剛度的特性出現(xiàn)時，豎直橡膠墊需滿足的關(guān)系.最后，利用諧波平衡法，對其進行動力學分析，給出力傳遞率近似解析表達式，根據(jù)阻尼比對傳遞率的影響，評估系統(tǒng)的隔振性能.

1準零剛度隔振器模型

通常情況下，QZS系統(tǒng)特性的實現(xiàn)是通過把正剛度單元和負剛度單元并聯(lián)起來.本文將屈曲的彈簧鋼板和豎直橡膠墊組合，設計一款新型準零剛度隔振器，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1（不考慮被隔振設備）所示.

圖1描述的是準零剛度系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在A點，一塊剛度系數(shù)為k的無壓縮豎直橡膠墊與一塊屈曲的彈簧鋼板相連接.x表示被隔振設備從A點開始在豎直方向上所產(chǎn)生的位移.當被隔振設備置于A點時，豎直的橡膠墊被壓縮，屈曲的彈簧鋼板向下產(chǎn)生位移.通過合理參數(shù)設計，在質(zhì)量塊的靜載作用下，當A點到達B點，位移為x=h時，B點就是該準零剛度系統(tǒng)的靜平衡位置.此時，屈曲的彈簧鋼板面處于水平狀態(tài).在這種情況下，被隔振設備的質(zhì)量完全由豎直橡膠墊所支撐.此時，屈曲的彈簧鋼板在垂直方向上提供負剛度，而豎直橡膠墊則提供正剛度，兩者屬于并聯(lián)關(guān)系.本文研究的重點是被隔振設備在靜平衡位置附近的微幅振動情況.

根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，建立其在靜載（被隔振設備）作用下處于平衡位置的實驗裝置模型圖，如圖2所示.屈曲的彈簧鋼板上面放置著被隔振設備，其中鋼板的周邊被限制在一個調(diào)節(jié)箍環(huán)里，調(diào)節(jié)箍環(huán)放置在帶有凹槽的底座上.調(diào)節(jié)箍環(huán)的作用是調(diào)節(jié)鋼板的屈曲量大小.豎直的橡膠墊直接與鋼板接觸，并且下面連接著推力球軸承和調(diào)節(jié)機構(gòu).底部調(diào)節(jié)機構(gòu)可以調(diào)節(jié)橡膠的預壓量，以便實現(xiàn)準零剛度條件.推力球軸承是為了減小調(diào)節(jié)的阻力.

1.1屈曲鋼板的Abaqus分析

考慮圖1所示的準零剛度系統(tǒng)，將中間的豎直橡膠墊移去，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板（負剛度單元）的力學特性.符號h代表屈曲后的鋼板在初始狀態(tài)時從A點到B點的垂直距離.為了探索鋼板屈曲后的載荷與位移關(guān)系，設置鋼板的初始缺陷位移為0.2 mm，并將鋼板的周邊進行固定，加溫度場使鋼板屈曲，再給屈曲后的鋼板逐漸施加位移約束x，直至鋼板達到另一個屈曲的穩(wěn)態(tài)，在此過程中記錄約束力載荷f的變化情況.因此，可以得到約束力載荷f與位移x的關(guān)系曲線圖，進一步求導得出屈曲鋼板的剛度曲線圖.屈曲鋼板的力與位移的關(guān)系曲線如圖3所示，剛度曲線如圖4所示.

從圖3和圖4中可以看到，彈簧鋼板屈曲之后，施加一個載荷，使之從一個屈曲穩(wěn)態(tài)跳到另一個穩(wěn)態(tài)時，屈曲的鋼板出現(xiàn)了負剛度的特性.

1.2屈曲鋼板準零系統(tǒng)的Abaqus分析

同時考慮豎直橡膠墊的正剛度和屈曲鋼板的負剛度作用，如圖1所示的準零剛度系統(tǒng)，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板準零系統(tǒng)的力學特性.同樣設置鋼板的初始缺陷為0.2 mm，加溫度場使鋼板屈曲，此時給準零系統(tǒng)施加一個垂向力，選擇適當彈性材料的橡膠墊，使得屈曲鋼板呈水平狀態(tài)時，力與位移的關(guān)系曲線出現(xiàn)水平拐點，如圖5所示.這個拐點就是準零系統(tǒng)的平衡點，對應的垂向力是產(chǎn)生準零條件的額定靜載荷，在平衡點的系統(tǒng)剛度近似為零，如圖6所示.

由圖5和圖6可知，當給屈曲鋼板并聯(lián)一個適當?shù)呢Q直橡膠墊時，屈曲鋼板準零系統(tǒng)在平衡態(tài)會出現(xiàn)零剛度的特性，我們通常稱這個位置為系統(tǒng)的平衡位置.在平衡位置附近振動，系統(tǒng)始終表現(xiàn)出微剛度的特性.出現(xiàn)這種特性的原因是豎直橡膠提供的正剛度與屈曲鋼板產(chǎn)生的負剛度在平衡位置剛好抵消.

1.3力與位移關(guān)系近似表達式

為了方便后續(xù)的準零剛度系統(tǒng)動力學分析，必須得到屈曲鋼板準零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線（圖5）的數(shù)學表達式.通過Abaqus中分析出來的QZS系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線圖，假設一個冪級數(shù)函數(shù)，采用最小二乘擬合法，通過Matlab擬合出準零系統(tǒng)的力與位移的表達式為：

f=7.5×1010y3+3.2×107y2+1.2×104y-16 200.（1）

式中：y=x-h，y為系統(tǒng)的位移；f為系統(tǒng)的受力.

圖7給出了Abaqus分析數(shù)據(jù)和Matlab最佳擬合曲線.由圖7可知，分析數(shù)據(jù)和最佳擬合曲線吻合得非常好，式（1）滿足工程設計精度.

1.4準零剛度隔振系統(tǒng)的剛度

由圖6的曲線趨勢可知，屈曲板準零剛度隔振系統(tǒng)的剛度曲線可以用一個二次多項式來近似表達.通過導數(shù)概念可以知道，如果屈曲板準零剛度隔振系統(tǒng)的力與位移關(guān)系能表示成一個三次多項式，那么QZS系統(tǒng)的動力學分析將會變得容易很多.因此，可以將QZS系統(tǒng)力與位移的關(guān)系曲線經(jīng)過縱坐標平移，采用最小二乘擬合法，擬合成一個三次多項式如下：

f=7.56×1010y3.（2）

圖8給出了QZS系統(tǒng)力與位移關(guān)系的三次方最佳擬合曲線.由圖8可知，力與位移關(guān)系和三次方最佳擬合曲線也吻合得比較好，滿足工程設計精度.

那么，準零剛度系統(tǒng)的剛度近似表達式為：

KQZS=dfdy=2.27×1011y2.（3）

式（3）中只有y的平方項，故在進行后續(xù)動力學分析時剛度的解析表達式可以用近似表達式來替代，這樣大大簡化了計算.

2動力學分析

2.1準零剛度隔振系統(tǒng)的動力學分析

從前面的分析可知，QZS在其靜平衡位置附近剛度趨近于零.為了保證質(zhì)量為m的被隔振設備放于QZS系統(tǒng)上時，系統(tǒng)處于平衡位置，即鋼板壓至水平狀態(tài).此時，被隔振質(zhì)量完全由被壓縮的豎直橡膠墊支撐，被隔振設備質(zhì)量m要滿足條件：

f=kh=mgm=kh/g.（4）

式中：k為豎直橡膠墊的剛度.

準零剛度隔振系統(tǒng)包括被隔振設備，屈曲彈簧鋼板和豎直橡膠墊.當在被隔振設備上作用一個幅值大小為f0的激擾力時，可以進行如下3個假設：1）系統(tǒng)的回復力表達式可以用邁克勞林級數(shù)的3階進行展開；2）系統(tǒng)在平衡位置時具有零動剛度的特性；3）被隔振設備始終在平衡位置附近進行微幅振動.因此，在簡諧波激擾力的作用下，系統(tǒng)的動力學方程可以近似寫成不含線性項的達芬方程.進行無量綱化后，系統(tǒng)的動力學方程可以表示為：

¨+2ζ·+γ3=cos （Ωτ）.（5）

=y/r，ω20=k/m，τ=ω0t，γ=ar2/k，

ζ=cω0/2k，Ω=ω/ω0，=f0/kr，

式中：y為系統(tǒng)的位移；r為屈曲板的半徑；c為系統(tǒng)的阻尼；m為被隔振質(zhì)量；f0為簡諧激勵的幅值；ω0為簡諧激勵的頻率；k為豎直橡膠墊的剛度；a為力與位移三次方關(guān)系曲線系數(shù).

諧波平衡法在求解強非線性方程時具有適用性和簡單性等優(yōu)點[17].因此，在本文中，我們運用諧波平衡法[18]對式（5）在激擾頻率時的響應進行求解.用單諧波平衡法來求解非線性振動方程在大部分情況下是可行的，在國際上也是通用的[1，2，6，19]，只在小部分情況下會產(chǎn)生較大誤差.本文假設外界激擾頻率在系統(tǒng)的響應頻率中占主導地位，那么可以將式（5）的解設為=Acos （Ωτ+j），因此系統(tǒng)的幅頻曲線方程為：

（2ζΩA）2+（34γA3-Ω2A）2=2.（6）

根據(jù)文獻[19]的方法，得出系統(tǒng)的向下跳躍頻率Ωd為：

Ωd=（3γ16）1/4ζ.（7）

激振力的幅值為，傳遞至基礎的力為：

ft=γ3+2ζ·=γA3cos 3（Ωτ+j）-

2ζΩAsin （Ωτ+j）. （8）

那么該傳遞力幅值應為：

Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6.（9）

傳遞至基座的力幅值與激擾力幅值的比值稱為力的傳遞率.所以，可以將力的傳遞率近似表示為：

T=Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6/.（10）

從式（10）可以看出，QZS的傳遞率隨著阻尼比ζ的變化而變化.下面將以數(shù)值仿真的形式來展現(xiàn)阻尼比對系統(tǒng)力傳遞率的影響.

阻尼比ζ對系統(tǒng)力傳遞率的影響趨勢如圖9所示.從圖中可以清楚地看到，阻尼比對系統(tǒng)的振動衰減性能很敏感.當阻尼比ζ=0.005時，傳遞率曲線在很大程度上向右彎曲，這表明阻尼比過小時衰減結(jié)果并不理想.當阻尼比ζ=0.01時，共振區(qū)附近的振動顯著減小，衰減頻域被拓寬，但是高頻區(qū)的衰減效果變差.當阻尼比ζ=0.1時，共振峰完全消失，準零剛度系統(tǒng)不會像線性系統(tǒng)那樣經(jīng)歷共振問題，這是該系統(tǒng)的優(yōu)點.

圖9當γ=5.3，=0.01時，

阻尼比ζ對系統(tǒng)力傳遞率的影響

Fig.9The magnitude of the force transmissibility

forγ=5.3，=0.01 and different values ofζ

2.2準零剛度隔振系統(tǒng)隔振特性

為了體現(xiàn)QZS隔振系統(tǒng)的隔振特性，可以將之與線性系統(tǒng)的隔振性能進行對比.假設QZS隔振系統(tǒng)的各項參數(shù)滿足式（4），兩種系統(tǒng)的被隔振設備的質(zhì)量相同.從式（10）可知，QZS隔振系統(tǒng)的傳遞率與系統(tǒng)參數(shù)γ成正比，γ的值越小，QZS隔振系統(tǒng)的傳遞率就越小，隔振效果越顯著.當系統(tǒng)的固有頻率大于向下跳躍頻率，即Ωd<1時，由于向下跳躍頻率是QZS隔振系統(tǒng)起始減振的頻率，所以，此時QZS隔振系統(tǒng)的隔振性能是優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)的，外界激擾力幅值大小應滿足下式：

<4ζ3γ.（11）

圖10為QZS系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的傳遞率比較圖.從圖中我們可以比較線性系統(tǒng)與準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果.假設系統(tǒng)的阻尼比ζ=0.01，無量綱的激擾力為=0.01，被隔振設備質(zhì)量m=10.從圖10中我們可以清楚地看出QZS隔振系統(tǒng)的隔振頻帶大大寬于線性隔振系統(tǒng)，QZS隔振系統(tǒng)的隔振效果明顯優(yōu)于線性系統(tǒng).

線性隔振系統(tǒng)開始減振，必須在外界激擾頻率大于2倍固有頻率的情況下.但對于非線性隔振系統(tǒng)，只需在外界激擾頻率大于跳躍頻率之后，即可產(chǎn)生減振效果.在相同的外界激擾力的作用下，線性系統(tǒng)的固有頻率要高于QZS隔振系統(tǒng)的跳躍頻率.只要激振力的大小滿足不等式（11），準零剛度系統(tǒng)都優(yōu)越于線性系統(tǒng).只要增大阻尼比系數(shù)ζ、減小激擾力幅值大小、減小非線性項系數(shù)γ，均可以使QZS系統(tǒng)的向下跳躍頻率Ωd減小，且使其遠遠小于線性隔振系統(tǒng)的固有頻率，從而大大拓寬了減振頻帶，實現(xiàn)了低頻隔振.

3結(jié)論

本文針對低頻隔振，采用一種屈曲彈簧鋼板的負剛度機構(gòu)與橡膠墊正剛度機構(gòu)組合，設計了一種屈曲板準零剛度非線性隔振器.這種隔振器的特點是在靜平衡位置附近具有高靜低動剛度特性.通過Abaqus分析和Matlab擬合得到了準零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系表達式，從而求出了系統(tǒng)各參數(shù)之間與豎直橡膠墊的剛度系數(shù)的關(guān)系.通過Matlab數(shù)值仿真，詳細地分析了該QZS系統(tǒng)的隔振特性，并與線性隔振系統(tǒng)進行了力傳遞率的比較.屈曲板準零剛度非線性隔振器相對于線性隔振系統(tǒng)具有2個突出優(yōu)點：1）能夠顯著提高低頻段的隔振效率；2）在適當小阻尼下，準零剛度系統(tǒng)沒有共振問題.

參考文獻

[1]CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P.Static analysis of a passive vibration isolator with quasizerostiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2007，301（3/5）：678-689.

[2]KOVACIC I，BRENNAN M J，WATERS T P.A study of a nonlinear vibration isolator with a quasizero stiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2008，315（3）：700-711.

[3]RIVIN E I.Passive vibration isolation[M]. New York：ASME Press，2001：100-105.

[4]HARRIS C M，PIERSOL A G.Shock and vibrations handbook[M]. New York：McGraw Hill，2002：85-90.

[5]IBRAHIM R A.Recent advances in nonlinear passive vibration isolators[J].Journal of Sound and Vibration，2008， 314（3/5）：371-452.

[6]CARRELLA A，BRENNAN M J，KOVACICB I，et al.On the force transmissibility of a vibration isolator with quasizerostiffness[J].Journal of Sound and Vibration，2009，322（4/5）：707-717.

[7]周加喜，張月英，徐道臨. 準零剛度隔振系統(tǒng)的非線性動力學特性[J].中國科技論文在線，2013.

ZHOU Jiaxi，ZHANG Yueying，XU Daolin. On nonlinear dynamics of the quasizero stiffness vibration isolation system[J].Sciencepaper Online，2013.（In Chinese）

[8]徐道臨，趙智，周加喜. 氣動式可調(diào)準零剛度隔振器設計及特性分析[J].湖南大學學報：自然科學版，2013，40（6）：47-52.

XU Daolin，ZHAO Zhi，ZHOU Jiaxi. Design and analysis of an adjustable pneumatic vibration isolator with quasizerostiffness characteristic[J].Journal of Hunan University：Natural Sciences，2013，40（6）：47-52.（In Chinese）

[9]PLATUS D L.Negativestiffnessmechanism vibration isolation systems[J]. Proceedings of SPIE，1999，3786：98-105.

[10]張建卓，李旦，董申，等.新型非線性超低頻水平隔振系統(tǒng)的研制[J].機械設計，2005，22（5）：19-21.

ZHANG Jianzhuo，LI Dan，DONG Shen，et al.Development of new typed nonlinear ultralow frequency horizontal vibration isolation system[J].Journal of Machine Design，2005，22（5）：19-21. （In Chinese）

[11]SANTILLAN S，VIRGIN L N，PLAUT R H.Equilibria and vibration of a heavy pinched loop[J].Journal of Sound and Vibration，2005，288（1/2）：81-90.

[12]VIRGIN L N，SANTILLAN S T，PLAUT R H.Vibration isolation using extreme geometric nonlinearity[J].Journal of Sound and Vibration，2008， 315（3）：721-731.

[13]CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P，et al.On the design of a highstaticlowdynamic stiffness isolator using linear mechanical springs and magnets[J].Journal of Sound and Vibration，2008，315（3）：712-720.

[14]ROBERTSON W S，CAZZOLATO B S，ZANDER A C.Nonlinear control of a one axis magnetic spring[C]//14th International Congress on Sound and Vibration.Australia， Cairns， 2007.

[15]ROBERTSON W S，KIDNER M R F，CAZZDATO B S，et al.Theoretical design parameters for a quasizero stiffness magnetic spring for vibration isolation[J].Journal of Sound and Vibration，2009，326（1/2）：88-103.

[16]XU D L，YU Q P，ZHOU J X ，et al.Theoretical and experimental analyses of a nonlinear magnetic vibration isolator with quasizerostiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2013，332（14）：3377-3389.

[17]NAYFEH A H.Introduction to perturbation techniques[M]. New York：Wiley，1993：121-130.

[18]徐道臨，呂永建，周加喜.非線性隔振系統(tǒng)動力學特性分析的FFT多諧波平衡法[J].振動與沖擊，2012，（22）：39-44.

XU Daolin，LV Yongjian，ZHOU Jiaxi. FFT multiharmonic balance method for dynamic analysis of a nonlinear vibration isolation system[J].Journal of Vibration and Shock，2012，（22）：39-44. （In Chinese）

[19]BRENNAN M J，KOVACICB I，CARRELLA A.et al.On the jumpup and jumpdown frequencies of the Duffing oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 318（4/5）：1250-1261.