用三維實體單元分析薄壁箱型結構應注意的問題

武世靖

摘要： 從四邊固定正方形板受均布載荷的經(jīng)典問題入手，結合不同類型單元的特點，探討應用三維實體單元分析薄壁箱型結構時應注意的幾個問題，糾正三維實體單元分析和應用的誤區(qū)，為提高結構分析計算結果精度提供參考.

關鍵詞： 薄壁箱型結構； 均布載荷； 三維實體單元； 有限元

中圖分類號： TH123.3；TB115.1文獻標志碼： B

Abstract： Starting from the classic issue of the effect of uniform load on square plate with four fixed sides， several issues that should be paid attention to during the thinwall box structure analysis using 3D solid elements are discussed combining with the characteristics of different types of elements， and the misunderstanding of the solid element analysis and application is rectified. The results can provide reference for the accuracy of structure analysis and calculation.

Key words： thinwall box structure； uniform load； 3D solid element； finite element

0引言

自由網(wǎng)格劃分技術是自動化程度最高的網(wǎng)格劃分技術之一，可以在曲面上自動生成三角形或四邊形網(wǎng)格，在幾何實體上自動生成四面體網(wǎng)格，能夠把三維實體模型原封不動地應用于結構分析模型，方便快捷、省時省力，尤其對于復雜幾何模型分析，其優(yōu)勢非常突出.由于該方法只能生成四面體單元，因此不考慮結構特征而統(tǒng)統(tǒng)使用4節(jié)點三維實體單元的現(xiàn)象很常見.在許多情況下，薄壁箱型結構（如起重機橋架、桁架結構如角鋼和槽鋼等）也用自由網(wǎng)格劃分技術劃分為四面體網(wǎng)格，至于用該方法建立力學模型其求解精度如何、能否滿足工程實際要求以及應當注意哪些問題等尚無定論.

在應用有限元法解決工程實際問題時，建立正確的力學模型，求得正確的、高精度的計算結果是分析的根本，也是結構分析人員的職責.四面體網(wǎng)格處理方法的計算精度怎樣？如何正確選擇使用實體單元和板殼單元以保證求解精度？使用實體單元模擬薄壁箱型結構時，如何把握單元類型、網(wǎng)格密度與求解精度的關系？單元類型、網(wǎng)格密度對結構應力分析、應變分析和模態(tài)分析結果的影響有多大？4節(jié)點四面體單元精度比10節(jié)點四面體單元、六面體單元精度低，但低到什么程度，兩者差異有多大，在實際應用過程中如何把握？……這些問題一直困擾著眾多結構分析人員.本文用一個四邊固定、承受均布載荷正方形板的經(jīng)典算例，針對不同板厚，通過對比分析選用不同單元類型得到的靜力計算結果和模態(tài)結果，說明用三維實體單元分析薄壁箱型結構時應注意的幾個問題，期望能給結構分析人員一點啟示，糾正三維實體單元分析應用的誤區(qū)，為提高結構分析結果計算精度提供一種合理、可行的方法.

1計算實例分析

1.1問題描述

1.2單元類型對計算結果的影響

在進行結構有限元分析時，單元類型的選取非常重要：合適的單元類型可以減小計算模型，貼近實際結構，提高計算效率；選取的單元類型不合適，則可能會影響計算結果的正確性和可靠性.

分別選用4節(jié)點和8節(jié)點四邊形單元，4節(jié)點和10節(jié)點四面體單元以及8節(jié)點和20節(jié)點六面體單元，取h=10 mm，q=0.01 N/mm2，中心點撓度級數(shù)解z=0.655 mm.在均布載荷作用下幾種常用單元類型的不同單元網(wǎng)格有限元計算結果見表1，可知，對于厚寬比h/b=1/100的薄板結構：若選用4節(jié)點四邊形板殼單元，隨著單元網(wǎng)格密度的增加，板中心點撓度的計算結果可以逐步趨近解析解；若選用8節(jié)點四邊形板殼單元，板中心點撓度的計算結果很快接近解析解并趨于穩(wěn)定；選用4節(jié)點四面體實體單元時，網(wǎng)格已經(jīng)劃得很密（5 mm×5 mm），所求得的位移和應力結果均不能令人滿意，模態(tài)分析求得的第一階固有頻率誤差更大；在10節(jié)點四面體單元網(wǎng)格密度增加后，位移和模態(tài)分析的計算結果尚可，但應力結果仍誤差較大；選擇8節(jié)點六面體單元或20節(jié)點六面體單元，當單元網(wǎng)格密度相當時，位移、應力和模態(tài)分析結果計算精度較好，但是節(jié)點和單元數(shù)量迅速增長，導致計算時間延長，工作效率降低.

由此可見，對于薄板箱型結構：選用四邊形板殼單元模擬，計算規(guī)模小、收斂速度快、計算精度高；在選用實體單元模擬薄板箱型結構時，六面體單元的位移、應力和第一階模態(tài)的計算精度高，結果趨于穩(wěn)定；四面體單元的計算精度要差一些，其中，10節(jié)點單元的應力計算精度遠低于其位移和模態(tài)的計算精度，如不注意有可能位移計算結果不錯但應力計算結果與真實應力相差較大.從節(jié)點和單元數(shù)量上看，如果用精度相同作為衡量指標，在單元和節(jié)點數(shù)量相同時，高階單元的求解精度遠高于低階單元，在應力集中處即使較粗糙的網(wǎng)格，也可以得到較精確的應力值.因此，分析薄板結構選擇單元類型的優(yōu)先順序為板殼單元、六面體單元、四面體單元，并優(yōu)先選擇高階單元.在選用實體單元模擬時一定要慎重，要優(yōu)先選用如20節(jié)點六面體單元、8節(jié)點六面體單元等六面體單元，因為六面體具有良好的扭轉彎曲精度，在網(wǎng)格密度合適的情況下，使用六面體單元即可獲得高精度且計算時間短.對于主要關注結構剛度而對應力要求不高的情形，可以選用10節(jié)點單元，但在應力集中分析和接觸分析時應慎用.4節(jié)點四面體單元的扭轉和彎曲精度相對較差，應盡量少用.另外，也可以用高階單元與低階單元聯(lián)合使用的方法提高求解精度，以免計算結果誤差很大而無法覺察，把不合格的計算結果用于工程設計研發(fā).

1.3板厚對計算結果的影響

如前文所述，用三維實體單元模擬板殼結構的關鍵問題是計算精度和效率問題.三維實體單元固然很好，很方便，但如果兼顧精度和效率，它并不適用于所有場合.

根據(jù)板殼理論，薄板一般指厚寬比（1/80～1/100）

從有限元分析原理來看，實際變形體是無限自由度的體系；當用有限元求解時離散化模型的位移場是由節(jié)點位移參數(shù)即自由度構造的，故問題變成有限自由度體系.由無限自由度變成有限自由度可認為是在真實位移場上增加約束，強制其變成離散化模型的位移場，導致體系的剛度增加、位移減小、基頻升高，因而對模態(tài)分析、動力響應分析結果影響較大.在離散過程中對曲線邊界以直代曲處理時不可避免地形成離散誤差，可增加單元網(wǎng)格密度使單元逐漸細化，自由度增多，相當于使離散化模型逐步解除約束，減小剛度；當單元網(wǎng)格足夠密時，有限元數(shù)值解逼近精確解.所以，細化網(wǎng)格是解決離散誤差的有效方法.因此，離散化的基本要求是在網(wǎng)格劃分時相鄰單元應盡可能大小接近，以免產(chǎn)生剛度矩陣總裝時大數(shù)與小數(shù)相加減等導致精度（有效數(shù)字）損失較大.另外，同一單元最大尺寸與最小尺寸之比應盡可能接近1，最多不超過2.薄板結構厚度與寬度相差較大，如果選用三維實體單元進行網(wǎng)格劃分，若沿板厚法線方向劃分多層單元，并實現(xiàn)同一單元最大尺寸與最小尺寸之比接近于1，需要相當大的網(wǎng)格密度，其計算規(guī)模增大程度可想而知.

造成有限元解誤差的另一個主要原因是單元位移函數(shù)與實際位移的差異.由于單元位移插值函數(shù)為多項式，所以高階單元曲線或曲面邊界能更好地逼近結構的邊界曲線或曲面，高次位移函數(shù)能更好地逼近結構的位移分布.單元的多項式位移插值函數(shù)階次越高，精度越高，收斂速度也越快，反之亦然.由分析單元的位移模式和形函數(shù)可知，4節(jié)點單元插值多項式的最高次數(shù)為一次，8節(jié)點平面等參元的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次多項式，20節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標為完全二次多項式.20節(jié)點六面體單元的精度要比4節(jié)點四面體單元高得多，收斂速度也快得多.因此，選用高階單元可提高計算精度.當結構形狀不規(guī)則、應力分布或變形很復雜時應優(yōu)先選用高階單元，但在用實體單元模擬板殼結構時，選擇高階單元就意味著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對較大.因此，在實際應用時應綜合考慮計算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法廣泛應用位移法，以位移參數(shù)作為基本參數(shù)，在位移分析中先求得節(jié)點位移解，再由幾何方程和本構關系求得應力解.所以，有限元位移解精度高于應力解，且對于許多單元，其所構造的位移場僅是位移協(xié)調，應變并不協(xié)調，是影響有限元解精度的原因之一.對于對應力、應變及模態(tài)分析要求較高的場合，為保證計算精度，要選用高精度單元，不宜使用常應變單元等低精度單元.所以，在用實體單元模擬板殼結構時，應當走出不管實際問題如何統(tǒng)統(tǒng)選用4節(jié)點四面體單元的誤區(qū).

3幾點建議

有限元網(wǎng)格劃分的基本原則是在保證計算精度和效率的前提下，對模型進行必要簡化，使得單元網(wǎng)格數(shù)量少、存儲規(guī)模小、計算速度快、結果精度高，達到模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一.需要考慮的因素除網(wǎng)格數(shù)量、網(wǎng)格密度、網(wǎng)格質量和求解時間等外，單元類型和單元階次也是必須考慮的.針對用實體單元模型模擬板殼結構的問題，有以下幾點建議.

（1）對于厚寬比小于0.1的薄板結構或外徑與厚度比大于5的圓柱形容器，在進行結構分析時，最好用板單元模擬.

（2）對于厚板或剪切效應不能忽略的結構，可優(yōu)先選用高階三維實體單元，如20節(jié)點六面體單元、8節(jié)點六面體單元等，但要注意同一單元的最大尺寸和最小尺寸之比應盡可能接近于1，最多不超過2，以免因在厚度方向的單元層數(shù)太少而導致計算結果誤差增大.

（3）10節(jié)點四面體單元可用于剛度計算，不建議用于應力集中和接觸計算.

（4）4節(jié)點四面體單元計算精度較低，應盡量少用.

（5）在選用高階單元實際應用時還應綜合考慮計算精度和工作效率.

4結束語

對于復雜結構，綜合運用多種手段建立高質量、高計算效率的力學模型是保證有限元求解精度極其重要的一步.單元網(wǎng)格劃分是看起來簡單而實際上技巧性很強的工作，需要對實際結構、材料、載荷、約束和任務特性等方面的正確分析和認識，對力學理論和有限元分析方法的熟知以及對實際經(jīng)驗的總結和歸納.只有正確認識、深刻理解有限元各種單元的求解原理和特點，才能針對具體問題有的放矢地選擇合適的單元類型，實現(xiàn)模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一，高水平、高精度、高效率地解決工程實際問題，否則就有可能用錯誤的或低精度的分析結果來指導工程實踐而導致失敗.

參考文獻：

[1]王煥定， 吳德倫. 有限元法及計算程序 [M]. 北京： 中國建筑工業(yè)出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 張根全. 有限元與Marc實現(xiàn)[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶偉明. 線性與非線性有限元及其應用[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基礎教程[M]. 北京： 清華大學出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 網(wǎng)格劃分密度與有限元求解精度研究[C]//第三屆中國CAE工程分析技術年會論文集. 大連， 2007： 497502.

1.3板厚對計算結果的影響

如前文所述，用三維實體單元模擬板殼結構的關鍵問題是計算精度和效率問題.三維實體單元固然很好，很方便，但如果兼顧精度和效率，它并不適用于所有場合.

根據(jù)板殼理論，薄板一般指厚寬比（1/80～1/100）

從有限元分析原理來看，實際變形體是無限自由度的體系；當用有限元求解時離散化模型的位移場是由節(jié)點位移參數(shù)即自由度構造的，故問題變成有限自由度體系.由無限自由度變成有限自由度可認為是在真實位移場上增加約束，強制其變成離散化模型的位移場，導致體系的剛度增加、位移減小、基頻升高，因而對模態(tài)分析、動力響應分析結果影響較大.在離散過程中對曲線邊界以直代曲處理時不可避免地形成離散誤差，可增加單元網(wǎng)格密度使單元逐漸細化，自由度增多，相當于使離散化模型逐步解除約束，減小剛度；當單元網(wǎng)格足夠密時，有限元數(shù)值解逼近精確解.所以，細化網(wǎng)格是解決離散誤差的有效方法.因此，離散化的基本要求是在網(wǎng)格劃分時相鄰單元應盡可能大小接近，以免產(chǎn)生剛度矩陣總裝時大數(shù)與小數(shù)相加減等導致精度（有效數(shù)字）損失較大.另外，同一單元最大尺寸與最小尺寸之比應盡可能接近1，最多不超過2.薄板結構厚度與寬度相差較大，如果選用三維實體單元進行網(wǎng)格劃分，若沿板厚法線方向劃分多層單元，并實現(xiàn)同一單元最大尺寸與最小尺寸之比接近于1，需要相當大的網(wǎng)格密度，其計算規(guī)模增大程度可想而知.

造成有限元解誤差的另一個主要原因是單元位移函數(shù)與實際位移的差異.由于單元位移插值函數(shù)為多項式，所以高階單元曲線或曲面邊界能更好地逼近結構的邊界曲線或曲面，高次位移函數(shù)能更好地逼近結構的位移分布.單元的多項式位移插值函數(shù)階次越高，精度越高，收斂速度也越快，反之亦然.由分析單元的位移模式和形函數(shù)可知，4節(jié)點單元插值多項式的最高次數(shù)為一次，8節(jié)點平面等參元的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次多項式，20節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標為完全二次多項式.20節(jié)點六面體單元的精度要比4節(jié)點四面體單元高得多，收斂速度也快得多.因此，選用高階單元可提高計算精度.當結構形狀不規(guī)則、應力分布或變形很復雜時應優(yōu)先選用高階單元，但在用實體單元模擬板殼結構時，選擇高階單元就意味著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對較大.因此，在實際應用時應綜合考慮計算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法廣泛應用位移法，以位移參數(shù)作為基本參數(shù)，在位移分析中先求得節(jié)點位移解，再由幾何方程和本構關系求得應力解.所以，有限元位移解精度高于應力解，且對于許多單元，其所構造的位移場僅是位移協(xié)調，應變并不協(xié)調，是影響有限元解精度的原因之一.對于對應力、應變及模態(tài)分析要求較高的場合，為保證計算精度，要選用高精度單元，不宜使用常應變單元等低精度單元.所以，在用實體單元模擬板殼結構時，應當走出不管實際問題如何統(tǒng)統(tǒng)選用4節(jié)點四面體單元的誤區(qū).

3幾點建議

有限元網(wǎng)格劃分的基本原則是在保證計算精度和效率的前提下，對模型進行必要簡化，使得單元網(wǎng)格數(shù)量少、存儲規(guī)模小、計算速度快、結果精度高，達到模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一.需要考慮的因素除網(wǎng)格數(shù)量、網(wǎng)格密度、網(wǎng)格質量和求解時間等外，單元類型和單元階次也是必須考慮的.針對用實體單元模型模擬板殼結構的問題，有以下幾點建議.

（1）對于厚寬比小于0.1的薄板結構或外徑與厚度比大于5的圓柱形容器，在進行結構分析時，最好用板單元模擬.

（2）對于厚板或剪切效應不能忽略的結構，可優(yōu)先選用高階三維實體單元，如20節(jié)點六面體單元、8節(jié)點六面體單元等，但要注意同一單元的最大尺寸和最小尺寸之比應盡可能接近于1，最多不超過2，以免因在厚度方向的單元層數(shù)太少而導致計算結果誤差增大.

（3）10節(jié)點四面體單元可用于剛度計算，不建議用于應力集中和接觸計算.

（4）4節(jié)點四面體單元計算精度較低，應盡量少用.

（5）在選用高階單元實際應用時還應綜合考慮計算精度和工作效率.

4結束語

對于復雜結構，綜合運用多種手段建立高質量、高計算效率的力學模型是保證有限元求解精度極其重要的一步.單元網(wǎng)格劃分是看起來簡單而實際上技巧性很強的工作，需要對實際結構、材料、載荷、約束和任務特性等方面的正確分析和認識，對力學理論和有限元分析方法的熟知以及對實際經(jīng)驗的總結和歸納.只有正確認識、深刻理解有限元各種單元的求解原理和特點，才能針對具體問題有的放矢地選擇合適的單元類型，實現(xiàn)模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一，高水平、高精度、高效率地解決工程實際問題，否則就有可能用錯誤的或低精度的分析結果來指導工程實踐而導致失敗.

參考文獻：

[1]王煥定， 吳德倫. 有限元法及計算程序 [M]. 北京： 中國建筑工業(yè)出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 張根全. 有限元與Marc實現(xiàn)[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶偉明. 線性與非線性有限元及其應用[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基礎教程[M]. 北京： 清華大學出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 網(wǎng)格劃分密度與有限元求解精度研究[C]//第三屆中國CAE工程分析技術年會論文集. 大連， 2007： 497502.

1.3板厚對計算結果的影響

如前文所述，用三維實體單元模擬板殼結構的關鍵問題是計算精度和效率問題.三維實體單元固然很好，很方便，但如果兼顧精度和效率，它并不適用于所有場合.

根據(jù)板殼理論，薄板一般指厚寬比（1/80～1/100）

從有限元分析原理來看，實際變形體是無限自由度的體系；當用有限元求解時離散化模型的位移場是由節(jié)點位移參數(shù)即自由度構造的，故問題變成有限自由度體系.由無限自由度變成有限自由度可認為是在真實位移場上增加約束，強制其變成離散化模型的位移場，導致體系的剛度增加、位移減小、基頻升高，因而對模態(tài)分析、動力響應分析結果影響較大.在離散過程中對曲線邊界以直代曲處理時不可避免地形成離散誤差，可增加單元網(wǎng)格密度使單元逐漸細化，自由度增多，相當于使離散化模型逐步解除約束，減小剛度；當單元網(wǎng)格足夠密時，有限元數(shù)值解逼近精確解.所以，細化網(wǎng)格是解決離散誤差的有效方法.因此，離散化的基本要求是在網(wǎng)格劃分時相鄰單元應盡可能大小接近，以免產(chǎn)生剛度矩陣總裝時大數(shù)與小數(shù)相加減等導致精度（有效數(shù)字）損失較大.另外，同一單元最大尺寸與最小尺寸之比應盡可能接近1，最多不超過2.薄板結構厚度與寬度相差較大，如果選用三維實體單元進行網(wǎng)格劃分，若沿板厚法線方向劃分多層單元，并實現(xiàn)同一單元最大尺寸與最小尺寸之比接近于1，需要相當大的網(wǎng)格密度，其計算規(guī)模增大程度可想而知.

造成有限元解誤差的另一個主要原因是單元位移函數(shù)與實際位移的差異.由于單元位移插值函數(shù)為多項式，所以高階單元曲線或曲面邊界能更好地逼近結構的邊界曲線或曲面，高次位移函數(shù)能更好地逼近結構的位移分布.單元的多項式位移插值函數(shù)階次越高，精度越高，收斂速度也越快，反之亦然.由分析單元的位移模式和形函數(shù)可知，4節(jié)點單元插值多項式的最高次數(shù)為一次，8節(jié)點平面等參元的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次多項式，20節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標為完全二次多項式.20節(jié)點六面體單元的精度要比4節(jié)點四面體單元高得多，收斂速度也快得多.因此，選用高階單元可提高計算精度.當結構形狀不規(guī)則、應力分布或變形很復雜時應優(yōu)先選用高階單元，但在用實體單元模擬板殼結構時，選擇高階單元就意味著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對較大.因此，在實際應用時應綜合考慮計算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法廣泛應用位移法，以位移參數(shù)作為基本參數(shù)，在位移分析中先求得節(jié)點位移解，再由幾何方程和本構關系求得應力解.所以，有限元位移解精度高于應力解，且對于許多單元，其所構造的位移場僅是位移協(xié)調，應變并不協(xié)調，是影響有限元解精度的原因之一.對于對應力、應變及模態(tài)分析要求較高的場合，為保證計算精度，要選用高精度單元，不宜使用常應變單元等低精度單元.所以，在用實體單元模擬板殼結構時，應當走出不管實際問題如何統(tǒng)統(tǒng)選用4節(jié)點四面體單元的誤區(qū).

3幾點建議

有限元網(wǎng)格劃分的基本原則是在保證計算精度和效率的前提下，對模型進行必要簡化，使得單元網(wǎng)格數(shù)量少、存儲規(guī)模小、計算速度快、結果精度高，達到模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一.需要考慮的因素除網(wǎng)格數(shù)量、網(wǎng)格密度、網(wǎng)格質量和求解時間等外，單元類型和單元階次也是必須考慮的.針對用實體單元模型模擬板殼結構的問題，有以下幾點建議.

（1）對于厚寬比小于0.1的薄板結構或外徑與厚度比大于5的圓柱形容器，在進行結構分析時，最好用板單元模擬.

（2）對于厚板或剪切效應不能忽略的結構，可優(yōu)先選用高階三維實體單元，如20節(jié)點六面體單元、8節(jié)點六面體單元等，但要注意同一單元的最大尺寸和最小尺寸之比應盡可能接近于1，最多不超過2，以免因在厚度方向的單元層數(shù)太少而導致計算結果誤差增大.

（3）10節(jié)點四面體單元可用于剛度計算，不建議用于應力集中和接觸計算.

（4）4節(jié)點四面體單元計算精度較低，應盡量少用.

（5）在選用高階單元實際應用時還應綜合考慮計算精度和工作效率.

4結束語

對于復雜結構，綜合運用多種手段建立高質量、高計算效率的力學模型是保證有限元求解精度極其重要的一步.單元網(wǎng)格劃分是看起來簡單而實際上技巧性很強的工作，需要對實際結構、材料、載荷、約束和任務特性等方面的正確分析和認識，對力學理論和有限元分析方法的熟知以及對實際經(jīng)驗的總結和歸納.只有正確認識、深刻理解有限元各種單元的求解原理和特點，才能針對具體問題有的放矢地選擇合適的單元類型，實現(xiàn)模型規(guī)模、計算時間和求解精度的協(xié)調統(tǒng)一，高水平、高精度、高效率地解決工程實際問題，否則就有可能用錯誤的或低精度的分析結果來指導工程實踐而導致失敗.

參考文獻：

[1]王煥定， 吳德倫. 有限元法及計算程序 [M]. 北京： 中國建筑工業(yè)出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 張根全. 有限元與Marc實現(xiàn)[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶偉明. 線性與非線性有限元及其應用[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基礎教程[M]. 北京： 清華大學出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 網(wǎng)格劃分密度與有限元求解精度研究[C]//第三屆中國CAE工程分析技術年會論文集. 大連， 2007： 497502.