多齒差擺線泵流量脈動(dòng)及其影響因素研究

黃康，王昭，邱明明

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽合肥230009)

流量脈動(dòng)的均勻性是泵的一項(xiàng)重要的品質(zhì)，過大的流量脈動(dòng)，直接影響到液壓系統(tǒng)的平穩(wěn)性，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生壓力脈動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)、噪聲的產(chǎn)生。因此，在泵的設(shè)計(jì)過程中，必須對(duì)其流量脈動(dòng)特性進(jìn)行分析，并將流量脈動(dòng)小作為一項(xiàng)重要指標(biāo)加以考慮。多齒差擺線齒輪具有結(jié)構(gòu)緊湊、排量大、流量脈動(dòng)小等優(yōu)點(diǎn)，從而廣泛應(yīng)用于化工、機(jī)械等行業(yè)中。

在擺線泵輪齒成形及嚙合基本原理的研究中，Daniele VECCHIATO［1］利用包絡(luò)線法研究了擺線輪的成形原理并利用計(jì)算機(jī)輔助方法設(shè)計(jì)齒輪泵;在對(duì)多齒差擺線齒輪泵的流量脈動(dòng)的研究中，徐學(xué)忠［2］根據(jù)擺線齒輪泵的嚙合原理，推導(dǎo)了多齒差擺線齒輪泵流量和流量脈動(dòng)的理論計(jì)算公式，得出了影響流量脈動(dòng)大小的主要因素是嚙合點(diǎn)距節(jié)點(diǎn)的距離的結(jié)論;伍迪等人［3］通過取不同的k、h值，獲得了這兩個(gè)系數(shù)與流量脈動(dòng)系數(shù)之間的關(guān)系圖，通過取不同的ka、kf值，獲得了這兩個(gè)系數(shù)與流量脈動(dòng)之間的關(guān)系圖，在以上基礎(chǔ)上，確定各參數(shù)對(duì)流量脈動(dòng)的影響程度。

以上關(guān)于擺線泵流量脈動(dòng)研究的文獻(xiàn)僅從理論上建立抽象的數(shù)學(xué)模型，給出了流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算方法，并沒有從細(xì)節(jié)上對(duì)具體的計(jì)算方法進(jìn)行分析，因此無法滿足工程實(shí)際的需要。關(guān)于利用正交試驗(yàn)法研究擺線泵各參數(shù)對(duì)流量脈動(dòng)的影響程度，目前尚未見有文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行研究。

以下著重對(duì)多齒差擺線齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算方法做了詳細(xì)分析，通過五因素二次回歸正交試驗(yàn)方法安排了一組試驗(yàn)，按照所提出的計(jì)算方法實(shí)施該組試驗(yàn)，最終通過回歸方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行處理，獲得擺線、圓弧齒輪各參數(shù)對(duì)不均勻系數(shù)影響的顯著性程度。

1 基本參數(shù)與幾何尺寸

多齒差擺線齒輪泵的基本幾何參數(shù)有擺線齒輪齒數(shù)z1，圓弧齒輪齒數(shù)z2，創(chuàng)成系數(shù)k，弧徑系數(shù)h，頂徑系數(shù)kf，根徑系數(shù)ka，中心距a，擺線、圓弧齒輪的節(jié)圓半徑r1、r2，擺線齒輪齒頂圓與齒根圓半徑ra1、rf1，圓弧齒輪齒頂圓及齒根圓半徑ra2、rf2。

2 流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算

2.1 研究思路

2.1.1 嚙合線的研究

以內(nèi)轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)中心O1為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系SS，同時(shí)建立與內(nèi)轉(zhuǎn)子固連的動(dòng)坐標(biāo)系S1，以內(nèi)轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)中心O2為原點(diǎn)，建立與之固連的動(dòng)坐標(biāo)系S2，根據(jù)短幅外擺線等距曲線的成形原理，以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得多齒差擺線齒廓方程的矢量表達(dá)式:

由于內(nèi)外轉(zhuǎn)子是定傳動(dòng)比傳動(dòng)，則內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角φ1與外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角φ2之間具有如下關(guān)系:

在式 (1)中，θ為外轉(zhuǎn)子圓弧齒廓圓心C與O2構(gòu)成的直線O2C與擺線法線PC之間的夾角，根據(jù)幾何關(guān)系可得:

將式 (2)、(3)代入式 (1)得:

嚙合點(diǎn)M在固定坐標(biāo)系Ss中的軌跡即為內(nèi)外轉(zhuǎn)子的實(shí)際嚙合線，通過坐標(biāo)變換法可得，嚙合線的矢量表達(dá)式為:

2.1.2 瞬時(shí)流量的計(jì)算

齒輪泵瞬時(shí)流量的計(jì)算一般通過掃面積法，對(duì)于多齒差擺線齒輪泵，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子在時(shí)間dt內(nèi)轉(zhuǎn)過角度dφ1時(shí)，外轉(zhuǎn)子相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為dφ2，根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系，有:

對(duì)于齒寬為B的齒輪，根據(jù)相應(yīng)的幾何關(guān)系，包圍壓油腔的齒面在時(shí)間dt內(nèi)掃過的面積為:

式中:rM1，rM2分別為嚙合點(diǎn)M至內(nèi)、外轉(zhuǎn)子中心的距離，于是，在時(shí)間dt內(nèi)，從壓油腔排出的容積為:

從而得到瞬時(shí)流量的計(jì)算式:

由式 (9)可知，當(dāng)泵的基本參數(shù)給定后，瞬時(shí)流量主要由嚙合點(diǎn)的位置所決定，于是，要研究瞬時(shí)流量的變化規(guī)律，必須從研究嚙合點(diǎn)位置的變化入手。

根據(jù)圖1中各元素間的關(guān)系可得

圖1 擺線泵嚙合圖

式中:s為嚙合點(diǎn)M與節(jié)點(diǎn)P之間的距離。

于是可得:

又有:

將式 (5)、(13)代入式 (12)可得:

又有:

于是有:

于是得到s的長度表達(dá)式:

化簡得:

由圖1可知，當(dāng)嚙合點(diǎn)M與節(jié)點(diǎn)P重合時(shí)，s=0，則瞬時(shí)流量的最大值為:

當(dāng)s取最大值smax時(shí)，瞬時(shí)流量取得最小值，即有:

2.1.3 排量的計(jì)算

將齒輪泵內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過一周所排出的液體的體積定義為泵的排量。多齒差擺線泵的排量計(jì)算需要經(jīng)過復(fù)雜的數(shù)值微積分過程，不便于實(shí)際操作，故一般工程設(shè)計(jì)中采用近似計(jì)算方式:

該式計(jì)算誤差在2%～5%左右，對(duì)于多齒差擺線齒輪泵，誤差將取下限值。

2.1.4 流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算

泵在單位時(shí)間內(nèi)排出的液體的體積稱為平均流量，有:

式中:n1為泵內(nèi)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，單位為r/min

泵的最大瞬時(shí)流量與最小瞬時(shí)流量間的差值與平均流量之間的比值為泵的流量脈動(dòng)系數(shù)，即有:

將式 (20)、(21)、(22)代入式 (24)得:

圖2 實(shí)際嚙合線圖

由式 (25)可知，當(dāng)泵的基本參數(shù)給定后，流量脈動(dòng)系數(shù)的取值由s唯一確定。設(shè)一對(duì)齒進(jìn)入嚙合時(shí)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子2相位角為φ2s，退出嚙合時(shí)對(duì)應(yīng)的相位角為 φ2e，圖 2給出了在轉(zhuǎn)子2的相位角由φ2s到φ2e變動(dòng)過程中嚙合點(diǎn)的軌跡線，由該曲線可知，從開始嚙合到退出嚙合，s值遞減直至為0，再由0遞增直至退出嚙合，故smax出現(xiàn)在開始或退出嚙合時(shí)。求出φ2s與φ2e，然后代入式 (19)即可求出smax的值，代入式 (25)即可求出脈動(dòng)系數(shù)。

根據(jù)擺線、圓弧齒輪嚙合原理，參照?qǐng)D2擺線輪齒根圓與實(shí)際嚙合線在節(jié)點(diǎn)P下方的交點(diǎn)Ms即為進(jìn)入嚙合時(shí)的初始嚙合點(diǎn)，而實(shí)際嚙合線與擺線輪齒頂圓的交點(diǎn)Me即為嚙合終點(diǎn)。而Ms、Me所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子2的相位角即為φ2s與φ2e。

列出擺線輪齒頂圓曲線及齒根圓曲線方程、嚙合線方程如下:

齒頂圓方程:

齒根圓方程

嚙合線方程:

在理論上，由方程 (26)與 (28)以及 (27)與 (28)的聯(lián)立，便可求出φ2s與φ2e，但實(shí)際操作中，由于方程的復(fù)雜性，即使使用求解軟件也不能快速得出符合要求的解，故采用作圖法求解這兩個(gè)角度，具體方法為，利用MATLAB的繪圖功能，在同一坐標(biāo)系中，以φ2為變量 (設(shè)置其增量為1/10 000，保證計(jì)算精度)繪制齒頂圓、齒根圓及實(shí)際嚙合線，通過觀測齒頂、齒根圓與嚙合線實(shí)際相交時(shí)所分別對(duì)應(yīng)的φ2的數(shù)值，達(dá)到求解目的。該方法操作簡單，計(jì)算精度高。

2.2 實(shí)例計(jì)算

以某DCT用齒輪泵為例，基本參數(shù)如下:

z1=8，z2=11，k=1.755 0，h=1.240 0，ka=0.750 0，kf=1.020 0，a=9，通過2.1.4所述方法方法，求得:

φ2s=0.094 0π，φ2e=0.320 0π，如圖 2 所示，Ms為一對(duì)齒進(jìn)入嚙合時(shí)的起始嚙合點(diǎn)，Me為退出嚙合時(shí)的嚙合點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的曲線即為一對(duì)齒從開始嚙合至退出嚙合的實(shí)際嚙合線。

根據(jù) 式 (26)，繪制 出 當(dāng) φ2在 (0.094π，0.320 0π)區(qū)間取值時(shí)，s長度變化圖及瞬時(shí)流量變化圖如圖3、4。

圖3 s長度變化圖

圖4 瞬時(shí)流量變化圖

由圖3、圖4可知，瞬時(shí)流量最大值出現(xiàn)在進(jìn)入或退出嚙合時(shí)，當(dāng)s取得最大值時(shí)，瞬時(shí)流量取得最小值。

將φ2s=0.094 0π，φ2e=0.320 0π 代入式 (25)，可求得脈動(dòng)系數(shù)δq=0.065 3，即6.53%。至此，完成了給定參數(shù)的齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算。以上過程通過編制程序，利用MATLAB求解后，效率大幅提升。

3 正交試驗(yàn)安排及顯著性分析

3.1 試驗(yàn)實(shí)施

3.1.1 正交試驗(yàn)安排

選取某DCT用的三齒差擺線泵作為研究對(duì)象，該泵擺線、圓弧齒輪分別為:z1=8，z2=11。影響流量脈動(dòng)的因素有k、h、ka、kf、a 5個(gè)，考慮交互作用及二次項(xiàng)的影響，故使用五因素二次回歸正交設(shè)計(jì)法，安排一個(gè)五因素二水平1/2實(shí)施的正交試驗(yàn)，其中，二水平試驗(yàn)實(shí)施次數(shù) mc=2× (5－1)=16(次);星號(hào)試驗(yàn)實(shí)施次數(shù)mγ=2×5=10(次);零水平試驗(yàn)實(shí)施次m0=1(次);總次數(shù)n=mc+mγ+m0=27(次)。取 x1=k，x2=h，x3=ka，x4=kf，x5=a，設(shè)計(jì)因素水平編碼表如表1。

表1 因素編碼表

表1中，γ為星號(hào)臂，具體數(shù)值通過查表確定，對(duì)于五因素二水平1/2實(shí)施以及m0=1，可查得γ=1.547;安排正交試驗(yàn)，采用2.1.4所述流量脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算方法，完成27組實(shí)驗(yàn)并得出數(shù)據(jù)，通過所得數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，獲得各項(xiàng)的偏回歸平方和、均方差、殘差值等數(shù)據(jù)，并進(jìn)行F檢驗(yàn)，最終結(jié)果如表2。

表2 方差分析表

3.1.2 顯著性檢驗(yàn)

在表2中，zj由xj線性變換得到，有xj與zj一一對(duì)應(yīng)，SS欄所對(duì)應(yīng)的是各項(xiàng)的偏回歸平方和，df對(duì)應(yīng)自由度，MS對(duì)應(yīng)各項(xiàng)均方差，即偏回歸平方和與自由度的比值，F(xiàn)則對(duì)應(yīng)各項(xiàng)通過F檢驗(yàn)后的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果，可判斷各項(xiàng)的顯著性。通過F檢驗(yàn)表可知，F(xiàn)0.01(1，6)=13.75，故對(duì)于所有的一次項(xiàng)、交互項(xiàng)、二次項(xiàng)中，只有一次項(xiàng)z1、z2、z4對(duì)流量脈動(dòng)有顯著性影響，而其他項(xiàng)對(duì)脈動(dòng)所引起的差異不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。又有F0.01(20，6)=7.4，故所建立回歸方程也非常顯著。去除不顯著項(xiàng)目，得到最終的回歸方程如下:

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 影響程度分析

通過式 (29)以及方差分析表可知，因素1、2、4，即創(chuàng)成系數(shù)k、弧徑系數(shù)h、齒根圓系數(shù)kf對(duì)流量脈動(dòng)影響程度最顯著，具體順序?yàn)?kf＞k≈h，k、kf的影響為負(fù)，而h的影響為正，因此，適當(dāng)增加k、kf值、減少h值對(duì)降低流量脈動(dòng)有利。

3.2.2 原因分析

(1)根據(jù)式 (29)，k、h的取值對(duì)排量 q無影響，故該二因素對(duì)脈動(dòng)系數(shù)的影響體現(xiàn)在對(duì)smax取值的影響上，smax取值隨著k增大而減小，隨h增大而增大;

(2)kf影響擺線輪齒頂圓的尺寸，從而影響q值;q值隨著kf的增大而增大;又根據(jù)圖3，smax出現(xiàn)在嚙入點(diǎn)處，即kf取值不影響smax，根據(jù)式 (32)，該因素對(duì)流量脈動(dòng)顯然具有負(fù)影響。smax值出現(xiàn)在嚙入點(diǎn)處是由ka的取值確定的，ka取值越大，嚙入點(diǎn)距離嚙合節(jié)點(diǎn)的距離越近，隨著該距離的縮短，再提高kf的取值，理論上可以實(shí)現(xiàn)smax出現(xiàn)在嚙出點(diǎn)處，但實(shí)際問題中，kf的取值范圍小，ka的取值范圍較大，上述問題一般不會(huì)出現(xiàn)，文中也是基于smax出現(xiàn)在嚙入點(diǎn)處進(jìn)行研究的。

(3)如 (2)中所述，smax出現(xiàn)在嚙入時(shí)，smax隨著ka的增大而減小;ka同樣影響排量q，rf1隨ka的增大而增大，由式 (22)，q值將隨之減小;綜上，ka的增大將導(dǎo)致smax與q的減小，而分析結(jié)果為ka對(duì)流量脈動(dòng)影響不顯著，這說明，ka的增大造成式(25)分子、分母的減小幅度大體相同，從而整體表現(xiàn)為流量脈動(dòng)值不變。

(4)中心距a對(duì)流量脈動(dòng)影響不顯著，這是由于，在流量脈動(dòng)的計(jì)算過程中，a最終都可以通過化簡約去。

4 結(jié)束語

(1)提出一種通過對(duì)擺線、圓弧齒輪的嚙合原理進(jìn)行分析，綜合使用MATLAB繪圖、計(jì)算功能，可以精確、快速計(jì)算出多齒差擺線齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)的方法，該方法直觀、易操作、精度高，適和與工程應(yīng)用。

(2)通過五因素二次回歸方法，得出了各參數(shù)對(duì)齒輪泵流量脈動(dòng)系數(shù)影響程度，并進(jìn)行量化，從而為工程設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)低流量脈動(dòng)的齒輪泵提供理論依據(jù)。

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