答非所問的速度改變辨析

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(1.天津渤海職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300221；2.天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院，天津 300221)

一、 關(guān)于加速與減速

需要明確的是：加速(等價(jià)速率|v|變大)還是減速(等價(jià)速率|v|變小)是對速率|v|改變而言，而非對速度v改變而言。下面以較熟悉的豎直上拋物體的運(yùn)動來說明之。

以初速度v0豎直上拋物體的運(yùn)動速度公式為v(t)=v0-gt(1)

實(shí)際上需考慮方向，即考慮上升(正方向)與下降(反方向)兩種情形：

v逐漸減小的事實(shí)可以用初等數(shù)學(xué)方法說明：直線v(t)=v0-gt的斜率-g<0，說明物體運(yùn)動速度單調(diào)v減少；

v逐漸減小的事實(shí)還可以用高等數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步證實(shí)：由(1)式求導(dǎo)得v′(t)=-g<0，套用函數(shù)單調(diào)性判定定理，說明物體運(yùn)動速度v單調(diào)減少。

v逐漸減小的事實(shí)見圖1即可一目了然。

圖1 豎直上拋運(yùn)動速度圖

二、 例的答案為答非所問

下面例及解均是[1]書在77-78頁上的例4及解[1]。

解 由于故當(dāng)時v′(t)=3t3-21t2+30t=3t(t-2)(t-5)，故當(dāng)02時，v′(t)>0，即運(yùn)動是加速的；當(dāng)20，即運(yùn)動又是加速的。

當(dāng)一中明確加速還是減速是對速率|v|的改變而言后，自然而然地會知道，例問的問題是運(yùn)動速度v的改變情況怎樣，而例給出的答案是運(yùn)動速率|v|的改變情況怎樣，故例的答案為答非所問。

三、 例的答案為答為所問(運(yùn)動速度的改變情況)的判定研究

由于例未弄清加速還是減速是對速率|v|改變而言，而非對速度v改變而言，即對速率改變與速度改變未區(qū)分好，導(dǎo)致答案為答非所問，故需要修改例的答案。

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判定定理，我們可以直接v′(t)用符號研究v的單調(diào)性，即當(dāng)00，說明運(yùn)動速度v單調(diào)增加；當(dāng)20，說明運(yùn)動速度v又單調(diào)增加。

四、 運(yùn)動速率的改變情況的判定研究

雖然三中借助函數(shù)單調(diào)性判定定理，澄清用v′(t)的符號判定的是速度改變，而非判定速率改變，但未解決速率改變判定的問題。下面進(jìn)一步解決如何用構(gòu)造τ′(t)(τ=|v|)的的符號判定速率改變的問題。

受豎直上拋運(yùn)動的啟發(fā)，上升時，τ>0(τ=|v|)，用τ′的符號研究τ=|v|加速還是減速正確；下降時，v=0，取τ=-(v0-gt)(τ=|v|)，再用τ′的符號研究τ=|v|加速還是減速也正確，見圖2。

圖2 豎直上拋運(yùn)動速率圖

一般地，用v(t)=0的時間t把整個時間分成若干部分，在每個部分區(qū)間上v(t)>0或v(t)<0。與函數(shù)單調(diào)性判定定理的用法類似：

當(dāng)v(t)>0時，用τ′的符號研究τ=|v|加速還是減速；

當(dāng)v(t)<0時，用τ′的符號研究τ=|v|加速還是減速。

五、有意思的加、減速與數(shù)學(xué)中關(guān)于正(或負(fù))號美

最后需要進(jìn)一步澄清：加速可能是速度單增，如正方向上的速度變大，還可能是速度單減，如圖1的下降過程；同樣，減速可能是速度單增，如反方向上的剎車過程，還可能是速度單減，如圖1的上升過程。關(guān)鍵問題是，“+”號表示“正方向”，“-”號表示“反方向”，在此也可以體會到數(shù)學(xué)中關(guān)于正(或負(fù))號美。

參考文獻(xiàn)：

[1]上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，中山大學(xué)力學(xué)系，上海師范學(xué)院數(shù)學(xué)系合編. 高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1991.