有理數(shù)乘法法則講法之比較

劉輝

今年學(xué)校再次安排我任七年級(jí)的數(shù)學(xué)課，我心中暗自高興，因?yàn)楫吘菇虒W(xué)難度又降低了，輕松了許多。但接下來(lái)發(fā)生的一件事卻讓我陷入了沉思。

開課的第二周，教材講到了有理數(shù)的乘法，我輕車熟路地設(shè)計(jì)好了這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)。一開始先安排學(xué)生做了幾道有理數(shù)的加減法運(yùn)算，心想有理數(shù)的乘法要比加減法簡(jiǎn)單得多，練完了有理數(shù)的加減，乘法只要簡(jiǎn)單一說就行了。講完了課本中的講解內(nèi)容，我按著先前的教學(xué)安排提問道：“誰(shuí)還有不明白的地方？”結(jié)果班上一名學(xué)生高高地舉起手來(lái)問道：“為什么負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得正數(shù)呢？我不明白?！卑嗌系钠渌麑W(xué)生先是哈哈大笑，可隨后也感覺到了同樣的困惑。對(duì)呀，為什么呢？我于是用課本上的講解方法再次講了一遍，可突然發(fā)現(xiàn)課本上的講解也算不上證明。于是我又舉例，說手心朝上為正朝下為負(fù)，翻一次手為負(fù)，那么手心朝下再翻一次不就是朝上為正了嗎？你們先這樣記著，慢慢理解?；氐睫k公室之后，我一直為自己不能很好地解釋這個(gè)問題而感到不安，我陷入了沉思。回想本學(xué)期的開始，我好像早就意識(shí)到了這個(gè)問題的出現(xiàn)。因?yàn)閺娜ツ昶鹌吣昙?jí)的數(shù)學(xué)教材再一次改版了，在新版的七年級(jí)教材中關(guān)于有理數(shù)的乘法的講解方法有了重大的改動(dòng)，不再是以前的用蝸牛沿直線爬行的方式來(lái)講解，而是采用了由一系列算式導(dǎo)出的方法。這種講解方法上的改變已經(jīng)讓我對(duì)為什么負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)要得正數(shù)再一次產(chǎn)生了思考。直至今天，在課堂上學(xué)生再次提出才讓我意識(shí)到一定要把這個(gè)問題搞清楚。

為了找到答案，我上網(wǎng)，翻書，問同事，折騰了好幾天，但是還是沒有找到讓我完全信服的解釋。不過在這個(gè)過程中我卻獲得了不少的收獲，下面就先把我的收獲與大家分享一下。

一、了解了“負(fù)負(fù)得正”的發(fā)展史

首先，負(fù)數(shù)概念最早出現(xiàn)在中國(guó)的《九章算術(shù)》的方程一章中。在這一章中它給出正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則。而負(fù)負(fù)得正則是在13世紀(jì)末才由數(shù)學(xué)家朱士杰給出。在《算學(xué)啟蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負(fù)。”在公元7世紀(jì)，印度的數(shù)學(xué)家婆羅笈多（brahmayup-ta）已經(jīng)有了明確的正負(fù)數(shù)概念，及其四則運(yùn)算法則，內(nèi)容是：“正負(fù)數(shù)相乘得負(fù)，兩負(fù)數(shù)相乘得正，兩正數(shù)相乘得正?！敝钡?8世紀(jì)仍然有一些西方數(shù)學(xué)家認(rèn)為“負(fù)負(fù)得正”這一運(yùn)算法則是個(gè)謬論。甚至到了19世紀(jì)，英國(guó)還有一些數(shù)學(xué)家不接受負(fù)數(shù)。如英國(guó)數(shù)學(xué)家弗倫得（1757—1841）抨擊那些談“負(fù)負(fù)得正”的代數(shù)學(xué)家，認(rèn)為負(fù)數(shù)有悖常理，“只有那些喜歡信口開河，厭惡嚴(yán)肅思維的人才支持這種數(shù)的使用。”事實(shí)上直到19世紀(jì)中葉以前，負(fù)負(fù)得正的運(yùn)算，在代數(shù)課本中都沒有得到正確的解釋。

二、加深了對(duì)有理數(shù)乘法法則實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)

什么是有理數(shù)的乘法法則？有理數(shù)的乘法法則為什么是這樣的？這些以前從未思考過的問題現(xiàn)在出現(xiàn)在了我的腦海里。對(duì)比教材，我突然間明白了這樣一個(gè)實(shí)質(zhì)性問題：有理數(shù)乘法法則實(shí)質(zhì)上就是一種規(guī)定。這樣我之前的考慮問題的方向完全是錯(cuò)誤的，再回過頭來(lái)看有理數(shù)的乘法法則，好像就明白了許多。比如，為什么要這樣規(guī)定運(yùn)算法則呢？這讓我想到了本冊(cè)教材的第一節(jié)課，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。所有問題的出現(xiàn)都是因?yàn)樨?fù)數(shù)。為什么會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，當(dāng)然是因?yàn)樯钪谐霈F(xiàn)了正數(shù)所不能解決的問題了。那正數(shù)和負(fù)數(shù)的符號(hào)就是具有實(shí)際意義的符號(hào)了。在運(yùn)算中就多了符號(hào)之間的運(yùn)算，那符號(hào)的運(yùn)算當(dāng)然要符合實(shí)際的意義了。這樣一來(lái)就不難理解為什么負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)要得正數(shù)了。

三、理解有理數(shù)乘法法則的合理性

上面我已經(jīng)說到了有理數(shù)乘法法則是一種規(guī)定，為什么這樣規(guī)定呢？帶著這個(gè)問題我做了進(jìn)一步的思考，仔細(xì)地比對(duì)新老教材上的兩種講解方法，得出以下發(fā)現(xiàn)：以蝸牛沿直線運(yùn)動(dòng)的講解為例吧，正號(hào)和負(fù)號(hào)分別表示了蝸牛運(yùn)動(dòng)的方向和時(shí)間的前后，根據(jù)蝸牛運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況我們直接就能得出乘積的符號(hào)是什么，由實(shí)際得出的算式總結(jié)出乘法的運(yùn)算法則自然再合理不過了。這樣有理數(shù)乘法法則的合理性就不言而喻了。

四、從兩種講解方法中看到了形象思維與抽象思維

首先，我簡(jiǎn)單地解釋一下什么是形象思維和抽象思維。形象思維就是用直觀形象和表象來(lái)解決問題的思維方式。抽象思維則是對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行間接地、概括地反映的過程。兩種方法中怎么會(huì)有形象思維與抽象思維呢？

1.蝸牛爬行方式的講解重形象思維。生動(dòng)的畫面、直觀的圖像，讓學(xué)生一看到就有一種親切的感受，因?yàn)樗永m(xù)了學(xué)生小學(xué)時(shí)的一貫思維方式，起到了小學(xué)與中學(xué)之間的銜接與過渡。生動(dòng)直觀的畫面對(duì)于幫助學(xué)生理解乘法法則規(guī)定的合理性，幫助也是很大的。

2.算式講解法重抽象思維。算式的講解方法與蝸牛法就截然不同了，要想理解它，需要尋找算式之間的規(guī)律，讓學(xué)生思考在引進(jìn)了負(fù)數(shù)之后，如果想讓這種乘法規(guī)律繼續(xù)延續(xù)下去，該如何對(duì)運(yùn)算法則做進(jìn)一步的規(guī)定？從而得出了現(xiàn)在的有理數(shù)的乘法法則。這種講解方法在理解上，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求很高。與小學(xué)一貫的思維方式不同，可以說有一定的難度。

3.兩種方法哪一個(gè)更容易理解法則的合理性呢？我個(gè)人認(rèn)為，蝸牛爬行的講解方法更容易理解，因?yàn)樗芡癸@：“規(guī)定是源于生活的實(shí)際的需要”，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是為了解決生活中的問題而發(fā)明的一種工具”。相比較，算式法雖然同樣講明了有理數(shù)的乘法為什么要這樣規(guī)定，但由于它只是強(qiáng)調(diào)如何讓算式原有的規(guī)律在負(fù)數(shù)加入后能繼續(xù)下去，好像少了一些與實(shí)際的聯(lián)系，這在理解它的合理性時(shí)就略顯不足了。

五、更深入地認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)是訓(xùn)練人的思維最好的工具

這次的思考讓我做了許多的功課，為了找到答案我試著用多種方法來(lái)思考。在這一次的思考過程中，我再一次深深體會(huì)到了數(shù)學(xué)在訓(xùn)練人的思維方面的重要作用。數(shù)學(xué)的發(fā)明是源于解決生活問題的需要，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也帶動(dòng)了人類思維的發(fā)展。相信在社會(huì)的歷史進(jìn)程中數(shù)學(xué)會(huì)越來(lái)越凸顯它的重要作用。

以上的內(nèi)容只是我個(gè)人對(duì)問題的一些思考，能力有限，比較膚淺，希望能與各位教育同仁共同探討，從而使我在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中能取得更大的進(jìn)步。

（責(zé)編 田彩霞）