時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模中的應(yīng)用

楊旭+沈俊鑫

摘要： 通過分析現(xiàn)有時延Petri網(wǎng)和時間Petri網(wǎng)在項目進度管理仿真模型的不足，提出基于庫所時間約束Petri網(wǎng)的項目進度管理模型，該模型具備全局時鐘特性，不僅能體現(xiàn)工序自身時間參數(shù)，同時能對外部資源等工序外延時間約束進行建模。實例仿真結(jié)果表明該模型的有效性。

Abstract： This paper presents a project schedule management model based on Place Timing Petri nets， by analyzing the shortcomings of existing models based on timed Petri nets or time Petri nets. The schedule management model based on Place Timing Petri net has the feature of global clock， and not only reflects time parameters of process， but also able to model time constraints of external resources.

關(guān)鍵詞： 資源約束；進度優(yōu)化；庫所時間約束Petri網(wǎng)

Key words： resource constrained；scheduling optimization；Place Timing Petri net

中圖分類號：TP311.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）22-0004-04

0 引言

近年來，越來越多的組織面臨多項目并行實施，項目間存在資源競爭與共享，資源約束下多項目進度優(yōu)化調(diào)度是近幾年來項目管理研究熱點和難點。傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)項目管理技術(shù)雖能有效表達工序自身時間因素以及工序間的邏輯關(guān)系，但仍然存在網(wǎng)絡(luò)圖過于復(fù)雜、工序時間參數(shù)及資源需求估算粗放、忽略外部突發(fā)事件、缺乏項目實施過程動態(tài)控制等缺點，對于復(fù)雜多項目缺乏動態(tài)管理[1]。Petri網(wǎng)集可視化建模、形式化分析及動態(tài)仿真于一體的建模工具，在描述并發(fā)、異步、非確定性或者隨機性為特征的系統(tǒng)有獨特的能力，使得Petri網(wǎng)廣泛應(yīng)用于項目進度管理建模[2]。

本文在研究現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理模型應(yīng)用基礎(chǔ)上，總結(jié)現(xiàn)有基于時間Petri網(wǎng)的項目進度管理模型優(yōu)缺點，提出基于庫所時間約束Petri網(wǎng)的項目進度管理模型，該模型能夠?qū)椖抗芾碇泄ば蜻壿嬯P(guān)系、時間約束及資源約束進行建模，為項目進度管理提供可視化、形式化建模工具。

1 項目進度管理研究現(xiàn)狀

1.1 基于網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)的項目管理模型研究現(xiàn)狀 傳統(tǒng)項目進度管理方法主要有橫道圖和網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)兩種。橫道圖直觀便于理解，但不善于表述工序間復(fù)雜邏輯關(guān)系，使用橫道圖對大型項目建模后模型龐大，不利于項目控制。網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)則能較好地體現(xiàn)工序間邏輯關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)主要有：關(guān)鍵路徑法（Critical Path Method，CPM）、計劃評審技術(shù)（Project Evaluation and Review Technique，PERT）以及圖形評審技術(shù)（Graphic Evaluation and Review Technique，GERT）等。CPM可以有效地確定各項工序的機動時間以及整個項目的關(guān)鍵路徑和關(guān)鍵工序，PERT基于概率統(tǒng)計思想，采用三點估算法確定工序時間延遲，使得PERT對工序時間參數(shù)估算精確度高于CPM方法。GERT在PERT基礎(chǔ)上增加決策點，工序邏輯關(guān)系存在非確定性，可進行條件和概率處理。傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)已成功應(yīng)用于離線項目進度管理，但存在如下限制：

①傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)對項目經(jīng)理要求較高，要求事前能夠準(zhǔn)確給出項目工序，以及準(zhǔn)確估算各項工序所需時間和資源消耗，同時假設(shè)所有工序時間參數(shù)需服從β、γ、正態(tài)或泊松等標(biāo)準(zhǔn)概率分布；

②傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)無法描述外部突發(fā)事件，例如資源短缺、設(shè)備故障等對項目進度調(diào)度的影響，當(dāng)出現(xiàn)外部突發(fā)事件時，該方法不能及時、動態(tài)調(diào)整項目進度調(diào)度方案，缺乏動態(tài)性、預(yù)測性與實時性；

③采用傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)圖不允許存在回路。

1.2 基于時間Petri網(wǎng)的項目管理模型研究現(xiàn)狀 項目管理從本質(zhì)上來說就是一個離散事件動態(tài)系統(tǒng)，其特點在于事件發(fā)生在離散的時間點上，具有并發(fā)、異步和突發(fā)性[3]，Petri網(wǎng)具備直觀的圖形建模、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)分析、動態(tài)靈活仿真等特性，廣泛應(yīng)用于動態(tài)離散異步系統(tǒng)建模[4]。為了解決傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)在項目管理中的不足，國內(nèi)外很多學(xué)者提出了基于Petri網(wǎng)的項目進度管理模型。羅亞[5]在傳統(tǒng)PERT圖基礎(chǔ)上添加資源庫所和活動節(jié)點，構(gòu)建基于Petri網(wǎng)的產(chǎn)品生產(chǎn)模型，KJ LIU[6]將Petri網(wǎng)應(yīng)用于軟件項目計劃管理及變更控制，段波[7]將Petri網(wǎng)應(yīng)用于生產(chǎn)制造系統(tǒng)建模及作業(yè)調(diào)度，陳翔[8]證明了可以將雙代號網(wǎng)絡(luò)圖映射到Petri網(wǎng)模型。

為了對傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)工序持續(xù)時間進行建模，馬俊等[9]對傳統(tǒng)Petri工序時間參數(shù)估算及其分布進行改進，提出基于時延Petri網(wǎng)（Timed Petri Net， TdPN）的進度管理模型，應(yīng)用于房地產(chǎn)開發(fā)進度管理。時延Petri網(wǎng)變遷激發(fā)不是瞬間完成，而是需要經(jīng)過一個時間延遲di。為了允許工序持續(xù)時間是一個隨機變量，沈俊鑫[4，10]在變遷持續(xù)時間引入隨機變量，提出基于隨機Petri網(wǎng)（Stochastic Petri Net， SPN）的項目進度管理模型，該模型允許工序持續(xù)時間di為任意隨機分布，并證明了當(dāng)di服從λ分布時，該模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移具備馬爾科夫特性。為了表示傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)工序最早開始時間ES和最遲開始時間LS，國內(nèi)外學(xué)者對時延Petri網(wǎng)進行改進，即施加在時延Petri網(wǎng)變遷上的時間延遲di為時延區(qū)間（Tmin，Tmax），提出基于時間Petri網(wǎng)（Time Petri Net， TPN）的項目進度管理模型。宋巍[11]、Berthomieu[12]構(gòu)建基于時間Petri網(wǎng)的項目進度計劃優(yōu)化模型，宋巍[11]則將時間Petri網(wǎng)應(yīng)用于項目關(guān)鍵路徑、最短工期求解。為了降低基于時延Petri網(wǎng)的項目進度管理模型復(fù)雜度，實現(xiàn)大型復(fù)雜項目建模，國內(nèi)外學(xué)者引入了分層Petri網(wǎng)模型，如滿慶鵬等[13]通過構(gòu)建基于分層時間Petri網(wǎng)的分級施工網(wǎng)絡(luò)計劃模型，將時間Petri網(wǎng)應(yīng)用于施工項目網(wǎng)絡(luò)計劃優(yōu)化。李海凌[14]、FF Cheng[16]、張紹陽[1]通過構(gòu)建基于分層Petri網(wǎng)的資源管理模型，該模型很好地描述了工程建設(shè)項目工序持續(xù)時間、資源配置及信息傳遞，解決了建設(shè)工程項目實施階段進度、資源優(yōu)化問題；該模型采用仿真工序時間參數(shù)計算方法，解決了仿真技術(shù)進行進度計劃時不能給出工序時間參數(shù)的弊端。

大量研究結(jié)果表明，時間Petri網(wǎng)已廣泛應(yīng)用項目進度管理建模，吳哲輝[17]證明了時間Petri網(wǎng)的模擬能力比傳統(tǒng)Petri網(wǎng)要強，而且時間Petri網(wǎng)的模擬能力與圖靈機相等。基于時間Petri網(wǎng)的項目進度管理模型不僅能夠?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖映射到時間Petri網(wǎng)模型，實現(xiàn)傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)所有功能。這類模型不僅可以使項目管理者實時掌控項目進展，控制項目工期，還可以根據(jù)項目實際執(zhí)行情況對現(xiàn)有的項目計劃調(diào)度實施動態(tài)調(diào)整。但仍存在以下問題：

①現(xiàn)有基于時間Petri網(wǎng)的項目進度管理模型不具備全局時鐘特性。TdPN時間延時di表示庫所中標(biāo)識的消耗和變遷的執(zhí)行需要經(jīng)過di完成，此時間延遲，只賦予工序i，不具備全局時鐘特許。在項目管理模型中，若T0時刻第i道工序（變遷ti）外部條件準(zhǔn)備就緒，且工序i在T0時刻執(zhí)行，則T0+di工序i執(zhí)行完畢。但在變遷ti激發(fā)的di這段時間內(nèi)，變遷ti前集庫所集ti中的標(biāo)記在ti激發(fā)時消耗掉，但是變遷ti后集庫所集ti卻需等待di才能得到相應(yīng)標(biāo)記，此時該Petri網(wǎng)模型處于無狀態(tài)，由此產(chǎn)生悖論[11]。②現(xiàn)有基于時間Petri網(wǎng)的項目進度管理模型仍然比較復(fù)雜。現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在對工序的邏輯關(guān)系進行建模時，不僅增加了符號，而且在現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)中，工序的邏輯關(guān)系中的時間冗余，需要借助虛工序來實現(xiàn)。③基于時間Petri網(wǎng)的項目進度管理模型不能體現(xiàn)項目資源對工序執(zhí)行的時間約束。不論是TdPN、SPN還是TPN模型，時間參數(shù)只引入到變遷本身，即只對工序自身時間參數(shù)建模，無法對工序外延，例如資源約束進行時間建模。

2 基于庫所時間約束Petri網(wǎng)項目進度管理模型

2.1 庫所時間約束Petri網(wǎng)

定義1時間約束Petri網(wǎng)（Place Timing constraint Petri Net， PTcPN）是一個七元組∑=（P，T；F，W，M0，D，Ip），如圖1所示，其中：

①∑=（P，T；F，W，M0）是一個Petri網(wǎng)，但此時弧T×P上的權(quán)重w不再表示任務(wù)變遷ti所產(chǎn)生的標(biāo)記，而僅說明庫所在狀態(tài)持續(xù)階段所需要的資源；

②D：T→R+是變遷的延時函數(shù)，圖1中指td（ti）；

③Ip為關(guān)聯(lián)庫所的實數(shù)對[Tmin，Tmax]的集合，圖1中，Ip指（tmin（pi），tmax（pi））。

圖1中，用圓圈“○”表示庫所Place，用“●”黑點表示庫所中的標(biāo)記Token，標(biāo)記顏色表示項目資源類別，用矩形方塊“？薺”表示變遷Transaction，即工序，從庫所到變遷或是從變遷到庫所的關(guān)系用有向弧“→”表示，上述三個元素表示了系統(tǒng)的靜態(tài)模型。

PTcPN增加了事件發(fā)生條件的時間要求，在庫所和變遷都有時間約束，庫所時間約束借鑒TPN思路，而變遷時間約束借鑒TdPN思路。為了克服TdPN模型可能是整個Petri網(wǎng)模型處于無狀態(tài)中以及TPN模型變遷時延區(qū)間（tmin（ti），tmax（ti））對變遷的時間約束為局部時鐘而非全局時鐘，PTcPN引入全局時鐘概念，Ip所關(guān)聯(lián)的實數(shù)對[Tmin，Tmax]中Tmin、Tmax分別為全局時鐘下庫所最早/最遲進入時延。圖1中，設(shè)全局時鐘以T0為起點，變遷t1和t2激發(fā)后，使得庫所p2和p3最早可以在全局時鐘分別為：tmin（t1）+td（t1）和tmin（t2）+td（t2）獲得標(biāo)記Token。

2.2 基于PTcPN的項目進度管理模型

2.2.1 模型含義 基于PTcPN的項目進度管理模型建模過程中， PTcPN模型的狀態(tài)標(biāo)識表示項目執(zhí)行過程中資源狀況，初始標(biāo)識M0表示項目未開始實施的計劃模型，其他狀態(tài)標(biāo)識M=（M（p1），M（p2），…，M（pi））表示項目執(zhí)行過程中項目的某個狀態(tài)，即項目快照。模型的狀態(tài)空間則是項目執(zhí)行過程中所有可能狀態(tài)的集合，隨著變遷的激發(fā)、庫所標(biāo)記的移動體現(xiàn)了模型狀態(tài)的變化，即項目的執(zhí)行，模型標(biāo)識的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)行為。

2.2.2 模型狀態(tài)空間 PTcPN模型狀態(tài)空間指模型可達圖所有狀態(tài)的集合，模型狀態(tài)空間反應(yīng)了項目執(zhí)行過程中項目可能出現(xiàn)的狀態(tài)（工序執(zhí)行狀態(tài)及資源分配狀態(tài)）的集合，模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移序列δ=（M0t1M1…tiMi…tnMn）表示項目從初始狀態(tài)M0經(jīng)過若干個任務(wù)序列的執(zhí)行轉(zhuǎn)變成狀態(tài)Mn，即項目可能出現(xiàn)的任意兩個狀態(tài)之間所需經(jīng)歷的活動執(zhí)行序列。模型可達圖構(gòu)造算法如下：

①T（∑）的初值只有根節(jié)點r，Mr=M0，即Mr為初始標(biāo)識；

②令x為T（∑）的葉子節(jié)點，若？坌t∈T，在Mr狀態(tài)下均有權(quán)發(fā)生，x為真節(jié)點；若從根節(jié)點r到x的路徑上有另一個節(jié)點y，y≠x，但是My=Mx，則x也是真葉節(jié)點，若T（∑）所有的葉節(jié)點均為真葉節(jié)點，則算法結(jié)束。否則執(zhí)行③；

③若T（∑）有葉節(jié)點x，但是x不是真葉節(jié)點，那么在Mx至少有一個變遷t可以發(fā)生。對Mx授權(quán)發(fā)生的每個變遷t∈T，在T（∑）上添加一個新節(jié)點y，y是x的子節(jié)點，從x到y(tǒng)的有向弧用變遷t標(biāo)記，節(jié)點y的標(biāo)記My按下定義：首先計算出Mx的后繼M′，即對所有s∈S，M′（s）=Mx（S）-W（s，t）+W（t，s），然后計算My，對所有s∈S，有：

My（s）=

ω，若從r到y(tǒng)的路徑上有節(jié)點z，使得Mz

④回到步驟②。

2.2.3 項目時間計算 在PTcPN模型中，庫所的時間約束[tmin（pi），tmax（pi）]需要通過計算獲得。庫所pi的最早全局時鐘為其前繼變遷集中變遷的最早全局時間與變遷持續(xù)時間之和的最大值。

tmin（pi）=max{tmin（tj）+td（tj）} 其中？坌tj∈·pi （1）

庫所pi的最遲全局時鐘為其后繼變遷集中變遷的最遲全局時間與變遷持續(xù)時間之差的最小值。

tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關(guān)鍵庫所，所有關(guān)鍵庫所及其對應(yīng)變遷組成項目的關(guān)鍵路徑。pi為關(guān)鍵庫所，當(dāng)且僅當(dāng)：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應(yīng)用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關(guān)系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構(gòu)建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構(gòu)造算法，求得圖2對應(yīng)的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應(yīng)了整個項目可能存在的調(diào)度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經(jīng)歷的工序調(diào)度序列。項目管理者可以根此預(yù)測項目狀態(tài)空間預(yù)測項目當(dāng)前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調(diào)度方案以及特定調(diào)度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調(diào)度與執(zhí)行具有可預(yù)測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關(guān)鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關(guān)鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結(jié)語

本文在綜合比較網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)以及現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復(fù)雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網(wǎng)，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網(wǎng)的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)，實現(xiàn)工序的邏輯關(guān)系建模，簡化項目網(wǎng)絡(luò)圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應(yīng)用及仿真。

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tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關(guān)鍵庫所，所有關(guān)鍵庫所及其對應(yīng)變遷組成項目的關(guān)鍵路徑。pi為關(guān)鍵庫所，當(dāng)且僅當(dāng)：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應(yīng)用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關(guān)系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構(gòu)建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構(gòu)造算法，求得圖2對應(yīng)的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應(yīng)了整個項目可能存在的調(diào)度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經(jīng)歷的工序調(diào)度序列。項目管理者可以根此預(yù)測項目狀態(tài)空間預(yù)測項目當(dāng)前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調(diào)度方案以及特定調(diào)度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調(diào)度與執(zhí)行具有可預(yù)測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關(guān)鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關(guān)鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結(jié)語

本文在綜合比較網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)以及現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復(fù)雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網(wǎng)，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網(wǎng)的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)，實現(xiàn)工序的邏輯關(guān)系建模，簡化項目網(wǎng)絡(luò)圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應(yīng)用及仿真。

參考文獻：

[1]張紹陽.基于Petri網(wǎng)的公路施工進度計劃及資源優(yōu)化研究[D].長安大學(xué)博士學(xué)位論文，2006.

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[14]施國強，李伯虎，柴旭東.基于著色Petri網(wǎng)的復(fù)雜產(chǎn)品開發(fā)多項目調(diào)度建模研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007，19（17）：3869-3873.

[15]李海凌，史本山，劉克劍.基于Petri網(wǎng)的建設(shè)工程項目實施階段工作流建模與仿真[J].計算機應(yīng)用，2011，31（10）：2828-2831.

[16]Cheng Feifei， Li， Heng.Modeling resource management in the building design process by information constraint Petri nets[J]. Automation in Construction， 2013，29：92-99.

[17]于汪洋，吳哲輝.時延Petri網(wǎng)模擬能力研究[J].微計算機應(yīng)用，2009（8）：32-37.

tmax（pi）=min{tmax（tj）-td（tj）} 其中？坌tj∈■ （2）

在PTcPN模型中庫所時差為0的庫所為關(guān)鍵庫所，所有關(guān)鍵庫所及其對應(yīng)變遷組成項目的關(guān)鍵路徑。pi為關(guān)鍵庫所，當(dāng)且僅當(dāng)：tmin（pi）-tmax（pi）=0。 （3）

3 實例分析

3.1 項目描述 為了說明PTcPN在項目進度管理中的應(yīng)用，本文以某軟件開發(fā)項目為例，著重對軟件開發(fā)過程進度管理進行分析。項目工序邏輯關(guān)系、工期、資源要求如表1所示。

3.2 項目PTcPN建模 根據(jù)PTcPN定義，以及表1項目信息，構(gòu)建基于PTcPN的項目進度模型如圖2所示，其中庫所p0和p15為輔助庫所，無實際含義。

3.3 項目狀態(tài)空間分析 根據(jù)可達圖構(gòu)造算法，求得圖2對應(yīng)的可達圖如圖3所示。

項目狀態(tài)空間反應(yīng)了整個項目可能存在的調(diào)度方案，狀態(tài)Si指項目執(zhí)行過程可能處于的狀態(tài)，狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj箭頭序列表明了項目從狀態(tài)Si到狀態(tài)Sj需經(jīng)歷的工序調(diào)度序列。項目管理者可以根此預(yù)測項目狀態(tài)空間預(yù)測項目當(dāng)前狀態(tài)下可能出現(xiàn)的各種調(diào)度方案以及特定調(diào)度方案下項目所處的下一個狀態(tài)，使得項目調(diào)度與執(zhí)行具有可預(yù)測性。

3.4 項目時間計算 根據(jù)式（1）和式（2）分別求解模型各庫所時間約束，根據(jù)式（3）確定項目關(guān)鍵路徑，如表2所示。

由表2可得項目關(guān)鍵路徑為：A→B→C→F→J→M→N，總工期為26。

4 結(jié)語

本文在綜合比較網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)以及現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模優(yōu)缺點基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有時間Petri網(wǎng)在項目進度管理建模不具備全局時鐘、模型相對復(fù)雜以及無法體現(xiàn)資源約束等不足，提出了基于庫所時間約束Petri網(wǎng)，將時間約束擴展至庫所。實例分析說明，基于庫所時間約束Petri網(wǎng)的項目進度管理模型更好了體現(xiàn)了資源的時間約束，該模型不僅能夠替代傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)，實現(xiàn)工序的邏輯關(guān)系建模，簡化項目網(wǎng)絡(luò)圖，實現(xiàn)項目時間管理，模型狀態(tài)空間也為項目管理者提供了更多決策信息。限于篇幅，本文未對非肯定型項目實現(xiàn)案例應(yīng)用及仿真。

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[13]滿慶鵬，王要武，李曉東.基于Petri網(wǎng)的施工進度建模及優(yōu)化方法[J].系統(tǒng)管理學(xué)報，2009，18（2）：193-198.

[14]施國強，李伯虎，柴旭東.基于著色Petri網(wǎng)的復(fù)雜產(chǎn)品開發(fā)多項目調(diào)度建模研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007，19（17）：3869-3873.

[15]李海凌，史本山，劉克劍.基于Petri網(wǎng)的建設(shè)工程項目實施階段工作流建模與仿真[J].計算機應(yīng)用，2011，31（10）：2828-2831.

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[17]于汪洋，吳哲輝.時延Petri網(wǎng)模擬能力研究[J].微計算機應(yīng)用，2009（8）：32-37.