分數(shù)Vasicek利率模型下幾種新型期權(quán)定價

王媛媛，薛 紅

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

期權(quán)定價問題是數(shù)理金融學中的核心問題之一. 1973年，Black和Scholes發(fā)表了關(guān)于期權(quán)定價的開創(chuàng)性論文，得出了著名的Black-Scholes模型. 在Black-Scholes模型中，假設(shè)股票價格服從幾何布朗運動，且利率為常數(shù). 但在實際中，即使是短期利率也是不斷變化的，文獻[1-3]研究了Vasicek隨機利率模型下歐式期權(quán)定價問題. 由于股票價格對過去價格具有依賴性，許多文獻考慮用分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程來刻畫股票價格變化[4-7]，同時，因突發(fā)事件的影響，股票價格可能會出現(xiàn)“跳躍”，許多學者考慮用Poisson過程和分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程來描述股票價格變化，并討論期權(quán)定價問題[8-10].

1998年Bladt和Rydberg首次提出期權(quán)定價的保險精算方法[11]，該方法將期權(quán)定價的問題轉(zhuǎn)化為公平保費的確定問題. 它不僅對于無套利、均衡、完備的市場有效，且對于有套利、非均衡、不完備的市場也有效. 近年來許多文獻應(yīng)用保險精算的方法討論期權(quán)定價問題[8-13].

本文假定股票價格過程服從分數(shù)跳-擴散過程，利率滿足Vasicek模型，利用保險精算方法給出了幾種新型期權(quán)-歐式看漲冪期權(quán)、歐式上封頂及下保底看漲冪期權(quán)定價公式.

1 具有隨機利率的金融市場數(shù)學模型

考慮如下模型(A)：股票價格和利率rt滿足隨機微分方程

(1)

(2)

(3)

(4)

引理1[14]隨機微分方程(3)的解為

(5)

引理2[8]隨機微分方程(4)的解為

(6)

定義2[8]價格過程{St,t≥0}在[t,T]時間段內(nèi)期望收益率βu滿足

(7)

引理3[8,121{St,t>0}在[t,T]上的期望收益率βu滿足βu=μu，u∈[t,T].

2 歐式看漲a次冪期權(quán)定價

定義3[8]歐式冪期權(quán)在t時刻的價值定義為：股票到期日價格按期望收益率折現(xiàn)值的冪與執(zhí)行價(看作是無風險資產(chǎn)債券)按無風險利率折現(xiàn)值的差在股票實際分布概率測度下的數(shù)學期望，這一定價稱為期權(quán)的保險精算定價. 用C(t,St)表示以股票價格St為標的資產(chǎn)、執(zhí)行價為K、到期日為T的歐式看漲a次冪期權(quán)在t時刻價格，則歐式看漲α次冪期權(quán)的保險精算價格

引理4[15]設(shè)a，b，c，d，k是實數(shù)，并且假設(shè)ξ1，ξ2是標準正態(tài)隨機變量，且有cov{ξ1,ξ2}=ρ，則

其中Φ(·)是標準正態(tài)分布函數(shù).

引理5[15]設(shè)a，b，c，d,k是實數(shù)，并且假設(shè)ξ1，ξ2，ξ3是標準正態(tài)隨機變量，且有

cov(ξ1，ξ3)=ρ,cov(ξ1，ξ2)=0，cov(ξ2，ξ3)=0，

則有

E[exp{aξ1+bξ2}Iaξ1+bξ2+cξ3≥k}]=

定理1 假設(shè)股票價格滿足隨機微分方程(4)，利率滿足隨機微分方程(3)，則執(zhí)行價為K、到期日為T的歐式看漲α次冪期權(quán)在t時刻保險精算價格

(8)

其中：Φ(·)是標準正態(tài)分布函數(shù)，且

D1=α2(1-δ2)σ2(T2H-t2H)，

D2=a2δ2σ2(T2H-t2H) ,

證明令

由引理1、引理2、引理3，有

由Ito積分可得

令

所以

從而

注1 當b=0,c=0,a→0時，可得利率為常數(shù)且股票價格服從分數(shù)跳-擴散過程情形下歐式看漲α次冪期權(quán)定價公式

其中Φ(·)是標準正態(tài)分布函數(shù)，且

特別地，當λ=0，Ui=0，(i=1,2,…)時，可得分數(shù)布朗運動下歐式看漲α次冪期權(quán)定價公式(見文獻[7]).

注2 當α=1時，可得利率服從Vasicek模型且股票價格服從分數(shù)跳-擴散過程情形下歐式看漲期權(quán)定價公式(見文獻[16-17]).

3 歐式上封頂與下保底次冪期權(quán)定價

定理2 假設(shè)股票價格滿足隨機微分方程(4)，利率滿足隨機微分方程(3)，則執(zhí)行價為K、到期日為T、上封頂價格為L1的歐式看漲上封頂α次冪期權(quán)在t時刻保險精算價格

證明歐式看漲上封頂次冪期權(quán)的保險精算價格

類似定理1證明可得結(jié)果.

定理3 假設(shè)股票價格滿足隨機微分方程(4)，利率滿足隨機微分方程(3)，則執(zhí)行價為K、到期日為T、下保底價格為L2的歐式看漲下保底α次冪期權(quán)在t時刻保險精算價格

證明歐式看漲下保底次冪期權(quán)的保險精算價格

類似定理1證明可得結(jié)果.

注3 令定理2中的L2=+∞，或定理3中的L2=0，可得定理1的結(jié)果.

注4 當b=0，c=0,a→0時，可得利率為常數(shù)且股票價格服從分數(shù)跳-擴散過程的歐式看漲上封頂次冪期權(quán)和歐式看漲下保底α次冪期權(quán)的定價公式(見文獻[8]).

參考文獻：

[1] 王莉君, 張曙光. 隨機利率下重置期權(quán)的定價問題[J ]. 高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯, 2002, 17 (4) : 471-478.

[2] 劉 堅, 楊向群, 顏李朝. 隨機利率和隨機壽命下的歐式未定權(quán)益定價[J]. 廣西師范大學學報：自然科學版 , 2005, 23 (4) : 49-52.

[3] 劉敬偉. Vasicek隨機利率模型下指數(shù)O-U過程的冪型期權(quán)鞅定價[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2009, 39(1): 31-39.

[4] 薛 紅, 王拉省. 分數(shù)布朗運動環(huán)境中最值期權(quán)定價[J]. 工程數(shù)學學報, 2008, 25(5): 843-850.

[5] ELLIOTT R J, HOEK J. A general fractional white noise theory and applications to finance [J]. 2003, 13(2): 301-330.

[6] BIAGINI F, HU Y, KSENDAL B,etal. Stochastic calculus for fractional brownian motion and applications [M]. New York: Springer, 2008.

[7] 劉海媛, 周圣武, 索麗娟. 標的資產(chǎn)服從分數(shù)布朗運動的幾種新型期權(quán)定價模型[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2008, 38(15): 54-59.

[8] 薛 紅, 孫玉東. 分數(shù)跳-擴散環(huán)境下幾種新型期權(quán)定價模型[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2012, 42(24): 132-140.

[9] 隋梅真, 張元慶. 分數(shù)布朗運動和泊松過程共同驅(qū)動下的歐式期權(quán)定價[J]. 山東建筑大學學報. 2008, 23(1): 70-73.

[10] 趙建國，師 恪. 股票價格服從分數(shù)跳-擴散過程的期權(quán)定價模型[J]. 新疆大學學報:自然科學版, 2006, 23(2): 166-169.

[11] BLADT M T, RYDBERG H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1998, 22(1): 65-73.

[12] 閆海峰, 劉三陽. 廣義Black-Scholes模型期權(quán)定價新方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學與力學. 2003, 24(7): 730-738.

[13] 黃開元，薛 紅. 分數(shù)跳-擴散過程下雙標型兩值期權(quán)定價模型[J]. 寧夏大學學報：自然科學版, 2013, 34(2): 105-108.

[14] 薛 紅, 李小軍, 吳曉蕊. 隨機利率下可轉(zhuǎn)換債券定價[J]. 西安工程大學學報, 2011, 25(1): 109-121.

[15] CHEN S. Financial engineering [M]. Shang Hai: Fudan University Press, 2002.

[16] XUE H, LU J X, LI Q Y,etal. Fractional jump-diffusion pricing model under stochastic interest rate[C]//IACSIT Press: 2011 3rd International Conference on Information and Financial Engineering, 2011. 428-432.

[17] 楊淑彩，薛 紅，王曉東.具有隨機利率的分數(shù)型復合期權(quán)定價橫型[J].哈爾濱商業(yè)大學學報：自然科學版，2014,30(1):97-102.