張國(guó)君
(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)
向量?jī)?yōu)化問(wèn)題研究需要利用一些專業(yè)數(shù)學(xué)工具,而改進(jìn)集是近年來(lái)研究向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的一個(gè)重要工具.改進(jìn)集與free disposal集有著密切的聯(lián)系.1959年,Debreu在文獻(xiàn)[1]中首次提出了free disposal集的概念,并研究了它的一些應(yīng)用.2011年,Chicco等人在文獻(xiàn)[2]中提出了有限維空間中改進(jìn)集的概念,并研究了改進(jìn)集的一些性質(zhì).2012年,Gutiérrez等人在文獻(xiàn)[3]中將改進(jìn)集的概念推廣到一般拓?fù)湎蛄靠臻g中,并研究了改進(jìn)集的一些新性質(zhì).其它一些研究結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5].受文獻(xiàn)[3,5-6]的啟發(fā),本文研究了向量?jī)?yōu)化中改進(jìn)集的拓?fù)溟]包的一些性質(zhì),并通過(guò)例子對(duì)相關(guān)結(jié)果進(jìn)行了說(shuō)明.
定義1[1]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y滿足E+K=E,則稱E是關(guān)于K的free disposal集.
定義2[2]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y滿足0?E且E+K=E,則稱E是關(guān)于K的改進(jìn)集.
引理1[5]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
i) intE=intE+K;
ii) clE=clE+K.
引理2[7]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.S?Y是非空集合,則
i) int (cl (S+K))=S+intK;
ii) cl (S+K)=cl (S+intK).
引理3[6]設(shè)A?Y,B?Y是兩個(gè)非空集合.若intA≠?,則intA+B?int (A+B).
引理4[6]設(shè)A?Y,B?Y是兩個(gè)非空凸集.若intA≠?且intB≠?,則int (A+B)=intA+intB.
引理5[3]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐,若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
i) int (clE)=intE;
ii) cl (intE)=clE.
引理6[5]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐,若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
i) intE=E+intK;
ii) intE=clE+intK.
定理1設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則
i) clE=cl (intE+K);
ii) clE=cl (E+intK);
iii) clE=cl (clE+K);
iv) clE=cl (E+clK);
v) clE=cl (intE+intK);
vi) clE=cl (clE+intK);
vii) clE=cl (intE+clK);
viii) clE=cl (clE+clK).
證i) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,故由引理1-i)和引理5-ii)得
clE=cl (intE)=cl (intE+K).
ii) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,故利用引理5-ii),可得clE=cl (intE).再由引理6-i),得
cl (intE)=cl (E+intK).
因此,clE=cl (E+intK).
iii) 由E是關(guān)于K的改進(jìn)集和引理1-ii),可得
clE=cl (clE)=cl (clE+K).
iv) 由ii)知clE=cl (E+intK)?cl (E+clK),故只需證明cl (E+clK)?clE.而
cl (E+clK) ?cl (clE+clK)
?cl (cl (E+K))
=cl (cl (E))=cl (E),
因此,clE=cl (E+clK).
v) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,所以由引理5-i)可知,intE=int (clE)=int (cl (intE)).再結(jié)合引理1-i)與引理2-i)有
intE=intE+intK.
故cl (intE+intK)=cl (intE).又由引理5-ii)可知,cl (intE)=clE.因此,
clE=cl (intE+intK).
vi) 由iii)可知
cl (clE+intK)?cl (clE+K)=clE.
故只須證明clE?cl (clE+intK).由v)的證明可得intE=intE+intK.再結(jié)合引理5-ii)可得
clE=cl (intE)=cl (intE+intK)
?cl (clE+intK),
故clE=cl (clE+intK).
vii) 由iv)可知
cl (intE+clK)?cl (E+clK)=clE.
故只須證明clE?cl (intE+clK).由i)有clE=cl (intE+K)?cl (intE+clK),故
clE=cl (intE+clK).
viii) 顯然,cl (clE+clK)?cl (cl (E+K))=cl (clE)=clE.又由iv)知clE=cl (E+clK).此外,cl (E+clK)?cl (clE+clK),故clE?cl (clE+clK).因此,clE=cl (clE+clK).
注1若E不是關(guān)于K的改進(jìn)集,則結(jié)論不一定成立.
例1令
顯然,E不是關(guān)于K的改進(jìn)集.此外,
cl (intE+K)=cl (E+intK)=cl (clE+K)
=cl (E+clK)=cl (intE+intK)
=cl (clE+intK)=cl (intE+clK)
故定理1的i)-viii)均不成立.
定理2設(shè)K1?Y和K2?Y是兩個(gè)凸錐且K1和K2內(nèi)部非空.若E1?Y,E2?Y分別是關(guān)于K1,K2的改進(jìn)集,則
i) cl (E1+E2)=cl (intE1+E2);
ii) cl (E1+E2)=cl (intE1+clE2);
iii) cl (E1+E2)=cl (E1+intE2);
iv) cl (E1+E2)=cl (E1+clE2);
v) cl (E1+E2)=cl (clE1+intE2);
vi) cl (E1+E2)=cl (clE1+E2).
證i) 只需證明cl (E1+E2)?cl (intE1+E2).因?yàn)镋1,E2分別是關(guān)于K1,K2的非空改進(jìn)集,則E1=E1+K1,E2=E2+K2.故
E1+E2=(E1+E2)+(K1+K2).
由K1,K2是凸錐以及引理4,可得
int (K1+K2)=intK1+intK2.
從而再結(jié)合引理6-i),可得
cl (E1+E2)=cl (E1+E2+int (K1+K2))
=cl (E1+E2+intK1+intK2)
=cl (intE1+intE2)
?cl (intE1+E2).
ii) 由i)可知,cl (E1+E2)=cl (intE1+E2)?cl (intE1+clE2).又由引理3可得
cl (intE1+clE2)?cl (int (E1+clE2))
?cl (int (clE1+clE2))
?cl (int (cl (E1+E2))).
再由引理5-ii)有
cl (int (cl (E1+E2)))=cl (cl (E1+E2))
=cl (E1+E2).
iii) 顯然,cl (E1+intE2)?cl (E1+E2).此外,由i)的證明過(guò)程可得
cl (E1+E2)=cl (intE1+intE2)
?cl (E1+intE2),
故cl (E1+E2)=cl (E1+intE2).
iv) 顯然cl (E1+clE2)?cl (E1+E2).下面證明cl (E1+clE2)?cl (E1+E2).事實(shí)上,
cl (E1+clE2)?cl (clE1+clE2)
?cl (cl (E1+E2))
=cl (E1+E2).
v) 由iii)可得
cl (E1+E2) =cl (E1+intE2)
?cl (clE1+intE2),
又由引理3有
cl (clE1+intE2) ?cl(int(clE1+E2))
?cl(int(clE1+clE2))
?cl(int(cl(E1+E2))).
再由引理5-iii)得
cl(int(cl(E1+E2))) =cl(cl(E1+E2))
=cl (E1+E2).
vi) 只需證cl(clE1+E2)?cl (E1+E2).事實(shí)上,
cl(clE1+E2) ?cl (clE1+clE2)
?cl (cl (E1+E2))
=cl (E1+E2).
注2若E1不是關(guān)于K1的改進(jìn)集或E2不是關(guān)于K2的改進(jìn)集,則結(jié)論不一定成立.
例2令
E1= {(x1,x2)|x1+x2-0.5≥0,
x1+x2-1≤0,x1≥0,x2≥0}
∪{(0,0)},
E2={(x1+x2)|x1≥0,x2≥1},
顯然,E2是關(guān)于K2的改進(jìn)集,E1不是關(guān)于K1的改進(jìn)集.此外,
cl(E1+E2)=E2,
cl (intE1+E2)= {(x1,x2)|x1+x2-1.5≥0,
x1≥0,x2≥1},
cl (intE1+clE2)= {(x1,x2)|x1+x2-1.5≥0,
x1≥0,x2≥1}.
故cl (E1+E2)≠cl (intE1+E2)=cl (intE1+clE2),即定理2的i)和ii)不成立.
參考文獻(xiàn):
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