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    向量?jī)?yōu)化中改進(jìn)集的一些拓?fù)湫再|(zhì)

    2014-09-13 08:45:36張國(guó)君
    關(guān)鍵詞:性質(zhì)定理向量

    張國(guó)君

    (重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

    向量?jī)?yōu)化問(wèn)題研究需要利用一些專業(yè)數(shù)學(xué)工具,而改進(jìn)集是近年來(lái)研究向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的一個(gè)重要工具.改進(jìn)集與free disposal集有著密切的聯(lián)系.1959年,Debreu在文獻(xiàn)[1]中首次提出了free disposal集的概念,并研究了它的一些應(yīng)用.2011年,Chicco等人在文獻(xiàn)[2]中提出了有限維空間中改進(jìn)集的概念,并研究了改進(jìn)集的一些性質(zhì).2012年,Gutiérrez等人在文獻(xiàn)[3]中將改進(jìn)集的概念推廣到一般拓?fù)湎蛄靠臻g中,并研究了改進(jìn)集的一些新性質(zhì).其它一些研究結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5].受文獻(xiàn)[3,5-6]的啟發(fā),本文研究了向量?jī)?yōu)化中改進(jìn)集的拓?fù)溟]包的一些性質(zhì),并通過(guò)例子對(duì)相關(guān)結(jié)果進(jìn)行了說(shuō)明.

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[1]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y滿足E+K=E,則稱E是關(guān)于K的free disposal集.

    定義2[2]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y滿足0?E且E+K=E,則稱E是關(guān)于K的改進(jìn)集.

    引理1[5]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若非空集合E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則

    i) intE=intE+K;

    ii) clE=clE+K.

    引理2[7]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.S?Y是非空集合,則

    i) int (cl (S+K))=S+intK;

    ii) cl (S+K)=cl (S+intK).

    引理3[6]設(shè)A?Y,B?Y是兩個(gè)非空集合.若intA≠?,則intA+B?int (A+B).

    引理4[6]設(shè)A?Y,B?Y是兩個(gè)非空凸集.若intA≠?且intB≠?,則int (A+B)=intA+intB.

    引理5[3]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐,若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則

    i) int (clE)=intE;

    ii) cl (intE)=clE.

    引理6[5]設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐,若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則

    i) intE=E+intK;

    ii) intE=clE+intK.

    1 改進(jìn)集的拓?fù)湫再|(zhì)

    定理1設(shè)K?Y是具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的凸錐.若E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,則

    i) clE=cl (intE+K);

    ii) clE=cl (E+intK);

    iii) clE=cl (clE+K);

    iv) clE=cl (E+clK);

    v) clE=cl (intE+intK);

    vi) clE=cl (clE+intK);

    vii) clE=cl (intE+clK);

    viii) clE=cl (clE+clK).

    證i) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,故由引理1-i)和引理5-ii)得

    clE=cl (intE)=cl (intE+K).

    ii) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,故利用引理5-ii),可得clE=cl (intE).再由引理6-i),得

    cl (intE)=cl (E+intK).

    因此,clE=cl (E+intK).

    iii) 由E是關(guān)于K的改進(jìn)集和引理1-ii),可得

    clE=cl (clE)=cl (clE+K).

    iv) 由ii)知clE=cl (E+intK)?cl (E+clK),故只需證明cl (E+clK)?clE.而

    cl (E+clK) ?cl (clE+clK)

    ?cl (cl (E+K))

    =cl (cl (E))=cl (E),

    因此,clE=cl (E+clK).

    v) 因?yàn)镋是關(guān)于K的改進(jìn)集,所以由引理5-i)可知,intE=int (clE)=int (cl (intE)).再結(jié)合引理1-i)與引理2-i)有

    intE=intE+intK.

    故cl (intE+intK)=cl (intE).又由引理5-ii)可知,cl (intE)=clE.因此,

    clE=cl (intE+intK).

    vi) 由iii)可知

    cl (clE+intK)?cl (clE+K)=clE.

    故只須證明clE?cl (clE+intK).由v)的證明可得intE=intE+intK.再結(jié)合引理5-ii)可得

    clE=cl (intE)=cl (intE+intK)

    ?cl (clE+intK),

    故clE=cl (clE+intK).

    vii) 由iv)可知

    cl (intE+clK)?cl (E+clK)=clE.

    故只須證明clE?cl (intE+clK).由i)有clE=cl (intE+K)?cl (intE+clK),故

    clE=cl (intE+clK).

    viii) 顯然,cl (clE+clK)?cl (cl (E+K))=cl (clE)=clE.又由iv)知clE=cl (E+clK).此外,cl (E+clK)?cl (clE+clK),故clE?cl (clE+clK).因此,clE=cl (clE+clK).

    注1若E不是關(guān)于K的改進(jìn)集,則結(jié)論不一定成立.

    例1令

    顯然,E不是關(guān)于K的改進(jìn)集.此外,

    cl (intE+K)=cl (E+intK)=cl (clE+K)

    =cl (E+clK)=cl (intE+intK)

    =cl (clE+intK)=cl (intE+clK)

    故定理1的i)-viii)均不成立.

    定理2設(shè)K1?Y和K2?Y是兩個(gè)凸錐且K1和K2內(nèi)部非空.若E1?Y,E2?Y分別是關(guān)于K1,K2的改進(jìn)集,則

    i) cl (E1+E2)=cl (intE1+E2);

    ii) cl (E1+E2)=cl (intE1+clE2);

    iii) cl (E1+E2)=cl (E1+intE2);

    iv) cl (E1+E2)=cl (E1+clE2);

    v) cl (E1+E2)=cl (clE1+intE2);

    vi) cl (E1+E2)=cl (clE1+E2).

    證i) 只需證明cl (E1+E2)?cl (intE1+E2).因?yàn)镋1,E2分別是關(guān)于K1,K2的非空改進(jìn)集,則E1=E1+K1,E2=E2+K2.故

    E1+E2=(E1+E2)+(K1+K2).

    由K1,K2是凸錐以及引理4,可得

    int (K1+K2)=intK1+intK2.

    從而再結(jié)合引理6-i),可得

    cl (E1+E2)=cl (E1+E2+int (K1+K2))

    =cl (E1+E2+intK1+intK2)

    =cl (intE1+intE2)

    ?cl (intE1+E2).

    ii) 由i)可知,cl (E1+E2)=cl (intE1+E2)?cl (intE1+clE2).又由引理3可得

    cl (intE1+clE2)?cl (int (E1+clE2))

    ?cl (int (clE1+clE2))

    ?cl (int (cl (E1+E2))).

    再由引理5-ii)有

    cl (int (cl (E1+E2)))=cl (cl (E1+E2))

    =cl (E1+E2).

    iii) 顯然,cl (E1+intE2)?cl (E1+E2).此外,由i)的證明過(guò)程可得

    cl (E1+E2)=cl (intE1+intE2)

    ?cl (E1+intE2),

    故cl (E1+E2)=cl (E1+intE2).

    iv) 顯然cl (E1+clE2)?cl (E1+E2).下面證明cl (E1+clE2)?cl (E1+E2).事實(shí)上,

    cl (E1+clE2)?cl (clE1+clE2)

    ?cl (cl (E1+E2))

    =cl (E1+E2).

    v) 由iii)可得

    cl (E1+E2) =cl (E1+intE2)

    ?cl (clE1+intE2),

    又由引理3有

    cl (clE1+intE2) ?cl(int(clE1+E2))

    ?cl(int(clE1+clE2))

    ?cl(int(cl(E1+E2))).

    再由引理5-iii)得

    cl(int(cl(E1+E2))) =cl(cl(E1+E2))

    =cl (E1+E2).

    vi) 只需證cl(clE1+E2)?cl (E1+E2).事實(shí)上,

    cl(clE1+E2) ?cl (clE1+clE2)

    ?cl (cl (E1+E2))

    =cl (E1+E2).

    注2若E1不是關(guān)于K1的改進(jìn)集或E2不是關(guān)于K2的改進(jìn)集,則結(jié)論不一定成立.

    例2令

    E1= {(x1,x2)|x1+x2-0.5≥0,

    x1+x2-1≤0,x1≥0,x2≥0}

    ∪{(0,0)},

    E2={(x1+x2)|x1≥0,x2≥1},

    顯然,E2是關(guān)于K2的改進(jìn)集,E1不是關(guān)于K1的改進(jìn)集.此外,

    cl(E1+E2)=E2,

    cl (intE1+E2)= {(x1,x2)|x1+x2-1.5≥0,

    x1≥0,x2≥1},

    cl (intE1+clE2)= {(x1,x2)|x1+x2-1.5≥0,

    x1≥0,x2≥1}.

    故cl (E1+E2)≠cl (intE1+E2)=cl (intE1+clE2),即定理2的i)和ii)不成立.

    參考文獻(xiàn):

    [1] Debreu G.Theory of value[M].New York:John Wiley & Sons Inc,1959.

    [2] Chicco M,Mignanego F,Pusillo L,et al.Vecctor optimization problems via improvement sets[J].J Optim Theory Appl,2011,150(3):516.

    [3] Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.Improvement sets and vector optimization[J].Eur J Operat Res,2012,223(2):304.

    [4] Zhao Kequan,Yang Xinming.A unified stability result with perturbations in vector optimization[J].Optim Lett,2013,7(8):1913.

    [5] Zhao Kequan,Yang Xinming.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,doi:10.1080/02331934.2013.798321.

    [6] Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity ofAandBassures intA+B=int(A+B)[J].Appl Math Lett,1993,6(1):83.

    [7] Breckner W W,Kassay G.A systematization of convexity concepts for sets and functions[J].J Convex Anal,1997,4(1):109.

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