雙參數(shù)C0半群的譜映射定理

趙 拓， 趙華新， 徐 敏

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

在經(jīng)典算子半群理論中,譜映射定理是其非常重要的組成部分,文獻(xiàn)[1]給出了C0半群的譜的概念和譜映射定理;文獻(xiàn)[2]定義了C半群的譜及其與生成元譜之間的關(guān)系;文獻(xiàn)[3]給出了C半群的譜映射定理;文獻(xiàn)[4-5]研究了可微C半群和廣義C0半群的譜映射定理;文獻(xiàn)[6]研究了雙參數(shù)C0半群生成元的一些性質(zhì)及其預(yù)解式;文獻(xiàn)[7]研究了C半群的指數(shù)公式，并將其推廣到雙參數(shù)C半群上;文獻(xiàn)[8]定義了雙參數(shù)C半群及其收斂性.基于以上的研究，本文將單參數(shù)C0半群的譜及其譜映射定理推廣到雙參數(shù)C0半群上，給出了雙參數(shù)C0半群譜的定義及譜映射定理.

本文中X均為復(fù)Banach空間,I為恒等算子,A為算子半群在Banach空間中的無窮小生成元.

1 基本概念與引理

定義1設(shè){T(s,t)}s,t≥0是(A1,A2)生成的雙參數(shù)C0半群,稱集合

{aλ+bμ|((aλ+bμ)-T(s,t))-1∈B(X),a,b，λ,μ∈R}

為{T(s,t)}s,t≥0的預(yù)解集,記作ρ(T(s,t)),稱集合Cρ(T(s,t))為雙參數(shù)C0半群{T(s,t)}s,t≥0的譜,記作σ(T(s,t)).

定義2[2]設(shè){T(s,t)}s,t≥0為復(fù)Banach空間X上的雙參數(shù)C0半群,

1) 若((λa+μb)-T(s,t))-1不存在,則稱(λa+μb)為{T(s,t)}s,t≥0的點(diǎn)譜,記作σp(T(s,t)).

引理1[3]設(shè){T(t)}t≥0為復(fù)Banach空間X上由A生成的C0半群,則σ(T(t))?etσ(A).

2 主要結(jié)論

證對(duì)任意λ,μ∈R,由Bλ,μ(s,t)的定義可知Bλ,μ(s,t)∈Β(X),對(duì)?x∈X,有

因?yàn)?/p>

=T(s,t)x,

(1)

?{(λa+μb)|eλa+μb∈ρ(T(s,t)),a,b，λ,μ∈R}.

對(duì)于?x∈D(A),有

由Bλ,μ(s,t)的定義知Q與Bλ,μ(s,t)可交換,即對(duì)?x∈D(A),有

綜上可知

結(jié)論得證.

由定義2可知譜分為互不相交的3個(gè)部分,分別為點(diǎn)譜、連續(xù)譜、剩余譜．

2) 若eλs+μt∈σp(T(s,t)),則?k∈N,使得

2. 引導(dǎo)質(zhì)疑 讀到這里，你有什么問題？（是什么原因讓我理解了愛如茉莉的意思？“我”究竟經(jīng)歷了什么事情？）

由定理1知

即?x0≠0，使得eλs+μtx0-T(s,t)x0=0，由定義2得eλs+μt∈σp(T(s,t)).

2) 設(shè)eλs+μt∈σp(T(s,t)),由定義2,?x0≠0，使得eλs+μtx0-T(s,t)x0=0,又

e-(λa+μb)(l+t)T(a(l+t),b(l+t))x0=e-(λa+μb)le-(λa+μb)tT(al,bl)T(at,bt)x0=e-(λa+μb)lT(al,bl)x0,

所以連續(xù)函數(shù)l→e-(λa+μb)lT(al,bl)x0是以t為周期的周期函數(shù),因?yàn)閑-(λa+μb)lT(al,bl)x0不恒等于零,所以其Fourier系數(shù)必有一個(gè)不為零,從而?k∈N,使得

且

=0,

所以(ηk-A)xk=0，xk≠0,A是閉線性算子,因此

結(jié)論得證.

則eλs+μt∈σc(T(s,t)).

參考文獻(xiàn):

[1] Pazy A.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.

[2] 杜省權(quán),劉清榮.C半群的譜與其生成元譜之間的關(guān)系[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1995,11(1):56.

[3] Song Xiaoqiu.Spectral mapping theorems forCsemi-groups[J].J Math Res Exposition,1996,16(4):527.

[4] 趙華新.可微C0半群的譜[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,31(1):29.

[5] 高文華,卜春霞.廣義C0半群的譜映射定理[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2001,33(2):22.

[6] Sharif A S,Khalil R.On the generator of two parameter semi-groups[J].Appl Math Comput,2004，156(2):403.

[7] 趙華新，趙拓，徐敏.雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014,32(1):44

[8] 許強(qiáng).關(guān)于雙參數(shù)C半群的一些結(jié)果[J].河南科學(xué),2012,30(11):1564.