一種離散直接自適應(yīng)模糊滑模控制

張曉宇劉彬博

(1.華北科技學院 電子信息工程學院,北京 101601； 2. 中央新影集團 CCTV證券資訊頻道,北京 100080)

模糊、自適應(yīng)等方法在連續(xù)系統(tǒng)控制問題中已經(jīng)顯示出成功的運用[1-25]。但目前模糊直接、間接自適應(yīng)等方法在離散系統(tǒng)中的運用研究尚不深入，有大量待研究、發(fā)展的問題。在離散系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的離散化以及系統(tǒng)的理想滑動模態(tài)根本不能到達,所以準滑動模態(tài)的降階特性不再存在。這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析造成了困難?；？刂频姆植皆O(shè)計法雖然可以實施，但是不能保證較好的魯棒穩(wěn)定性。離散系統(tǒng)的采樣時間對于模糊邏輯系統(tǒng)的逼近能力產(chǎn)生很大影響，對于自適應(yīng)機構(gòu)的自適應(yīng)能力、速度也同樣產(chǎn)生較大影響。因而離散系統(tǒng)中模糊自適應(yīng)方法在滑?？刂浦械膽?yīng)用對于消除滑?？刂频亩墩褡饔幂^之連續(xù)系統(tǒng)大大減弱。

本文從自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)出發(fā)用離散動態(tài)自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)逼近滑?？刂坡?，給出逼近誤差收斂的自適應(yīng)機構(gòu)和構(gòu)建方法；通過AFLS動態(tài)的參數(shù)設(shè)計形成較好的濾波效果，用以消除抖振。

1 離散非線性系統(tǒng)的SMC

考慮如下離散非線性系統(tǒng),

(1)

式中：f(xi(k))、g(xi(k))滿足

g(xi(k))=g+Δg(xi(k))

(2)

(3)

設(shè)滑模s(k)=CTe(k),C=[c1c2…cn-11]T∈Rn是Hurwitz多項式的系數(shù)。對于上述線性不確定離散系統(tǒng)提出以下定理。

定理1 對于非線性系統(tǒng)(1)，若取準滑?？刂坡?/p>

r(k)+(qT1-1)s(k)+k2sgns(k)]

(4)

式中：T1為準滑?？刂破鞯牟蓸又芷?。設(shè)計參數(shù)q、k2滿足

(5)

證明考慮不等式離散到達條件

(6)

Δsk+1=sk+1-sk=f(xi(k))+Δgusk-

(qT1-1)sk-k2sgnsk-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk]

(7)

[Δsk+1]2=[f(xi(k))+Δgusk-(qT1-1)sk-k2sgnsk]2+

(8)

若要使得到達條件(6)滿足，將式(7)、(8)代入式(6)得

(1+Δgg-1)|(qT1-1)sk|+(1+Δgg-1)k2

(9)

依據(jù)式(5)式(9)等價為

可見在邊界Δ外到達條件(6)成立。證畢。

定理1雖然得到了系統(tǒng)(3)的一個SMC，但是這個SMC使得滑模到達切換帶是很寬的，而且寬度隨著系統(tǒng)不確定性的變化而變化。這在實際上會形成很大的抖振。因此本文尋求其模糊自適應(yīng)SMC以消除抖振。

2 模糊自適應(yīng)SMC

對于定理1準滑模控制率，引入滑模邊界層參數(shù)λ>0，當系統(tǒng)滑模到達邊界層內(nèi)施加模糊邏輯(FLC)控制律uf(k)，停止準滑?？刂坡蕌s(k)。即

u(k)=us(k)+uf(k)

式中：uflc是模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，Δ是準滑動模態(tài)區(qū)的寬度，因此λ≥Δ。

邊界層厚度參數(shù)λ的范圍與系統(tǒng)不確定動態(tài)非線性函數(shù)的上界有直接關(guān)系。非線性系統(tǒng)的不確定性越大，準滑動模態(tài)區(qū)寬度越大，參數(shù)λ選擇范圍越大。實驗證明λ對每個具體非線性系統(tǒng)有一個最佳值。可以通過以下方法選擇：已知狀態(tài)的初始值，代入非線性函數(shù)上界得到Δ值。一般λ∈[Δ,3Δ]效果較好。

2.1 自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)

對于系統(tǒng)(1)用AFLS來逼近滑?？刂坡?。所采用的AFLS與文獻[17]中相同，后件參數(shù)采用梯度優(yōu)化自校正的方法進行。

選擇滑模s(k)以及Δs(k)為輸入變量，構(gòu)造具有2個輸入變量、1個輸出變量的FBF型AFLS。其中的前件參數(shù)由設(shè)計者調(diào)節(jié)，后件參數(shù)由自適應(yīng)機構(gòu)校正。模糊控制規(guī)則為

Ri: Ifs(k) issiandΔs(k) isΔsithenuf(j) isθi(j)

i=1,2,…,m

式中：α為滑模s(k)的劃分參數(shù)，β為滑模變化率，Δs(k)的劃分參數(shù)，j是AFLS的采樣步長，θi(j)是待校正的后件參數(shù)，m是規(guī)則總數(shù)。采用單點模糊化、乘積推理、加權(quán)平均解模糊方法滑?？刂频哪：平敵鰹?/p>

uf(j)=θ(j)Tp

(10)

2.2 自適應(yīng)率

定義自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)(AFLS)逼近滑?？刂坡?4)的誤差目標函數(shù)為

這樣AFLS逼近控制律(4)的問題就轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)J(θ,x)的優(yōu)化問題。即

求目標函數(shù)沿參數(shù)θ方向的梯度得

參數(shù)θ自校正的方向應(yīng)該沿著目標函數(shù)對其梯度的負方向，由式(11)確定θ的校正方向,

θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)

(11)

2.3 DAFLS逼近滑?？刂?/h3>

先考慮T1=lT2,l∈Ζ的情況下，AFLS輸出(10)逼近普通離散SMC的誤差。

定理2 對于準滑?？刂?4)，若AFLS以式(11)為自適應(yīng)機構(gòu)且其采樣周期T2遠比準滑?？刂?4)的采樣周期T1小，則AFLS(10)逼近準滑?？刂?4)的誤差漸近收斂。

證明在自適應(yīng)律(11)下選取逼近誤差的Lyapunov函數(shù)為

(12)

若AFLS的采樣周期遠比控制器u(k)的采樣周期小則對式(12)有

利用式(11)有

pTp(u(k)-θ(j)Tp)θ(j)Tp-pTp(u(k)-θ(j)Tp)·

pTp(u(k)-θ(j)Tp)2

(13)

因為p是模糊基函數(shù)向量，所以0

Δv(j)=v(j+1)-v(j)<0

證畢。

接著，為進一步加強濾波效果以消除抖振，在AFLS基礎(chǔ)上引入動態(tài)自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)(dynamic adaptive fuzzy logic system, DAFLS)。

考慮n階連續(xù)DAFLS，則

(14)

式中：di(i=0,1,…,n-1)、γ均為DAFLS的動態(tài)參數(shù)。

假設(shè)(14)的動態(tài)形成低通濾波。將其離散化得到離散的DAFLS，

v(k)[r0+r1z-1+…+rnz-n]=ωθTp

(15)

式中：ri(i=0,1,…,n)、ω是導出的參數(shù)。運用DAFLS逼近滑模控制式(4)。

將濾波器(式(14))看作一個子系統(tǒng)，可以通過選擇狀態(tài)變量，將式(15)變?yōu)闋顟B(tài)空間模型，

(16)

式中：θTp看作是子系統(tǒng)(16)的輸入，v(j)是這個子系統(tǒng)的輸出。定理2已經(jīng)證明如果沒有引入濾波器動態(tài)，AFLS逼近滑?？刂频恼`差是收斂的。現(xiàn)在選取新的關(guān)于其輸出v(j)與滑?？刂浦g誤差的正定Lyapunov函數(shù)，其一階差分負定，則DAFLS的輸出v(j)在適當?shù)淖赃m應(yīng)律下逼近滑?？刂频恼`差仍然收斂。DAFLS中的動態(tài)濾波器可以看作是線性系統(tǒng)(16)。

3 主要結(jié)果

3.1 動態(tài)AFLS的逼近誤差

定理3 對于準滑模控制(4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應(yīng)機構(gòu)且其參數(shù)滿足：ATCTCA半負定，Cb=1，采樣周期T2遠比準滑?？刂?4)的采樣周期T1小，則DAFLS(16)逼近準滑?？刂?4)的誤差漸近收斂。

證明選取逼近誤差的Lyapunov函數(shù)為

其一階差分為

ΔV(j)=1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2+2CAη(j)CbθT(j)p}+

Cη(j)θT(j)p-θT(j+1)pCAη(j)-

θT(j+1)pCbθT(j)p+

1/2({[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2})+

[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp=

1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2}+CAη(j)CbθT(j)p+Cη(j)θT(j)p-

θT(j+1)pCAη(j)-θT(j+1)pCbθT(j)p+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp

若代入θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)，有

[Cη(j)]2}+Cη(j)θT(j)p-

[θT(j)p]2Cb-θT(j)pCAη(j)(1-Cb)-

pTp(us(k)-θT(j)p)·(CAη(j)+CbθT(j)p)+

3θT(j)p[us(k)-θT(j)p]pTp-

2us(k)[us(k)-θT(j)p]pTp

(17)

若Cb=1,式(17)變?yōu)?/p>

若矩陣A、C滿足Lyapunov方程

ATCTCA-CTC=-Q

其中Q=QT,Q>0。則有[CAη(j)]2≤[Cη(j)]2則

ΔV(j)≤2[(pTp)2-pTp][us(k)-θT(j)p]2

又因為p是模糊基向量則pTp≤1 。因此有ΔV(j)≤0成立。若ΔV(j)≡0成立則有

v(j)=us(k)=θT(j)p

成立。根據(jù)Lyapunov理論逼近誤差收斂。證畢。

3.2 近似逼近下的滑?？蛇_性

定理4 對于準滑?？刂?4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應(yīng)機構(gòu)且其參數(shù)且滿足定理2內(nèi)容，則滑模到達條件(6)能夠得到滿足。

證明考慮不等式離散到達條件，

Δsk+1=sk+1-sk=Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk+g(ufk-usk)]

[Δsk+1]2=[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

2sk[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)]

若要使得到達條件滿足，將skΔsk+1、[Δsk+1]2代入得

(18)

由式(18)可見，只要ufk逼近usk誤差為零則與(9)是等同的。證畢。

4 倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用仿真

一階倒立擺系統(tǒng)的離散模型如下：

式中：θ(k)是擺角位移，u(k)是小車控制電壓。

當應(yīng)用普通SMC方法控制和應(yīng)用本文提出的控制方法時得到擺角位移曲線對比如圖1所示,控制電壓曲線對比如圖2所示。

圖1 SMC和DAFLSMC控制下擺角位移曲線對比Fig.1 Angle displacement contract curves of pendulum for SMC and DAFLSMC

圖2 SMC和DAFLSMC控制下電壓曲線對比Fig.2 Control voltage contract curves for SMC and DAFLSMC

通過圖1、2可以得出，普通離散SMC穩(wěn)態(tài)抖動很大，而本文提出的DAFLSMC消除了抖動。比較DAFLSMC控制電壓曲線與在同等條件下實施普通SMC的控制電壓曲線，如圖2。因為設(shè)計的DAFLS逼近SMC的采樣時間是0.01 s而被控對象及普通SMC采樣時間是0.1 s。因此DAFLS輸出的控制電壓更加光滑。

為了觀察DAFLS的濾波效果把濾波前后的控制電壓曲線作對比如圖3所示。從圖3中可見加入了動態(tài)濾波的DAFLS后控制信號的高頻抖動部分被濾掉了。

圖3 濾波器前后的控制電壓曲線對比Fig.3 Control voltage comparison of AFLSMC and DAFLSMC

為驗證本文所提出方法的魯棒性能，保持控制器參數(shù)不變的情況下，在仿真t=10 s時，給擺角位移施加幅度為0.3 rad的脈沖干擾，系統(tǒng)控制效果如圖4、圖5所示?？梢姡谳^強干擾施加給擺角時，系統(tǒng)仍然能夠穩(wěn)定回到原點，穩(wěn)態(tài)性能不變。說明本文提出方法的確保留了普通離散SMC的魯棒性。

圖4 DAFLS控制下擺角位移受擾曲線Fig.4 The angle excursion curve when disturbed under DAFLSMC control

圖5 DAFLS控制下受擾時控制電壓曲線Fig.5 The control volt curve when disturbed under DAFLSMC control

5 結(jié)束語

提出了一種離散直接自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒āＭㄟ^用AFLS逼近離散滑?？刂?，消除了SMC的抖振。逼近SMC的AFLS中必須引入動態(tài)，才能實現(xiàn)濾波功能，而且，動態(tài)AFLS采樣時間要比系統(tǒng)采樣時間小。通過與普通離散SMC的應(yīng)用仿真對比，證明了該方法通過適當參數(shù)設(shè)置，不但保證了滑模到達，消除了SMC的抖振，還保留了SMC很強的魯棒性能。該方法對離散SMC的應(yīng)用具有一定價值，需進一步加強其在實際控制系統(tǒng)中的應(yīng)用研究。

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