一種改進(jìn)的綜合生產(chǎn)計(jì)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法

曾強(qiáng)，沈玲，吳立云，蘭建義

1.河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作 454000

2.河南理工大學(xué)安全科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作 454000

一種改進(jìn)的綜合生產(chǎn)計(jì)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法

曾強(qiáng)1，沈玲2，吳立云1，蘭建義1

1.河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作 454000

2.河南理工大學(xué)安全科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作 454000

提出了一種改進(jìn)的綜合生產(chǎn)計(jì)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化方法。以1999年甘應(yīng)愛(ài)主編的《運(yùn)籌學(xué)》第227～230頁(yè)給出的一類(lèi)綜合生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題為研究對(duì)象，深入分析了原綜合生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題、數(shù)學(xué)優(yōu)化模型、動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程、計(jì)算方法存在的不足并提出了相應(yīng)的改進(jìn)措施。通過(guò)案例分析驗(yàn)證了所提方法的有效性。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃；綜合生產(chǎn)計(jì)劃；計(jì)算機(jī)優(yōu)化

綜合生產(chǎn)計(jì)劃是指導(dǎo)生產(chǎn)的綱領(lǐng)。綜合生產(chǎn)計(jì)劃的優(yōu)劣決定了生產(chǎn)績(jī)效的高低，研究生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化方法具有重要意義。按優(yōu)化目標(biāo)可將綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化分為單目標(biāo)優(yōu)化[1]和多目標(biāo)優(yōu)化[2-3]。按計(jì)劃對(duì)象可將綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化分為單一產(chǎn)品綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化[4]和多產(chǎn)品綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化，多產(chǎn)品綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化更為復(fù)雜。按是否考慮能力約束可分為無(wú)限能力約束和有限能力約束下[5]的綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化。無(wú)限能力約束情況下的綜合生產(chǎn)計(jì)劃可執(zhí)行性差，常發(fā)生計(jì)劃不能按時(shí)完成的情況。按求解方法分為經(jīng)驗(yàn)法、數(shù)學(xué)模型法。經(jīng)驗(yàn)法是憑借計(jì)劃者的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行各期生產(chǎn)量的安排的方法，其計(jì)劃方案的優(yōu)劣取決于計(jì)劃者的經(jīng)驗(yàn)，不同的計(jì)劃者做出的計(jì)劃可能相差較大。數(shù)學(xué)模型法則是指借助數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)優(yōu)化方法如線(xiàn)性規(guī)劃法[3，6]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法[4，7-9]、運(yùn)輸法[4，7]等對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。按計(jì)算方法可分為手工優(yōu)化和計(jì)算機(jī)輔助優(yōu)化兩種。手工計(jì)算僅適用于計(jì)算簡(jiǎn)單、計(jì)算量小的場(chǎng)合，對(duì)于計(jì)算復(fù)雜、計(jì)算量大的綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題，手工計(jì)算的時(shí)效性差、準(zhǔn)確性差，故需借助計(jì)算機(jī)輔助求解。從以上分析可見(jiàn)，綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題，針對(duì)不同的邊界條件，能組合出多種不同的優(yōu)化問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)中并不存在普遍適用的解決方案，需根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行具體處理。

本文以文獻(xiàn)[4]提出的一類(lèi)綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題為研究對(duì)象，它是一個(gè)單目標(biāo)、單一產(chǎn)品、有限能力約束的多階段優(yōu)化決策問(wèn)題，適合采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法對(duì)其求解。然而，文獻(xiàn)[4]所描述的綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題在問(wèn)題假設(shè)、數(shù)學(xué)優(yōu)化模型、求解過(guò)程、計(jì)算方法四個(gè)方面均存在不足，有必要進(jìn)行改進(jìn)。基于此，本文深入分析了文獻(xiàn)[4]中原綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題、數(shù)學(xué)優(yōu)化模型、求解過(guò)程、計(jì)算方法存在的不足并針對(duì)這些不足提出了相應(yīng)的改進(jìn)措施。

1 原綜合生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題改進(jìn)

文獻(xiàn)[4]研究的綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題描述如下：設(shè)某公司對(duì)某種產(chǎn)品要制定一項(xiàng)n期的生產(chǎn)計(jì)劃。已知它的初始庫(kù)存為0，每期生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量有上限，每期市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求量已知，公司保證各期的供應(yīng)（不允許缺貨），在第n期的終結(jié)庫(kù)存為0，問(wèn)該公司如何制定各期的生產(chǎn)計(jì)劃，使總成本最低。

由上述問(wèn)題描述可以看出，原生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題存在如下不足：（1）假設(shè)期初和期末庫(kù)存為0，大大限制了應(yīng)用范圍。實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，由于存在瓶頸期和生產(chǎn)能力的共同制約，很有可能需要在期初保有一定的庫(kù)存以滿(mǎn)足瓶頸期的需求，故期初庫(kù)存可能大于0。同樣的道理，為滿(mǎn)足下一計(jì)劃期中的瓶頸期的需求，需要在上一計(jì)劃期多安排生產(chǎn)使期末庫(kù)存大于0，上一計(jì)劃期的期末庫(kù)存也就成為下一計(jì)劃期的期初庫(kù)存。（2）假設(shè)各期生產(chǎn)能力上限相同，也與生產(chǎn)實(shí)際不一定相符。實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，由于受計(jì)劃期中各期人力、設(shè)備、工具、工作日歷及管理等因素波動(dòng)的影響，各期的生產(chǎn)能力上限不一定相等?；谝陨戏治?，本文提出如下的改進(jìn)措施：將約束條件放寬，即假設(shè)期初庫(kù)存大于等于0、期末庫(kù)存大于等于0，各期生產(chǎn)能力上限可不同。

2 綜合生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)優(yōu)化模型改進(jìn)

（1）變量及函數(shù)定義

n為計(jì)劃期的總期數(shù)；k為第k期，k∈[0,n]；Dk為第k期需求量；Xk為第k期生產(chǎn)量；Vk為第k期期末庫(kù)存；Ck(Xk)為第k期生產(chǎn)量為Xk時(shí)的生產(chǎn)成本；Hk(Vk)為第k期期末庫(kù)存為Vk時(shí)發(fā)生的存貯成本；m為生產(chǎn)能力上限。

（2）原生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

根據(jù)問(wèn)題描述及變量定義，可得到如式（1）（2）表示的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。

（3）改進(jìn)后生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

根據(jù)對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的改進(jìn)措施，新定義變量Uk為各期生產(chǎn)能力上限，對(duì)上述數(shù)學(xué)優(yōu)化模型進(jìn)行了改進(jìn)得到如式（3）（4）表示的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。

3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程改進(jìn)

若對(duì)式（1）（2）數(shù)學(xué)優(yōu)化模型采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)求解，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和順序遞推關(guān)系如式（5）、（6）所示。

4 綜合生產(chǎn)計(jì)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算機(jī)求解方法

由文獻(xiàn)[4]對(duì)原問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程可以看出，其計(jì)算量很大，隨著計(jì)劃期、需求量、生產(chǎn)能力的增加，計(jì)算量將呈指數(shù)式增長(zhǎng)，使得手工計(jì)算時(shí)效性差，并且手工計(jì)算具有出錯(cuò)率高的特點(diǎn)，因此它無(wú)法適應(yīng)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的求解?；诖?，本文針對(duì)改進(jìn)后的一類(lèi)綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題、數(shù)學(xué)優(yōu)化模型及動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程的特點(diǎn)，研究并提出一種計(jì)算機(jī)輔助求解方法。下面對(duì)該方法進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述。

表1 變量定義

4.1 變量定義

為便于計(jì)算機(jī)編程和后續(xù)內(nèi)容的描述，對(duì)所用到的變量說(shuō)明如表1所示。

4.2 工作表設(shè)計(jì)

為便于利用Excel求解，需根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的特點(diǎn)將相關(guān)數(shù)據(jù)映射成Excel工作表。程序計(jì)算過(guò)程中有關(guān)數(shù)據(jù)的輸入、中間計(jì)算結(jié)果、輸出均通過(guò)工作表進(jìn)行。各表之間可能存在相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系，如“計(jì)算過(guò)程”與“計(jì)算結(jié)果”之間彼此關(guān)聯(lián)，這通過(guò)各單元格的公式實(shí)現(xiàn)聯(lián)動(dòng)，而這些公式的輸入則通過(guò)程序?qū)懭?。根?jù)所研究問(wèn)題的特點(diǎn)，主要設(shè)計(jì)了四張工作表，即“生產(chǎn)需求及能力約束”、“計(jì)算過(guò)程”、“計(jì)算結(jié)果”、“最優(yōu)方案”。其中，“生產(chǎn)需求及能力約束”用于輸入各期需求量及生產(chǎn)能力上限，其結(jié)構(gòu)如表2所示；“計(jì)算過(guò)程”用于存儲(chǔ)整個(gè)計(jì)算的中間過(guò)程數(shù)據(jù)，以便追蹤計(jì)算的全部過(guò)程，其結(jié)構(gòu)如表3所示；“計(jì)算結(jié)果”用于存儲(chǔ)最終計(jì)算的生產(chǎn)計(jì)劃方案，其結(jié)構(gòu)如表4所示。“最優(yōu)方案”工作表結(jié)構(gòu)與“計(jì)算結(jié)果”的結(jié)構(gòu)完全相同，所不同的是它僅存儲(chǔ)系統(tǒng)輸出的最優(yōu)方案，是計(jì)算結(jié)果中的一部分內(nèi)容。

表2 生產(chǎn)需求及能力約束

表3 計(jì)算過(guò)程

表4 計(jì)算結(jié)果

4.3 計(jì)算流程

本文提出的綜合生產(chǎn)計(jì)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算機(jī)求解方法總體思路如下：首先通過(guò)程序自動(dòng)填充計(jì)算公式于“計(jì)算過(guò)程”和“計(jì)算結(jié)果”兩個(gè)工作表，然后根據(jù)用戶(hù)設(shè)置的期末目標(biāo)庫(kù)存量自動(dòng)輸出該期末庫(kù)存量下對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。

自動(dòng)填充“計(jì)算過(guò)程”和“計(jì)算結(jié)果”兩個(gè)工作表通過(guò)三層嵌套循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)。第一層（最外層）令k從1到n變化；第二層（中間層）令Vk從0到Vkmax變化；第三層（最內(nèi)層）令Xk從0到Sgmk變化。通過(guò)三層循環(huán)，將k、Vk、Xk的每種組合在“計(jì)算過(guò)程”工作表中以公式的形式在各單元格中輸出；同時(shí)，對(duì)于每個(gè)k，當(dāng)進(jìn)行了第二層和第三層循環(huán)之后，將最小Fk_Vk值對(duì)應(yīng)的行輸出到“計(jì)算結(jié)果”中以備第k+1期查尋Fk_Vk值時(shí)使用。

輸出最優(yōu)方案采用“反向追蹤技術(shù)”實(shí)現(xiàn)，即通過(guò)用戶(hù)設(shè)置的最終庫(kù)存量Vn，在“計(jì)算結(jié)果”工作表中第n期對(duì)應(yīng)的行中找到Vk列等于Vn值的行，從Vk-1列得到Vn_1值，并將此行輸出到“最優(yōu)方案”的n+2行，然后在第n-1期中尋找Vk列的值等于Vn-1的行，并將此行輸出到“最優(yōu)方案”的n+1行，依此類(lèi)推，直到處理完第0期為止。

程序具體計(jì)算流程如圖1所示。

對(duì)圖1所示的計(jì)算流程的有關(guān)說(shuō)明：

（1）S1：清除工作表。此步將“計(jì)算過(guò)程”除表頭以外的內(nèi)容清除，同時(shí)將“計(jì)算結(jié)果”中除表頭和第0期以外的內(nèi)容清除，以便存儲(chǔ)重新計(jì)算的結(jié)果?！坝?jì)算結(jié)果”表中第0期（第二行）是期初庫(kù)存為V0時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，不參與循環(huán)計(jì)算，故不清除該行。

圖1 計(jì)算流程

（2）S2：變量賦初值。通過(guò)此步，將程序用到的輸入值賦給相關(guān)變量，主要有fr、fl、f1（初值2）、f2（初值2）、fl、n、Vnmax、Gd、Bd、h、M。

（3）S5：在jsgc的cells(fr，2)填充公式。

首先，自定義函數(shù)Vkmax()，其作用是返回第k期Vk的最大值，代碼如下：

其次，通過(guò)如下的代碼實(shí)現(xiàn)在Sheets（jsgc）.Cells（fr，2）中填充公式。

以上代碼的作用是若在“計(jì)算結(jié)果”第6列查找到Vk_1則返回其成本值Fk_1_Vk_1，否則返回M。

（6）S17：通過(guò)此步可以產(chǎn)生多個(gè)最優(yōu)解。

5 案例分析

以文獻(xiàn)[4，7]的案例，利用本文提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

文獻(xiàn)[4]中Gd=3千元，Bd=1千元，h=0.5千元。表5是V0=0，Vnmax=3，Vn=0時(shí)的最優(yōu)方案，圖2是其對(duì)應(yīng)的期量圖。從表5和圖2可見(jiàn)，在上述參數(shù)設(shè)置下第1和4期各安排了6臺(tái)，其他各期均未安排生產(chǎn)計(jì)劃，其總成本最低，最低總成本是22.5千元。表6是V0=4，Vnmax=0，Vn=0的最優(yōu)方案，可見(jiàn)，因計(jì)算期初已有4臺(tái)產(chǎn)品，可滿(mǎn)足第1、第2期的1+3=4臺(tái)產(chǎn)品需求，使最優(yōu)方案總生產(chǎn)量由12臺(tái)減少為8臺(tái)，相應(yīng)的總成本由22.5萬(wàn)元減少到18.5千元。表7是V0=0，Vnmax=3，Vn=2時(shí)的最優(yōu)方案，可見(jiàn)，為滿(mǎn)足Vn=2的目標(biāo)，使生產(chǎn)總量由12臺(tái)增加到14臺(tái)，生產(chǎn)成本由22.5千元增加到27.5千元。表8是Vnmax=0，Vn=0，U3＜D3時(shí)的最優(yōu)方案，可見(jiàn)，由于第3期的需求量大于其生產(chǎn)能力，使第2期提前生產(chǎn)超過(guò)其需求的量6-3=3以彌補(bǔ)第3期生產(chǎn)能力的不足。表9是V0=0，Vnmax=0，Vn=0，Uk不相同時(shí)的最優(yōu)方案，圖3是其對(duì)應(yīng)的期量圖。從表9可見(jiàn)，各期的生產(chǎn)能力Uk不同，最優(yōu)方案中各期生產(chǎn)量Xk不超過(guò)Uk。由于Uk有所減小且各期不同，使安排生產(chǎn)的期數(shù)由2期增加到5期，各期生產(chǎn)量較接近Uk，表明更有效利用了每期的實(shí)際生產(chǎn)能力。表10是h=1千元時(shí)的最優(yōu)方案，與表5相比可見(jiàn)，若單位存儲(chǔ)成本上升到一定程度，會(huì)使原來(lái)在前期安排的生產(chǎn)計(jì)劃后期推遲，安排生產(chǎn)的期數(shù)增加，至于具體推遲到哪期，則取決于批固定成本Gd、單位變動(dòng)成本Bd及各期生產(chǎn)能力Uk的相對(duì)關(guān)系，但可以肯定的是，最優(yōu)方案對(duì)應(yīng)的批固定生產(chǎn)成本的增加值必小于等于存儲(chǔ)成本的減少值；相反，可以預(yù)見(jiàn)，隨著批生產(chǎn)成本Gd增加，會(huì)使安排生產(chǎn)計(jì)劃的期數(shù)減少，最優(yōu)方案對(duì)應(yīng)的批固定生產(chǎn)成本的減少值必大于等于存儲(chǔ)成本的增加值。

表5 文獻(xiàn)[4]最優(yōu)方案

圖2 Uk=6時(shí)期量圖

表6 文獻(xiàn)[4]V0=4時(shí)最優(yōu)方案

文獻(xiàn)[7]中Xk取值范圍為0～2 500件，范圍過(guò)寬，組合量巨大，使計(jì)算量過(guò)大，時(shí)效性差，另一方面也沒(méi)有必要使Xk從0～2 500件進(jìn)行遍歷，故需對(duì)該案例進(jìn)行“數(shù)據(jù)變換”。變換方式如下：找出各期需求量及生產(chǎn)能力約束的公約數(shù)（建議取最大公約數(shù)），將各期需求量和生產(chǎn)能力約束上限除以此公約數(shù)，將單位變動(dòng)成本Bd、單位存儲(chǔ)成本h乘以此公約數(shù)，計(jì)算結(jié)果中Xk、Vk則需乘以此公約數(shù)進(jìn)行反變換?；谝陨纤悸罚墨I(xiàn)[7]計(jì)算過(guò)程中取Gd=5萬(wàn)元，Bd=100萬(wàn)元，h=5萬(wàn)元。表11、表12是文獻(xiàn)[7]的兩個(gè)最優(yōu)解。

表7 文獻(xiàn)[4]V0=0，Vn max=3，Vn=2時(shí)最優(yōu)方案

表8 文獻(xiàn)[4]V0=0，Vn max=0，Vn=0，U3＜D3時(shí)最優(yōu)方案

表9 文獻(xiàn)[4]V0=0，Vn max=0，Vn=0，Uk不相同時(shí)最優(yōu)方案

圖3 Uk不相等時(shí)期量圖

表10 文獻(xiàn)[4]V0=0，Vn max=0，Vn=0，h=1時(shí)最優(yōu)方案

表11 文獻(xiàn)[7]最優(yōu)方案一

表12 文獻(xiàn)[7]最優(yōu)方案二

6 結(jié)論

將文獻(xiàn)[4]的綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn)從而拓寬了其應(yīng)用范圍，針對(duì)改進(jìn)后的一類(lèi)綜合生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)對(duì)原數(shù)學(xué)優(yōu)化模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)，形成了新的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃過(guò)程，在此基礎(chǔ)上以Excel為開(kāi)發(fā)平臺(tái)，提出了一種計(jì)算機(jī)輔助求解方法，最后通過(guò)案例研究驗(yàn)證了本文方法的有效性。研究結(jié)果表明，本文方法是有效的，具有較強(qiáng)的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

[1]陳杰，潘衛(wèi)剛.VMI策略下的綜合生產(chǎn)計(jì)劃研究[J].運(yùn)籌與管理，2004，13（3）：137-140.

[2]黃景平，李彤，馮珊.企業(yè)綜合生產(chǎn)計(jì)劃的一種設(shè)計(jì)及優(yōu)化方法[J].華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，27（1）：7-10.

[3]于麗英，楊雷.生產(chǎn)計(jì)劃的雙目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型及其求解[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，35（7）：1100-1102.

[4]甘應(yīng)愛(ài)，田豐.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999：227-230.

[5]林中偉，謝強(qiáng).基于遺傳算法的多級(jí)有限能力生產(chǎn)計(jì)劃[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2003，24（1）：123-126.

[6]呂志民，宋肖青，董紹華.鋼鐵聯(lián)合企業(yè)中期生產(chǎn)計(jì)劃建模及算法[J].計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2011，17（1）：89-94.

[7]李懷祖.生產(chǎn)計(jì)劃與控制[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2010：125-128.

[8]秦宣云.基于優(yōu)先缺貨權(quán)的工廠生產(chǎn)計(jì)劃的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型[J].系統(tǒng)工程，2002，20（4）：20-24.

[9]李嫦，趙磊，趙曉波.組裝線(xiàn)生產(chǎn)計(jì)劃和庫(kù)存策略的優(yōu)化[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，50（5）：669-672.

[10]王鴻儒.Excel VBA程序設(shè)計(jì)[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2005.

[11]王成春.Excel VBA 2003程序設(shè)計(jì)實(shí)例導(dǎo)航[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2005.

ZENG Qiang1,SHEN Ling2,WU Liyun1,LAN Jianyi1

1.School of Energy Science and Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454000,China
2.School of Safety Science and Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454000,China

An improved method to optimize aggregate production planning based on dynamic programming is proposed. The aggregate production planning problem given from page 227 to page 230 in the book“Operation Research”editored by Gan Ying’ai is taken as the subject investigated in this paper.The shortage of the original optimizing problem of aggregate production planning,mathematic optimizing model,dynamic programming process and computation method is analyzed deeply in sequence and the corresponding improved measures are proposed for them.The effectiveness of the proposed method is tested by case study.

dynamic programming;aggregate production planning;computer optimization method

A

TP391；C93-03

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0022

ZENG Qiang,SHEN Ling,WU Liyun,et al.Improved method to optimize aggregate production planning based on dynamic programming.Computer Engineering and Applications,2014,50（21）：248-253.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.51104056）；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（No.12B120005）；河南理工大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目（No.B2011-088）。

曾強(qiáng)（1975—），男，博士，副教授，研究領(lǐng)域：工業(yè)工程、生產(chǎn)管理；沈玲（1980—），女，講師，研究領(lǐng)域：安全工程、工業(yè)工程；吳立云（1972—），女，在讀博士，副教授，研究領(lǐng)域：工業(yè)工程；蘭建義（1972—），男，在讀博士，副教授，研究領(lǐng)域：工業(yè)工程。E-mail：zengqiang@cqu.edu.cn

2012-10-08

2012-12-19

1002-8331（2014）21-0248-06

CNKI出版日期：2013-01-11，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130111.0951.002.html