裂紋深度對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究

雷劍鋒，陳越

摘要：文章以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，對(duì)轉(zhuǎn)子有裂紋、不同裂紋角度以及一些相關(guān)參數(shù)影響下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征進(jìn)行了研究，通過以無(wú)綱量的裂紋深度為參數(shù)的分岔圖、軸心軌跡圖、軸心相軌跡圖以及Poincaré截面圖討論其振動(dòng)的非線性特性，在復(fù)雜運(yùn)轉(zhuǎn)的區(qū)域范圍內(nèi)，通過分區(qū)段的討論各區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：裂紋轉(zhuǎn)子；裂紋深度；軌跡圖；Poincaré截面圖

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理論基礎(chǔ)

對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)分析的方法有多種，本文采用了對(duì)非線性研究公認(rèn)有效的相軌跡圖和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的數(shù)值方法主要有以下幾種：混沌運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖、Poincaré截面、分岔圖、功率譜法等。而描述并且識(shí)別周期分岔運(yùn)動(dòng)的除了有三維頻譜圖、軸心軌跡圖外，還包括周期分岔圖和龐卡萊圖等。因此綜合分岔圖、龐卡萊圖、軸心軌跡圖就可以對(duì)非線性轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究與分析。

2 動(dòng)力學(xué)性能

裂紋轉(zhuǎn)子軸中的裂紋的不斷開閉，導(dǎo)致對(duì)其分析起來(lái)十分困難。因此為了突出裂紋的影響，選取研究對(duì)象多為剛性支承的Jeffcott轉(zhuǎn)子模型。裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程設(shè)轉(zhuǎn)子左端軸心的徑向位移為x1、y1，轉(zhuǎn)盤處的徑向位移x2、y2?？紤]到因?yàn)榱鸭y產(chǎn)生的附加剛度，在對(duì)稱性假設(shè)的條件下，帶有橫向裂紋的單盤彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為：

式中，為軸承處的等效之中質(zhì)量；為轉(zhuǎn)軸中央圓盤質(zhì)量；k為轉(zhuǎn)軸剛度；為轉(zhuǎn)子的軸承處的機(jī)構(gòu)阻尼；為轉(zhuǎn)子在圓盤處的機(jī)構(gòu)阻尼；b為圓盤偏心率；c為軸承的間隙；、為僅與裂紋深度a有關(guān)的剛度系數(shù)；為裂紋開不函數(shù)；為裂紋方向與偏心之間的夾角；為初相。

3 無(wú)量綱裂紋深度對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

隨著時(shí)間的推移，轉(zhuǎn)子疲勞破壞表現(xiàn)為裂紋的不斷加深，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，如圖1所示，會(huì)相應(yīng)發(fā)生規(guī)律性的變化。在=，=0.666時(shí)，轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨裂紋擴(kuò)展出現(xiàn)大量的復(fù)雜響應(yīng)形式和混沌分岔現(xiàn)象：在一個(gè)很寬的無(wú)量綱裂紋深度范圍內(nèi)A（0.01，0.5），以擬周期與高倍周期解并存形式的響應(yīng)占主導(dǎo)地位，并明顯依次出現(xiàn)周期10、周期12、周期10、擬周期，在經(jīng)歷擬周期后進(jìn)入混沌狀態(tài)。在這一區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)周期解和擬周期解釋一個(gè)頻繁轉(zhuǎn)換的過程。由于低頻進(jìn)動(dòng)分岔現(xiàn)象，響應(yīng)中出現(xiàn)不可通約的頻率成分，周期響應(yīng)變成擬周期響應(yīng)形式；擬周期解隨參數(shù)變化又會(huì)在某些參數(shù)域鎖相到周期解；經(jīng)擬周期解和周期解的多次相互轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)響應(yīng)最終趨于

穩(wěn)定。

圖1 β=π時(shí)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖

在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究中，裂紋對(duì)含裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性及響應(yīng)有著重大的影響，由于裂紋會(huì)在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的過程中隨時(shí)間的開閉，加之非線性油膜力的加入，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。隨之裂紋的不斷擴(kuò)展，裂紋較深時(shí)系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)，系統(tǒng)響應(yīng)隨其他參數(shù)的變化而隨之發(fā)生非常明顯的變化。當(dāng)裂紋很淺時(shí)，一般來(lái)說(shuō)系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng)，在某些特定的轉(zhuǎn)速下則會(huì)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)還伴隨有各種倍頻分量。當(dāng)裂紋深度較深時(shí)（A>0.7055），由于裂紋張開與閉合的影響，非線性響應(yīng)將會(huì)更加

明顯。

圖2 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的相心軌跡圖

圖3 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的軸心軌跡圖

圖4 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的Poincaré截面

圖2至圖4用Poincaré截面圖、軸心軌跡圖、相心軌跡圖描述了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著裂紋深度擴(kuò)展下有多周期迅速進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程，在由多周期向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的初期相圖上能看到相軸線朝封閉帶狀轉(zhuǎn)化之趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)的Poincaré截面圖上也發(fā)現(xiàn)了表征擬周期運(yùn)動(dòng)的封閉圓環(huán)，同時(shí)，在對(duì)應(yīng)的頻譜圖上也發(fā)現(xiàn)了部分與主要頻率不可通約的頻率成分持續(xù)累積，證明了，它是由多周期到擬周期，再又?jǐn)M周期途徑進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程。但是，從相心軌跡的演化來(lái)看，整個(gè)過程中，它們都沒有顯著的變化，說(shuō)明整個(gè)過程中不存在間歇進(jìn)入混沌狀態(tài)的特征。這也驗(yàn)證了無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖1的分岔現(xiàn)象。

對(duì)裂紋較淺的軸，由于裂紋還處在擴(kuò)展的開始，對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)等特性表現(xiàn)出的影響并不是特別明顯，此時(shí)的裂紋故障很難識(shí)別。但經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)，再開機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較低的情況下，分析其軌跡以及頻譜圖，可以對(duì)這一故障進(jìn)行分析檢測(cè)。隨著裂紋的擴(kuò)展，裂紋深度不斷提高，個(gè)倍頻成分能量加大，其故障特征也就越來(lái)越明顯。

4 結(jié)語(yǔ)

通過文章的研究看出，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)隨著角速度的逐漸增大，在分岔圖中，表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)和復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)的相間出現(xiàn)，并在達(dá)到一定轉(zhuǎn)速之后趨于穩(wěn)定。因此，在工程應(yīng)用的實(shí)際情況下，我們應(yīng)盡可能避免較為復(fù)雜的區(qū)域，降低負(fù)面因素對(duì)正常運(yùn)行的影響，從而避免或減弱不穩(wěn)定運(yùn)行對(duì)系統(tǒng)的干擾。

裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究，首先要準(zhǔn)確地描述裂紋對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。而裂紋的形式其實(shí)有很多種，在本文中，只考慮到了不同角度下的橫向裂紋，而在工程實(shí)際中，裂紋卻是不規(guī)則的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中裂紋的檢測(cè)除了依靠振動(dòng)特性的研究外，同時(shí)需要和其他的物理、化學(xué)方法相結(jié)合。組成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的部件與零件較多，即使用好的信號(hào)處理方法，單從振動(dòng)特性方面并不能完全有效地將裂紋故障與其他它轉(zhuǎn)子故障明確地區(qū)分開來(lái)。對(duì)于故障診斷，從不同角度和方法給出的特征信息越多，越容易將不同的故障分開。

參考文獻(xiàn)

[1] 朱厚軍，趙枚，王德洋.Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性研究[J].振動(dòng)與沖擊，2001，20（1）.

[2] 陳予恕.機(jī)械故障診斷的非線性動(dòng)力學(xué)原理[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究[D].華中科技大學(xué)，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究（[D].華中科技大學(xué)，2007.

[7] 陳鐵鋒.裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的有限元模擬研究[D].上海交通大學(xué)，2010.

[8] 聞邦椿.故障旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動(dòng)力學(xué)近期研究綜述[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（增刊）.

作者簡(jiǎn)介：雷劍鋒（1989-），男，河南唐河人，西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生，研究方向：載運(yùn)工具運(yùn)用工程。

摘要：文章以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，對(duì)轉(zhuǎn)子有裂紋、不同裂紋角度以及一些相關(guān)參數(shù)影響下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征進(jìn)行了研究，通過以無(wú)綱量的裂紋深度為參數(shù)的分岔圖、軸心軌跡圖、軸心相軌跡圖以及Poincaré截面圖討論其振動(dòng)的非線性特性，在復(fù)雜運(yùn)轉(zhuǎn)的區(qū)域范圍內(nèi)，通過分區(qū)段的討論各區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：裂紋轉(zhuǎn)子；裂紋深度；軌跡圖；Poincaré截面圖

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理論基礎(chǔ)

對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)分析的方法有多種，本文采用了對(duì)非線性研究公認(rèn)有效的相軌跡圖和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的數(shù)值方法主要有以下幾種：混沌運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖、Poincaré截面、分岔圖、功率譜法等。而描述并且識(shí)別周期分岔運(yùn)動(dòng)的除了有三維頻譜圖、軸心軌跡圖外，還包括周期分岔圖和龐卡萊圖等。因此綜合分岔圖、龐卡萊圖、軸心軌跡圖就可以對(duì)非線性轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究與分析。

2 動(dòng)力學(xué)性能

裂紋轉(zhuǎn)子軸中的裂紋的不斷開閉，導(dǎo)致對(duì)其分析起來(lái)十分困難。因此為了突出裂紋的影響，選取研究對(duì)象多為剛性支承的Jeffcott轉(zhuǎn)子模型。裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程設(shè)轉(zhuǎn)子左端軸心的徑向位移為x1、y1，轉(zhuǎn)盤處的徑向位移x2、y2?？紤]到因?yàn)榱鸭y產(chǎn)生的附加剛度，在對(duì)稱性假設(shè)的條件下，帶有橫向裂紋的單盤彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為：

式中，為軸承處的等效之中質(zhì)量；為轉(zhuǎn)軸中央圓盤質(zhì)量；k為轉(zhuǎn)軸剛度；為轉(zhuǎn)子的軸承處的機(jī)構(gòu)阻尼；為轉(zhuǎn)子在圓盤處的機(jī)構(gòu)阻尼；b為圓盤偏心率；c為軸承的間隙；、為僅與裂紋深度a有關(guān)的剛度系數(shù)；為裂紋開不函數(shù)；為裂紋方向與偏心之間的夾角；為初相。

3 無(wú)量綱裂紋深度對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

隨著時(shí)間的推移，轉(zhuǎn)子疲勞破壞表現(xiàn)為裂紋的不斷加深，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，如圖1所示，會(huì)相應(yīng)發(fā)生規(guī)律性的變化。在=，=0.666時(shí)，轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨裂紋擴(kuò)展出現(xiàn)大量的復(fù)雜響應(yīng)形式和混沌分岔現(xiàn)象：在一個(gè)很寬的無(wú)量綱裂紋深度范圍內(nèi)A（0.01，0.5），以擬周期與高倍周期解并存形式的響應(yīng)占主導(dǎo)地位，并明顯依次出現(xiàn)周期10、周期12、周期10、擬周期，在經(jīng)歷擬周期后進(jìn)入混沌狀態(tài)。在這一區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)周期解和擬周期解釋一個(gè)頻繁轉(zhuǎn)換的過程。由于低頻進(jìn)動(dòng)分岔現(xiàn)象，響應(yīng)中出現(xiàn)不可通約的頻率成分，周期響應(yīng)變成擬周期響應(yīng)形式；擬周期解隨參數(shù)變化又會(huì)在某些參數(shù)域鎖相到周期解；經(jīng)擬周期解和周期解的多次相互轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)響應(yīng)最終趨于

穩(wěn)定。

圖1 β=π時(shí)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖

在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究中，裂紋對(duì)含裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性及響應(yīng)有著重大的影響，由于裂紋會(huì)在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的過程中隨時(shí)間的開閉，加之非線性油膜力的加入，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。隨之裂紋的不斷擴(kuò)展，裂紋較深時(shí)系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)，系統(tǒng)響應(yīng)隨其他參數(shù)的變化而隨之發(fā)生非常明顯的變化。當(dāng)裂紋很淺時(shí)，一般來(lái)說(shuō)系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng)，在某些特定的轉(zhuǎn)速下則會(huì)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)還伴隨有各種倍頻分量。當(dāng)裂紋深度較深時(shí)（A>0.7055），由于裂紋張開與閉合的影響，非線性響應(yīng)將會(huì)更加

明顯。

圖2 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的相心軌跡圖

圖3 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的軸心軌跡圖

圖4 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的Poincaré截面

圖2至圖4用Poincaré截面圖、軸心軌跡圖、相心軌跡圖描述了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著裂紋深度擴(kuò)展下有多周期迅速進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程，在由多周期向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的初期相圖上能看到相軸線朝封閉帶狀轉(zhuǎn)化之趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)的Poincaré截面圖上也發(fā)現(xiàn)了表征擬周期運(yùn)動(dòng)的封閉圓環(huán)，同時(shí)，在對(duì)應(yīng)的頻譜圖上也發(fā)現(xiàn)了部分與主要頻率不可通約的頻率成分持續(xù)累積，證明了，它是由多周期到擬周期，再又?jǐn)M周期途徑進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程。但是，從相心軌跡的演化來(lái)看，整個(gè)過程中，它們都沒有顯著的變化，說(shuō)明整個(gè)過程中不存在間歇進(jìn)入混沌狀態(tài)的特征。這也驗(yàn)證了無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖1的分岔現(xiàn)象。

對(duì)裂紋較淺的軸，由于裂紋還處在擴(kuò)展的開始，對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)等特性表現(xiàn)出的影響并不是特別明顯，此時(shí)的裂紋故障很難識(shí)別。但經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)，再開機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較低的情況下，分析其軌跡以及頻譜圖，可以對(duì)這一故障進(jìn)行分析檢測(cè)。隨著裂紋的擴(kuò)展，裂紋深度不斷提高，個(gè)倍頻成分能量加大，其故障特征也就越來(lái)越明顯。

4 結(jié)語(yǔ)

通過文章的研究看出，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)隨著角速度的逐漸增大，在分岔圖中，表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)和復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)的相間出現(xiàn)，并在達(dá)到一定轉(zhuǎn)速之后趨于穩(wěn)定。因此，在工程應(yīng)用的實(shí)際情況下，我們應(yīng)盡可能避免較為復(fù)雜的區(qū)域，降低負(fù)面因素對(duì)正常運(yùn)行的影響，從而避免或減弱不穩(wěn)定運(yùn)行對(duì)系統(tǒng)的干擾。

裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究，首先要準(zhǔn)確地描述裂紋對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。而裂紋的形式其實(shí)有很多種，在本文中，只考慮到了不同角度下的橫向裂紋，而在工程實(shí)際中，裂紋卻是不規(guī)則的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中裂紋的檢測(cè)除了依靠振動(dòng)特性的研究外，同時(shí)需要和其他的物理、化學(xué)方法相結(jié)合。組成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的部件與零件較多，即使用好的信號(hào)處理方法，單從振動(dòng)特性方面并不能完全有效地將裂紋故障與其他它轉(zhuǎn)子故障明確地區(qū)分開來(lái)。對(duì)于故障診斷，從不同角度和方法給出的特征信息越多，越容易將不同的故障分開。

參考文獻(xiàn)

[1] 朱厚軍，趙枚，王德洋.Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性研究[J].振動(dòng)與沖擊，2001，20（1）.

[2] 陳予恕.機(jī)械故障診斷的非線性動(dòng)力學(xué)原理[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究[D].華中科技大學(xué)，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究（[D].華中科技大學(xué)，2007.

[7] 陳鐵鋒.裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的有限元模擬研究[D].上海交通大學(xué)，2010.

[8] 聞邦椿.故障旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動(dòng)力學(xué)近期研究綜述[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（增刊）.

作者簡(jiǎn)介：雷劍鋒（1989-），男，河南唐河人，西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生，研究方向：載運(yùn)工具運(yùn)用工程。

摘要：文章以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，對(duì)轉(zhuǎn)子有裂紋、不同裂紋角度以及一些相關(guān)參數(shù)影響下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征進(jìn)行了研究，通過以無(wú)綱量的裂紋深度為參數(shù)的分岔圖、軸心軌跡圖、軸心相軌跡圖以及Poincaré截面圖討論其振動(dòng)的非線性特性，在復(fù)雜運(yùn)轉(zhuǎn)的區(qū)域范圍內(nèi)，通過分區(qū)段的討論各區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：裂紋轉(zhuǎn)子；裂紋深度；軌跡圖；Poincaré截面圖

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理論基礎(chǔ)

對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)分析的方法有多種，本文采用了對(duì)非線性研究公認(rèn)有效的相軌跡圖和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的數(shù)值方法主要有以下幾種：混沌運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖、Poincaré截面、分岔圖、功率譜法等。而描述并且識(shí)別周期分岔運(yùn)動(dòng)的除了有三維頻譜圖、軸心軌跡圖外，還包括周期分岔圖和龐卡萊圖等。因此綜合分岔圖、龐卡萊圖、軸心軌跡圖就可以對(duì)非線性轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究與分析。

2 動(dòng)力學(xué)性能

裂紋轉(zhuǎn)子軸中的裂紋的不斷開閉，導(dǎo)致對(duì)其分析起來(lái)十分困難。因此為了突出裂紋的影響，選取研究對(duì)象多為剛性支承的Jeffcott轉(zhuǎn)子模型。裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程設(shè)轉(zhuǎn)子左端軸心的徑向位移為x1、y1，轉(zhuǎn)盤處的徑向位移x2、y2。考慮到因?yàn)榱鸭y產(chǎn)生的附加剛度，在對(duì)稱性假設(shè)的條件下，帶有橫向裂紋的單盤彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為：

式中，為軸承處的等效之中質(zhì)量；為轉(zhuǎn)軸中央圓盤質(zhì)量；k為轉(zhuǎn)軸剛度；為轉(zhuǎn)子的軸承處的機(jī)構(gòu)阻尼；為轉(zhuǎn)子在圓盤處的機(jī)構(gòu)阻尼；b為圓盤偏心率；c為軸承的間隙；、為僅與裂紋深度a有關(guān)的剛度系數(shù)；為裂紋開不函數(shù)；為裂紋方向與偏心之間的夾角；為初相。

3 無(wú)量綱裂紋深度對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

隨著時(shí)間的推移，轉(zhuǎn)子疲勞破壞表現(xiàn)為裂紋的不斷加深，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，如圖1所示，會(huì)相應(yīng)發(fā)生規(guī)律性的變化。在=，=0.666時(shí)，轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨裂紋擴(kuò)展出現(xiàn)大量的復(fù)雜響應(yīng)形式和混沌分岔現(xiàn)象：在一個(gè)很寬的無(wú)量綱裂紋深度范圍內(nèi)A（0.01，0.5），以擬周期與高倍周期解并存形式的響應(yīng)占主導(dǎo)地位，并明顯依次出現(xiàn)周期10、周期12、周期10、擬周期，在經(jīng)歷擬周期后進(jìn)入混沌狀態(tài)。在這一區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)周期解和擬周期解釋一個(gè)頻繁轉(zhuǎn)換的過程。由于低頻進(jìn)動(dòng)分岔現(xiàn)象，響應(yīng)中出現(xiàn)不可通約的頻率成分，周期響應(yīng)變成擬周期響應(yīng)形式；擬周期解隨參數(shù)變化又會(huì)在某些參數(shù)域鎖相到周期解；經(jīng)擬周期解和周期解的多次相互轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)響應(yīng)最終趨于

穩(wěn)定。

圖1 β=π時(shí)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)隨無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖

在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究中，裂紋對(duì)含裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性及響應(yīng)有著重大的影響，由于裂紋會(huì)在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的過程中隨時(shí)間的開閉，加之非線性油膜力的加入，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性。隨之裂紋的不斷擴(kuò)展，裂紋較深時(shí)系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)，系統(tǒng)響應(yīng)隨其他參數(shù)的變化而隨之發(fā)生非常明顯的變化。當(dāng)裂紋很淺時(shí)，一般來(lái)說(shuō)系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng)，在某些特定的轉(zhuǎn)速下則會(huì)出現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)還伴隨有各種倍頻分量。當(dāng)裂紋深度較深時(shí)（A>0.7055），由于裂紋張開與閉合的影響，非線性響應(yīng)將會(huì)更加

明顯。

圖2 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的相心軌跡圖

圖3 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的軸心軌跡圖

圖4 不同裂紋深度對(duì)應(yīng)的Poincaré截面

圖2至圖4用Poincaré截面圖、軸心軌跡圖、相心軌跡圖描述了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著裂紋深度擴(kuò)展下有多周期迅速進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程，在由多周期向混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變的初期相圖上能看到相軸線朝封閉帶狀轉(zhuǎn)化之趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)的Poincaré截面圖上也發(fā)現(xiàn)了表征擬周期運(yùn)動(dòng)的封閉圓環(huán)，同時(shí)，在對(duì)應(yīng)的頻譜圖上也發(fā)現(xiàn)了部分與主要頻率不可通約的頻率成分持續(xù)累積，證明了，它是由多周期到擬周期，再又?jǐn)M周期途徑進(jìn)入混沌狀態(tài)的過程。但是，從相心軌跡的演化來(lái)看，整個(gè)過程中，它們都沒有顯著的變化，說(shuō)明整個(gè)過程中不存在間歇進(jìn)入混沌狀態(tài)的特征。這也驗(yàn)證了無(wú)量綱裂紋深度擴(kuò)展的分岔圖1的分岔現(xiàn)象。

對(duì)裂紋較淺的軸，由于裂紋還處在擴(kuò)展的開始，對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)等特性表現(xiàn)出的影響并不是特別明顯，此時(shí)的裂紋故障很難識(shí)別。但經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)，再開機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較低的情況下，分析其軌跡以及頻譜圖，可以對(duì)這一故障進(jìn)行分析檢測(cè)。隨著裂紋的擴(kuò)展，裂紋深度不斷提高，個(gè)倍頻成分能量加大，其故障特征也就越來(lái)越明顯。

4 結(jié)語(yǔ)

通過文章的研究看出，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)隨著角速度的逐漸增大，在分岔圖中，表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)和復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)的相間出現(xiàn)，并在達(dá)到一定轉(zhuǎn)速之后趨于穩(wěn)定。因此，在工程應(yīng)用的實(shí)際情況下，我們應(yīng)盡可能避免較為復(fù)雜的區(qū)域，降低負(fù)面因素對(duì)正常運(yùn)行的影響，從而避免或減弱不穩(wěn)定運(yùn)行對(duì)系統(tǒng)的干擾。

裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究，首先要準(zhǔn)確地描述裂紋對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。而裂紋的形式其實(shí)有很多種，在本文中，只考慮到了不同角度下的橫向裂紋，而在工程實(shí)際中，裂紋卻是不規(guī)則的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中裂紋的檢測(cè)除了依靠振動(dòng)特性的研究外，同時(shí)需要和其他的物理、化學(xué)方法相結(jié)合。組成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的部件與零件較多，即使用好的信號(hào)處理方法，單從振動(dòng)特性方面并不能完全有效地將裂紋故障與其他它轉(zhuǎn)子故障明確地區(qū)分開來(lái)。對(duì)于故障診斷，從不同角度和方法給出的特征信息越多，越容易將不同的故障分開。

參考文獻(xiàn)

[1] 朱厚軍，趙枚，王德洋.Jeffcott裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性研究[J].振動(dòng)與沖擊，2001，20（1）.

[2] 陳予恕.機(jī)械故障診斷的非線性動(dòng)力學(xué)原理[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究[D].華中科技大學(xué)，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂紋及碰撞轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析與研究（[D].華中科技大學(xué)，2007.

[7] 陳鐵鋒.裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的有限元模擬研究[D].上海交通大學(xué)，2010.

[8] 聞邦椿.故障旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動(dòng)力學(xué)近期研究綜述[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（增刊）.

作者簡(jiǎn)介：雷劍鋒（1989-），男，河南唐河人，西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生，研究方向：載運(yùn)工具運(yùn)用工程。