時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)的H∞控制

厲筱峰，李偉紅

(1. 淮陰工學院 數(shù)理學院, 江蘇 淮安 223003; 2. 南京理工大學 理學院，南京 210094)

0 引言

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制問題一直是控制領域中富有挑戰(zhàn)性的課題，已經引起了學者的廣泛關注[1-3]。目前，Takagi和Sugeno通過扇形非線性建模方法對非線性系統(tǒng)進行建模，構造了Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型，這為研究復雜非線性系統(tǒng)的性能提供一個方便且系統(tǒng)化的方法[4]。Cao等證明了T-S模糊模型可以在凸緊集中以任意精度逼近任意光滑非線性系統(tǒng)[5]。因此，已有學者對T-S模糊系統(tǒng)進行研究，并得到了很多重要的結果[6-7]。為了減少建模誤差，有學者構造了保守性更低的多項式模糊模型，并對這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制等綜合問題進行了分析[8-12]。

眾所周知，時滯存在于很多實際系統(tǒng)，如：化學過程、通訊網絡、經濟學等，它的存在往往導致了系統(tǒng)的不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能的惡化。因此，在近三十年中，時滯系統(tǒng)得到了深入的研究，特別是近年來時滯T-S模糊模型的分析和綜合問題逐漸成為研究熱點[13-14]。但是，對于時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)的研究還很少。因此，本文基于多項式Lyanunov-Krasovskii泛函，給出時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的參數(shù)依賴的充分條件，并設計PDC多項式模糊控制器。

1 問題描述

考慮由如下時滯多項式T-S模糊模型描述的一類非線性系統(tǒng)：

模糊規(guī)則i:

如果θ1(t)是Mi1，且θ2(t)是Mi2，…,θp(t)是Mip，則：

其中，r是模糊規(guī)則數(shù)，θj(t)(j=1,2,…,p)是前件變量，Mij(i=1,2,…,r)是模糊集，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈Rn是控制輸入，w(t)∈L2[0，∞〕是擾動輸入，z(t)∈Rp是控制輸出，Ai(x(t))、Ahi(x(t))、Bi(x(t))、Bwi(x(t))、Ci(x(t))、Chi(x(t))、Di(x(t))及Dwi(x(t))是關于x(t)的適維多項式矩陣，h(t)是時變時滯函數(shù)且滿足：

(2)

通過單點模糊化、乘積推理和中心加權反模糊化，可得如下全局模型：

2 穩(wěn)定性分析

對系統(tǒng)(3)在u(t)≡0和w(t)≡0時的穩(wěn)定性進行分析。

(4)

(5)

其中ε1(x)和ε2i(x)是非負多項式，即對x≠0有ε1(x),ε2i(x)>0，v是與x獨立的向量，

證 考慮如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

由文獻[14]引理1，可得：

其中

當k=K時，有：

則有

3 H∞控制器設計

下面考慮系統(tǒng)的H∞控制問題?；谄叫蟹峙溲a償(PDC)，設計如下的多項式模糊控制器：

模糊規(guī)則i:

如果θ1(t)是Mi1，且θ2(t)是Mi2，…,θp(t)是Mip，則：

u(t)=Ki(x(t))x(t)

(9)

因此，全局多項式模糊控制器可以表示為：

vT(X-ε1(x)I)v是SOS

(11)

(12)

其中，ε1(x)和εij(x)是非負多項式，即對x≠0有ε1(x)，εij(x)>0,v是與x獨立的向量。

且多項式模糊控制器增益為：

Kj(x)=Hj(x)X-1

考慮如下指標，類似定理1的證明過程，有：

故：

對式左右兩邊積分，得：

即

4 仿真算例

例 考慮下面的多項式模糊系統(tǒng):

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)曲線和控制曲線

5 結束語

本文通過基于SOS分解的半定規(guī)劃方法，研究了時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和H∞控制器設計問題，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時滯依賴的充分條件，并設計了PDC多項式模糊控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標，所得結果均可由MATLAB SOS工具箱求解，最后給出算例說明了所提出方法的有效性。

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