Calibration for Tri-Axial Magnetometer Based on Adaptive Genetic Algorithm*

LU Zhaoxing，ZHANG Jinsheng，WANG Shicheng，CAI Xinhua

(The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China)

Calibration for Tri-Axial Magnetometer Based on Adaptive Genetic Algorithm*

LU Zhaoxing，ZHANG Jinsheng*，WANG Shicheng，CAI Xinhua

(The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China)

Tri-axial magnetometers are widely studied and used in geomagnetic measurement.The influence on the measurement results caused by tri-axial nonorthogonality is analyzed，and the calibration formula is established.An optimization mathematical model is established to get the nonorthogonal error angles，and the Adaptive Genetic Algorithm is used to solve the model，in order to achieve the identification of intrinsic parameters and the calibration of measurement errors.The measurement experiment of FGM-2000 tri-axial magnetometer is done to verify the calibration method，and results show that the effect is obvious，the measurement error is reduced 88.1%and the measurement accuracy is significantly improved.

tri-axial magnetometer;adaptive genetic algorithm;parameter identification;error calibration

近年來(lái)，隨著自動(dòng)控制、工程檢測(cè)、電子技術(shù)的發(fā)展，三軸磁強(qiáng)計(jì)被廣泛應(yīng)用于地磁導(dǎo)航等諸多新領(lǐng)域，在空間磁場(chǎng)的測(cè)量與研究中發(fā)揮著重要作用［1-4］。準(zhǔn)確測(cè)量空間地磁場(chǎng)值或得到完整的地磁場(chǎng)信息，需要使用嚴(yán)格正交的三軸磁強(qiáng)計(jì)［2］。但是由于生產(chǎn)水平和安裝工藝的限制，實(shí)際應(yīng)用的三軸磁強(qiáng)計(jì)不嚴(yán)格正交［3］。文獻(xiàn)［4］中列出了一些廠家生產(chǎn)的三軸磁強(qiáng)計(jì)三軸間夾角，大多數(shù)的磁強(qiáng)計(jì)的非正交誤差都超過了1°，這使得三軸磁強(qiáng)計(jì)的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)存在較大測(cè)量誤差。因此，三軸磁強(qiáng)計(jì)在使用時(shí)，必須對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行校正。

通常采用數(shù)值計(jì)算的方法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量誤差進(jìn)行校正［4-8］。近年來(lái)，生物學(xué)、人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等理論的發(fā)展與應(yīng)用，為三軸磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正開辟了新的思路。文獻(xiàn)［9］提出了一種基于蟻群算法的三軸磁強(qiáng)計(jì)正交誤差校正方法，能較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)正交誤差的校正。遺傳算法作為一種基于生物遺傳和進(jìn)化機(jī)制的概率優(yōu)化技術(shù)，具有運(yùn)算簡(jiǎn)單、搜索過程靈活、搜索效率高以及隱含并行性等特點(diǎn)，是一類可以用于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化計(jì)算的算法［10］，特別適用于解決三軸磁強(qiáng)計(jì)參數(shù)辨識(shí)問題。但一般遺傳算法的交叉概率和變異概率固定，不能反映種群的進(jìn)化進(jìn)程，容易產(chǎn)生早熟收斂和收斂速度慢的缺陷［11］。因此，本文在應(yīng)用遺傳算法對(duì)問題進(jìn)行求解時(shí)，針對(duì)一般遺傳算法存在的不足進(jìn)行了改進(jìn)。改進(jìn)后的自適應(yīng)遺傳算法能自動(dòng)地獲取和積累相關(guān)搜索空間信息，采用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)技術(shù)控制參數(shù)選擇，求得全局最優(yōu)解［12-13］。這種方法可以保護(hù)優(yōu)良個(gè)體有效提高搜索效率和避免“早熟”現(xiàn)象。因此，本文通過引入高精度的標(biāo)量磁力儀提供期望輸出，采用自適應(yīng)遺傳算法實(shí)現(xiàn)對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量誤差的校正。

1 三軸磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量誤差分析與校正

三軸不正交是三軸磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量誤差的主要來(lái)源之一，本文著重分析和校正由于磁強(qiáng)計(jì)三軸不正交所造成的測(cè)量誤差。設(shè)三軸磁強(qiáng)計(jì)的3個(gè)測(cè)量軸分別為OX，OY和OZ，與磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的理想正交坐標(biāo)系的3個(gè)正交軸分別為OX1，OY1和OZ1，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系如圖1所示。①OZ1軸與OZ軸重合;②坐標(biāo)面Y1OZ1與坐標(biāo)面YOZ共面，且OY軸與OY1軸之間夾角為β;③OX軸在坐標(biāo)面Z1OX1的投影與OX1軸之間的夾角為α; OX軸與坐標(biāo)面Z1OX1之間的夾角為γ。

圖1 磁強(qiáng)計(jì)三軸與正交軸之間位置關(guān)系

設(shè)三軸磁強(qiáng)計(jì)3個(gè)坐標(biāo)軸的測(cè)量輸出分別為Bx，By和Bz，對(duì)應(yīng)理想傳感器的三軸輸出分別為B1x，B1y和B1z，則二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如式(1)所示。

式中α，β和γ即為非正交坐標(biāo)系和正交坐標(biāo)系之間的非正交誤差角。

令

則式(1)可寫成向量形式:

由此得到，三軸磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正公式，在已知三軸磁強(qiáng)計(jì)非正交誤差角的情況下，由式(2)即可實(shí)現(xiàn)由測(cè)量值B到理想值B1之間的轉(zhuǎn)換。

僅依賴對(duì)被校正儀器提供的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理而得到期望輸出得方法，不能有效消除系統(tǒng)誤差的影響。借助高精度GSMP-35光泵磁力儀提供被校正磁強(qiáng)計(jì)的期望輸出，建立三軸磁強(qiáng)計(jì)非正交誤差角求解的最優(yōu)化模型:

式中，參數(shù)向量X=［α，β，γ］T，|B1i(X)|為測(cè)量量Bi經(jīng)過校正后的總場(chǎng)強(qiáng)度，|BSC|為GSMP-35光泵磁力儀測(cè)量得到的背景場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)F(X)→0時(shí)，|B1i|→|BSC|，此時(shí)，校正參數(shù)X的值即為三軸磁強(qiáng)計(jì)的非正交誤差角。

2 誤差模型參數(shù)辨識(shí)

模型(3)為典型的無(wú)約束單一目標(biāo)最優(yōu)化問題，遺傳算法作為一種應(yīng)用廣泛的智能算法，能夠較好地解決這一類問題。但是，基本遺傳算法的收斂性和穩(wěn)定性并不理想［14］，而自適應(yīng)遺傳算法能夠較好地彌補(bǔ)這一不足［15］。因此，采用自適應(yīng)遺傳算法通過改進(jìn)交叉與變異遺傳算子來(lái)對(duì)模型(3)進(jìn)行求解。

2.1 自適應(yīng)遺傳算法

遺傳算法本質(zhì)上是一種高效、并行、全局搜索的方法，能夠在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識(shí)，并自適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解［13］。基本遺傳算法的一般計(jì)算流程如圖2所示。

在遺傳算法的參數(shù)設(shè)置中交叉概率Pc和變異概率Pm的選擇是影響遺傳算法行為和性能的關(guān)鍵所在，直接影響算法的收斂性［16］，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:

(1)對(duì)于交叉概率Pc而言，Pc越大，新個(gè)體產(chǎn)生的速度就越快，但Pc過大時(shí)，遺傳模式被破壞的可能性也越大，使得具有高適應(yīng)度的個(gè)體結(jié)構(gòu)很快就會(huì)被破壞;Pc過小時(shí)，會(huì)使得搜索過程緩慢，以致停滯不前;

(2)對(duì)于變異概率Pm而言，如果Pm過小，就不易產(chǎn)生新的個(gè)體結(jié)構(gòu);如果Pm過大，遺傳算法就會(huì)失去智能性，退化成純粹的隨機(jī)搜索算法。

圖2 一般遺傳算法計(jì)算流程圖

不同于一般的遺傳算法，自適應(yīng)遺傳算法能夠根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值自動(dòng)調(diào)節(jié)Pc和Pm值，其調(diào)節(jié)的基本思想為:

(1)當(dāng)種群各個(gè)個(gè)體適應(yīng)度趨于一致或者趨于局部最優(yōu)時(shí)，使Pc和Pm增大，而當(dāng)群體適應(yīng)度比較分散時(shí)，使Pc和Pm減小;

(2)對(duì)于適應(yīng)度高于群體平均適應(yīng)度值的個(gè)體，對(duì)應(yīng)于較小的Pc和Pm，使該解得以保護(hù)進(jìn)入下一代;而低于平均適應(yīng)度值的個(gè)體，相對(duì)應(yīng)于較大的Pc和Pm，使該解被淘汰掉。

因此，自適應(yīng)的Pc和Pm能夠提供相對(duì)某個(gè)解的最佳Pc和Pm，在保持群體多樣性的同時(shí)，也保證算法良好的收斂性［12］。

在自適應(yīng)遺傳算法中，Pc和Pm按照式(4)和式(5)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整［14］:

式中fmax為群體中最大的適應(yīng)度值，favg為每代群體的平均適應(yīng)度值，f'為要進(jìn)行交叉的兩個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值，f為要變異個(gè)體的適應(yīng)度值。常值參數(shù)取值為Pc1=0.9，Pc2=0.6，Pm1=0.1，Pm2= 0.001。

2.2 算法求解步驟

結(jié)合圖2的算法流程，應(yīng)用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)的非正交誤差角進(jìn)行求解的具體算法步驟如下:

第1步產(chǎn)生初始種群并對(duì)參數(shù)進(jìn)行編碼

確定種群規(guī)模M=80。隨機(jī)產(chǎn)生80個(gè)個(gè)體組成初始種群，種群代數(shù)k=1，并設(shè)定最大種群代數(shù)kmax=1000和適應(yīng)度梯度限ΔˉG=5×10-5。采用遺傳算法常用的二進(jìn)制編碼方式對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行編碼。設(shè)定α、β和γ的搜索范圍均為-0.1 rad～0.1 rad，參數(shù)的二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度為l=10，則參數(shù)的求解精度如式6所示。

用二進(jìn)制碼串SL=，，}作為染色體表示參數(shù)α、β和γ，其中基因段={aα1，aα2，…，aα10}，={aβ1，aβ2，…，aβ10}，={aγ1，aγ2，…，aγ10}，aαi， aβi，aγi∈{0，1}。編碼位串到實(shí)際參數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系由解碼函數(shù)Γ來(lái)確定，轉(zhuǎn)換過程如式(7)所示:

第2步計(jì)算適應(yīng)度值

適應(yīng)度函數(shù)的選取直接影響到遺傳算法的收斂速度以及能否找到最優(yōu)解。一般而言，適應(yīng)度函數(shù)是由目標(biāo)函數(shù)變換而成的。由于模型(3)最小值問題，因此建立適應(yīng)度函數(shù)G(X)如式(8):

將種群個(gè)體對(duì)應(yīng)的參數(shù)值代入到適應(yīng)度函數(shù)(8)中得到第k代種群的第i個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值G(k)i(X(k))，求平均得到第k代種群的平均適應(yīng)度值ˉG(k)。

第3步選擇

根據(jù)適應(yīng)度值，計(jì)算得到種群中各個(gè)個(gè)體的選擇概率Pi1和累計(jì)概率Pi2，計(jì)算公式如式(9):

采用輪盤賭選的方法選擇交配個(gè)體。進(jìn)行80輪選擇，每一輪隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)，將該隨機(jī)數(shù)作為選擇指針來(lái)確定被選個(gè)體，產(chǎn)生由80個(gè)被選個(gè)體組成的交配種群。

第4步交叉(基因重組)

采用二進(jìn)制單點(diǎn)交叉的方式進(jìn)行。將交配種群進(jìn)行隨機(jī)兩兩配對(duì)，得到40組配對(duì)個(gè)體。選擇各組配對(duì)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值為該組配對(duì)個(gè)體的f'i(i=1，2，…，40)。將各個(gè)組的f'i以及fmax、favg代入到式(4)得到各組配對(duì)個(gè)體的交叉概率Pci。按照交叉概率對(duì)配對(duì)個(gè)體進(jìn)行基因重組，交叉點(diǎn)隨機(jī)確定。交叉之后得到80個(gè)基因重組后的子代個(gè)體。

第5步變異

采用單基因位的二進(jìn)制變異進(jìn)行。變異即意味著單個(gè)基因位0和1之間的翻轉(zhuǎn)。對(duì)于每個(gè)個(gè)體的變異都是隨機(jī)進(jìn)行的，個(gè)體的變異概率Pm由式(5)計(jì)算得到。經(jīng)過變異后，得到新一代的種群。

第6步判斷遺傳是否結(jié)束

判斷k是否滿足k=kmax，若不滿足，k=k+1，轉(zhuǎn)到第3步;若滿足，判斷ˉG(k)-ˉG(k-1)＜ΔˉG是否滿足，若滿足轉(zhuǎn)到第7步，若不滿足，k=k+1，kmax= 2kmax，轉(zhuǎn)到第3步。

第7步結(jié)果輸出

在所有代種群的所有個(gè)體中，選擇適應(yīng)度最大的個(gè)體及其對(duì)應(yīng)的α、β、γ值作為求解結(jié)果輸出。

自適應(yīng)遺傳算法的算法流程圖如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)遺傳算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

以FGM-2000三軸磁通門磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正為對(duì)象開展實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖4所示。

實(shí)驗(yàn)的具體步驟如下:

第1步選定穩(wěn)定均衡背景磁場(chǎng)作為實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，將固定有FGM-2000三軸磁強(qiáng)計(jì)的無(wú)磁轉(zhuǎn)臺(tái)固定于實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)，打開實(shí)驗(yàn)儀器，檢驗(yàn)儀器性能。

第2步待儀器性能穩(wěn)定后，每隔10°轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)臺(tái)，磁強(qiáng)計(jì)讀數(shù)穩(wěn)定后記錄對(duì)應(yīng)姿態(tài)下的三軸輸出，完整記錄磁強(qiáng)計(jì)旋轉(zhuǎn)360°得到的測(cè)量數(shù)據(jù)，如圖4(a)所示。

圖4 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)示意圖

第3步保持轉(zhuǎn)臺(tái)在測(cè)量點(diǎn)位置不變。取下FGM-2000三軸磁強(qiáng)計(jì)，將GSMP-35光泵磁力儀固定在無(wú)磁轉(zhuǎn)臺(tái)上，以第2步中的方法將轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)360°，記錄對(duì)應(yīng)姿態(tài)下磁力儀測(cè)量得到的總場(chǎng)數(shù)據(jù)，如圖4(b)所示。

第4步結(jié)合測(cè)量得到的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，運(yùn)用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)的非正交誤差角進(jìn)行求解。

求解得到的結(jié)果如圖5和表1、表2所示。

圖5 校正結(jié)果示意圖

表1 FGM-2000三軸磁力儀非正交誤差角最優(yōu)求解值

分析校正結(jié)果可知，自適應(yīng)遺傳算法在求解三軸磁強(qiáng)計(jì)的固有參數(shù)時(shí)，具有良好的穩(wěn)定性。遺傳1 000代之后，地磁總場(chǎng)測(cè)量值均方根誤差可由校正前的411.82 nT，減小為校正后的49.38 nT，測(cè)量誤差減小了88.1%，測(cè)量精度顯著提高。

分析求解得到的磁強(qiáng)計(jì)法固有參數(shù)可知，3個(gè)非正交誤差角均為小角度。因此，可以通過將校正式(2)中的參數(shù)進(jìn)行線性化近似處理，即sinα≈α， sinβ≈β，sinγ≈γ，cosα=cosβ=cosγ≈1，來(lái)提高算法收斂性能和搜索速度。

經(jīng)校正之后，磁強(qiáng)計(jì)的測(cè)量誤差仍有50 nT左右，分析原因主要有3個(gè)方面:①有限測(cè)量數(shù)據(jù)不可能完全反映矢量傳感器全部姿態(tài)下的輸出特性;②除正交誤差外，測(cè)量數(shù)據(jù)中包含有其他性質(zhì)的測(cè)量誤差，如三軸的標(biāo)度系數(shù)不一致、零點(diǎn)漂移、背景場(chǎng)的時(shí)變以及傳感器的溫漂等;③提供期望輸出的高精度光泵磁強(qiáng)計(jì)自身也存在一定的測(cè)量誤差。

4 結(jié)論

本文提出的三軸磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正方法，運(yùn)用自適應(yīng)遺傳算法求解三軸磁強(qiáng)計(jì)的非正交誤差角，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量誤差的校正。通過FGM-2000三軸磁力儀的實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)校正方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法效果明顯，能夠?qū)崿F(xiàn)三軸磁強(qiáng)計(jì)非正交誤差角的有效辨識(shí)和測(cè)量精度的顯著提高，從而為發(fā)揮三軸磁強(qiáng)計(jì)自身優(yōu)勢(shì)和拓展應(yīng)用領(lǐng)域提供了一條切實(shí)可行的技術(shù)途徑。

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盧兆興(1990-)，男，山東莒縣人，博士研究生，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制;

張金生(1980-)，男，河南南陽(yáng)人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制;

王仕成(1962-)，男，山東單縣人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

基于自適應(yīng)遺傳算法的三軸磁強(qiáng)計(jì)誤差校正方法*

盧兆興，張金生*，王仕成，蔡欣華
(第二炮兵工程大學(xué)精確制導(dǎo)與仿真實(shí)驗(yàn)室，西安710025)

三軸磁強(qiáng)計(jì)已被廣泛應(yīng)用于空間磁場(chǎng)的測(cè)量。分析三軸不正交對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量結(jié)果帶來(lái)的影響，得到三軸磁強(qiáng)計(jì)的誤差校正公式，建立求解非正交誤差角的最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁強(qiáng)計(jì)固有參數(shù)的辨識(shí)和測(cè)量誤差的校正。通過FGM-2000三軸磁力儀實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)對(duì)校正方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，校正方法效果明顯，儀器的測(cè)量誤差減小了88.1%，測(cè)量精度顯著提高。

三軸磁強(qiáng)計(jì);自適應(yīng)遺傳算法;參數(shù)辨識(shí);誤差校正

TM936

A

1004－1699(2014)03－0331－06

2013-06-27修改日期:2013-08-24

C:5180

10.3969/j.issn.1004－1699.2014.03.011

項(xiàng)目來(lái)源:國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(61004128)