三向力傳感器標(biāo)定的計(jì)算

席本強(qiáng),何 毅

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 阜新 123000)

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三向力傳感器標(biāo)定的計(jì)算

席本強(qiáng)*,何 毅

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 阜新 123000)

從抽象的三輸入三輸出數(shù)學(xué)模型出發(fā),建立三向力傳感器的一般數(shù)學(xué)模型,對(duì)該模型進(jìn)行一階泰勒展開并將拉格朗日余項(xiàng)作為誤差忽略,得到三向力傳感器線性標(biāo)定計(jì)算的正則方程組。分別在3個(gè)方向采取單向多次加載,通過最小二乘法將輸出與載荷對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合,將擬合結(jié)果與原正則方程組比對(duì),確定其系數(shù)陣,從而得出標(biāo)定的算法。該標(biāo)定方法推導(dǎo)中僅假定傳感器3個(gè)應(yīng)變梁正交,同時(shí)考慮了三向變形耦合關(guān)系,而沒有限定傳感器的具體結(jié)構(gòu)形式,因而該算法對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的三向力傳感器具有一定的通用性。該算法為多向耦合類型傳感器的標(biāo)定提供了新的思路和研究方法。

三向力傳感器;算法;標(biāo)定;模型;系數(shù)陣

三向力傳感器的標(biāo)定工作一直是工程測(cè)試中的重要環(huán)節(jié)[1],傳感器的標(biāo)定是保證試驗(yàn)臺(tái)正常工作和準(zhǔn)確測(cè)量的關(guān)鍵,標(biāo)定的結(jié)果直接影響測(cè)試結(jié)果的精度及可靠性[2]。因此,通常為了保證傳感器測(cè)量值的準(zhǔn)確傳遞,需要在其制造、裝配完畢后,以及經(jīng)過使用或維修后必須對(duì)其設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn),使其性能達(dá)到指標(biāo)要求[3-4]。

三向力傳感器的標(biāo)定方法是通過實(shí)驗(yàn)將已知的被測(cè)量輸入待標(biāo)定的三向力傳感器而得到傳感器的輸出量,將采集到的傳感器輸入量和輸出量進(jìn)行處理、比較,得到輸入輸出對(duì)應(yīng)關(guān)系的標(biāo)定曲線,最終得出傳感器性能指標(biāo)的實(shí)測(cè)結(jié)果[5-6]。目前對(duì)其輸入輸出量進(jìn)行處理而得到其標(biāo)定曲線的方法有直線擬合、二次拋物線擬合、插值法等,但都具有計(jì)算誤差較大、計(jì)算限制條件多等缺點(diǎn),不能廣泛使用[7]。

計(jì)算三向力傳感器標(biāo)定的算法大都只考慮單方向的變形,并沒有考慮三向變形耦合關(guān)系。由于變形協(xié)調(diào)原因,每個(gè)單向加載在3個(gè)變形梁上都會(huì)有應(yīng)變輸出,因而造成了對(duì)三向力傳感器的標(biāo)定不夠準(zhǔn)確[8],在三向力傳感器的實(shí)際應(yīng)用中就難以會(huì)出現(xiàn)不必要的損失。為了準(zhǔn)確得到三向力傳感器的標(biāo)定,本文從數(shù)學(xué)模型的建立開始進(jìn)行研究,采用精確度高的最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,從不同的角度出發(fā)得到了三向力傳感器標(biāo)定的算法。該算法可以計(jì)算3個(gè)方向的標(biāo)定,為今后數(shù)據(jù)處理方法提供了很好的借鑒。

1 三向力傳感器標(biāo)定算法的數(shù)學(xué)模型

傳感器的3個(gè)應(yīng)變梁正交分布[9],在空間力作用下發(fā)生應(yīng)變。由于在某一方向作用的力,其變形不只在一個(gè)方向發(fā)生,另外2個(gè)方向也會(huì)發(fā)生應(yīng)變[10],所以三向力傳感器不能僅視作3個(gè)單項(xiàng)力傳感器。而應(yīng)該綜合考慮其變形協(xié)調(diào)作用,各方向作用力的耦合作用。

設(shè)一個(gè)三向力傳感器在受力(載荷)F的作用下,在直角坐標(biāo)系下,F在三坐標(biāo)軸的3個(gè)分力則分別為Fx、Fy、Fz,假設(shè)這3個(gè)分力的大小分別為X、Y、Z,則力F可用向量{X,Y,Z}T表示。

傳感器在三坐標(biāo)上相應(yīng)的應(yīng)變?chǔ)舩、εy、εz經(jīng)應(yīng)變橋電路處理后的輸出信號(hào)分別為Ux、Uy、Uz,則此3個(gè)輸出信號(hào)一定是輸入量F={X,Y,Z}T的函數(shù)[11-12],即

(1)

方程組(1)的定義域?yàn)槿蛄鞲衅鞯牧砍?記為Ω,則?F∈Ω在Ω內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)。

設(shè)某次測(cè)量時(shí)所加載荷為F0={X0,Y0,Z0}T,傳感器的信號(hào)輸入為U0={Ux0,Uy0,Uz0}T,則對(duì)方程組(1)中的Ux在F0點(diǎn)泰勒展開,可得,

(2)

其中R(ξ,ζ,ψ)為拉格朗日余項(xiàng),此處作為系統(tǒng)誤差略去[13]。則式(2)可以簡(jiǎn)化為

Ux=fx(X0,Y0,Z0)·X+fy(X0,Y0,Z0)·Y+
fz(X0,Y0,Z0)·Z+
[Ux0-X0fx(X0,Y0,Z0)-Y0fy(X0,Y0,Z0)-
Z0fz(X0,Y0,Z0)]

(3)

對(duì)三向力傳感器,在其量程范圍內(nèi),一般都在線性彈性內(nèi)[14],且3個(gè)分力正交、獨(dú)立作用,則

(4)

其中a1、b1、c1為常數(shù),由傳感器系統(tǒng)剛度決定。由式(4)可得

fx(X0,Y0,Z0)=fx(X0)=a1
fy(X0,Y0,Z0)=fy(Y0)=b1
fz(X0,Y0,Z0)=fz(Z0)=c1

(5)

將式(5)代入式(3)可得

Ux=fx(X0)·X+fy(Y0)·Y+fz(Z0)·Z+
[Ux0-X0fx(X0)-Y0fy(Y0)-Z0fz(Z0)]=
a1X+b1Y+c1Z+Ux0-a1X0-b1Y0-c1Z0

(6)

同理可得

Uy=gx(X0)·X+gy(Y0)·Y+gz(Z0)·Z+
[Uy0-X0gx(X0)-Y0gy(Y0)-Z0gz(Z0)]=
a2X+b2Y+c2Z+Uy0-a2X0-b2Y0-c2Z0

(7)

Uz=hx(X0)·X+hy(Y0)·Y+hz(Z0)·Z+
[Uz0-X0hx(X0)-Y0hy(Y0)-Z0hz(Z0)]=
a3X+b3Y+c3Z+Uz0-a3X0-b3Y0-c3Z0

(8)

2 算法求解

對(duì)傳感器標(biāo)定時(shí),一般采用單向分別加載:

①對(duì)X方向單向加載時(shí),則有Fx0={X0,0,0}T,而輸出信號(hào)則是3個(gè)通道都有,即Ux0={Uxx0,Uyx0,Uzx0}T。則有

Uxx=a1X+Uxx0-a1X0
Uyx=a2X+Uyx0-a2X0
Uzx=a3X+Uzx0-a3X0

(9)

在X0點(diǎn)附近進(jìn)行多次標(biāo)定,得

{X1,0,0}T→{Uxx1,Uyx1,Uzx1}T,
{X2,0,0}T→{Uxx2,Uyx2,Uzx2}T,
…

將所測(cè)Xi,i=1,…,N,Uxxi,i=1,…,N進(jìn)行線性擬合,得直線

(10a)

同理可得:

(10b)

(10c)

忽略傳感器初值誤差,必有F0=0時(shí)[15-16],U0=0,則此時(shí)

Uxx0-a1X0=Uyx0-a2X0=Uzx0-a3X0=0

而式10(a)～式10(c)中,D1、D2、D3三者的理論值都應(yīng)為零,這里忽略標(biāo)定測(cè)量中產(chǎn)生的非齊次測(cè)量。因此,比較式(9)和式10(a)～式10(c)可得

a1=A1,a2=A2,a3=A3

②同理對(duì)Y方向單向加載,則有Fy0={0,Y0,0}T,輸出信號(hào)Uy0={Uxy0,Uyy0,Uzy0}T。則有

Uxy=b1Y+Uxy0-b1Y0
Uyy=b2Y+Uyy0-b2Y0
Uzy=b3Y+Uzy0-b3Y0

(11)

在Y0點(diǎn)附近進(jìn)行多次標(biāo)定,得

{0,Y1,0}T→{Uxy1,Uyy1,Uzy1}T
{0,Y2,0}T→{Uxy2,Uyy2,Uzy2}T
…

將所測(cè)Yi,i=1,…,N,Uxyi,i=1,…,N進(jìn)行線性擬合,得直線

(12a)

同理可得:

(12b)

(12c)

如果三向力傳感器采用壓電晶橋或全橋應(yīng)變測(cè)量,必有F0=0時(shí),U0=0,則此時(shí)

Uxy0-b1Y0=Uyy0-b2Y0=Uzy0-b3Y0=0

b1=B1,b2=B2,b3=B3

③對(duì)Z方向單向加載時(shí),則有Fz0={0,0,Z0}T,輸出信號(hào)則是Uz0={Uxz0,Uyz0,Uzz0}T。有

Uxz=c1Z+Uxz0-c1Z0
Uyz=c2Z+Uyz0-c2Z0
Uzx=c3Z+Uzz0-c3Z0

(13)

在Z0點(diǎn)附近進(jìn)行多次標(biāo)定,得

{0,0,Z1}T→{Uxz1,Uyz1,Uzz1}T
{0,0,Z2}T→{Uxz2,Uyz2,Uzz2}T
…

將所測(cè)Zi,i=1,…,N,Uxzi,i=1,…,N進(jìn)行線性擬合,得直線

14(a)

同理可得:

14(b)

14(c)

如果三向力傳感器采用壓電晶橋或全橋應(yīng)變測(cè)量,必有F0=0時(shí),U0=0,則此時(shí)

Uxz0-c1Z0=Uyz0-c2Z0=Uzz0-c3Z0=0

c1=C1,c2=C2,c3=C3

經(jīng)過以上3個(gè)方向分別標(biāo)定后,其傳感器可表示為

Ux=A1X+B1Y+C1Z
Uy=A2X+B2Y+C2Z
Uz=A3X+B3Y+C3Z

(15)

對(duì)方程組(15)求解,即得標(biāo)定的結(jié)果

(16)

3 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)

本算法已經(jīng)應(yīng)用在實(shí)際項(xiàng)目中并取得比較好的效果。試驗(yàn)所用設(shè)備為100 t可保壓KENT,下列表為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)中所測(cè)的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

表1 X向單向加載標(biāo)定時(shí)Ux、Uy、Uz

表2 Y向單向加載標(biāo)定時(shí)Ux、Uy、Uz

表3 Z向單向加載標(biāo)定時(shí)Ux、Uy、Uz

采用最小二乘法對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合分別得到:

A1=0.392628、A2=0.142490、A3=0.087535;
B1=0.0033、B2=0.423、B3=0.0954;
C1=0.58、C2=1.0997、C3=0.7742。

將以上數(shù)據(jù)代入式(15)可得:

Ux=0.392628X+0.0033Y+0.58Z
Uy=0.14249X+0.432Y+1.0997Z
Uz=0.087535X+0.0954Y+0.7742Z

用高斯消去法接上方程組,可以得出

X=3.017918Ux+0.715606Uy-3.277376Uz
Y=-0.190549Ux+3.433186Uy-4.733863Uz
Z=-0.387956Ux-0.568729Uy+2.245539Uz

為了驗(yàn)證該標(biāo)定模型的可行性,對(duì)傳感器進(jìn)行單向加載,測(cè)量相對(duì)應(yīng)的3個(gè)通道電壓輸出(Ux、Uy、Uz)如表4。

表4 三次單向加載時(shí)Ux、Uy、Uz

將電壓值代入標(biāo)定模型計(jì)算得3個(gè)方向分力為:X=192.27N、Y=1.36、Z=9.82。將其與真值(Fx=198、Fy=0、Fz=0)進(jìn)行比較,不難看出該算法雖然存在一定系統(tǒng)誤差,但在可接受的范圍之內(nèi),說明該算法具有一定的可行性及準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

對(duì)于三向力傳感器,一般標(biāo)定時(shí)都采用單向加載。由于變形協(xié)調(diào)原因,每個(gè)單向加載在3個(gè)變形梁上都會(huì)有應(yīng)變輸出,如果直接代入標(biāo)定方程,必然得到一個(gè)大樣本的超定方程組,給其剛度系數(shù)陣定解帶來困難。本算法則是通過對(duì)X向單向加載標(biāo)定擬定得多組Ux、Uy、Uz,分別將輸出與載荷對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合求出斜率A1、A2、A3;Y向單向加載可求出B1、B2、B3;Z向單向加載可求出C1、C2、C3。然后與原標(biāo)定方程組進(jìn)行比對(duì),從而定解其系數(shù)陣。這樣,標(biāo)定樣本再多,都可以通過線性擬合進(jìn)行合并處理,從而獲得更高的精度。本算法是在以作用力F為自變量,在某一點(diǎn)F0的一個(gè)鄰域內(nèi)作泰勒展開,所以傳感器標(biāo)定算法也應(yīng)該分段量程標(biāo)定,而且分段越細(xì),算法系統(tǒng)誤差越小。

本文僅采取線性標(biāo)定的計(jì)算研究,算法涉及的誤差分析研究留待以后進(jìn)行。如果傳感器線性度較差,則本算法不適用。這時(shí),可按本文提供的思路,將傳感器數(shù)學(xué)模型進(jìn)行更高階次的展開,得到更高階方程組再代入標(biāo)定數(shù)據(jù)計(jì)算。

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席本強(qiáng)(1973-),男,博士,副教授,碩士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)闄C(jī)電檢測(cè)與控制;

何毅(1988-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)闄C(jī)電液系統(tǒng)仿真與應(yīng)用,908688386@qq.com。

TheCalculationMethodofThree-WayForceSensorCalibration

XIBenqiang*,HEYi

(School of Mechanical Engineering,LNTU,Fuxin Liaoning 123000,China)

This paper established the three-way force sensor’s general mathematical model from the abstract three input and three output mathematical model,then unfold the model as a first-order Taylor-series and ignored the error term like Lagrange remainder,finally get the three-way force sensor’s canonical equations which used to calculated linear calibration. Take the one-way repeated loading in three directions respectively,and used the least square method to fit the output data corresponding to the load,after comparing the fitting result with the original canonical equations can determine its coefficient matrix,finally derived the calibration algorithm. Just assumed the three strain beam of sensors is orthogonal during the deriving of this algorithm,and considering the three-deformation coupling relationship at the same time,have not limited the specific structure of sensor,so this algorithm can be used in different structure’s sensor. This algorithm provides a new train of thought and research methods for the calibration of multi-directional coupling type sensor.

Three-way force sensor;algorithm;calibration;model;coefficient matrix

2014-05-18修改日期:2014-07-17

10.3969/j.issn.1004-1699.2014.09.007

TP212.1

:A

:1004-1699(2014)09-1187-04